譚希麗, 孫佩宇

(北華大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 吉林 吉林 132013)

1 引言與主要結(jié)果

定義1[1]對于隨機變量序列{Xn,n≥1}, 如果

ρ-(s)=sup{ρ-(S,T):S,T?, dist(S,T)≥s}→0,s→∞,

則稱其為ρ-混合序列. 其中

C表示按坐標單調(diào)遞增函數(shù)的全體.

ρ-混合序列是比獨立隨機變量序列、 NA(negatively associated)隨機變量序列和ρ混合序列更廣泛的隨機變量序列, 目前已取得許多研究成果. 例如: 劉筱平等[2]研究了ρ-混合序列的完全收斂性; 譚希麗等研究了ρ-混合序列部分和的幾乎處處中心極限定理[3]， 給出了ρ-混合序列的Chover型重對數(shù)律[4], 并進一步研究了ρ-混合隨機變量序列加權和的完全收斂性質(zhì)[5]. 另一方面， 自Hsu等[6]提出完全收斂的概念后, 完全收斂的精確漸近性理論得到廣泛關注, Jiang等[7]得到了獨立同分布隨機變量序列的部分和在對數(shù)律下的完全收斂的精確漸近性; 張亞運等[8]研究了ρ混合序列的重對數(shù)律矩收斂的精確漸近性; 文獻[9-10]研究了NA序列的完全收斂的精確漸近性.

其中N表示標準正態(tài)隨機變量.

(1)

其中N表示標準正態(tài)隨機變量.

2 定理2的證明

則有

引理2[3]設{Xn,n≥1}是一列ρ-混合隨機變量, 且

則存在一個正的常數(shù)C=C(q,ρ-(·))(C只依賴于q和ρ-(·)), 有

命題1對任意的M>4, 有

證明: 易見

其中

由引理1知, 當n→∞時,Δn→0. 故當b>d-1時, 由Toeplitz引理及

可得

(3)

從而當ε→0時,b(ε)→∞, 在式(3)中取m=[b(ε)], 則有

下面估計I2, 易見

對于I3, 取t≥2, 由Markov不等式、 引理2和Toepliz引理有

類似可證當ε→0時,I4→0. 從而由式(5),I2→0, 并結(jié)合(2),(4), 命題1得證.

命題2在定理2的條件下, 有

證明: 易見

下面證明定理2. 由于

由命題1～命題3及三角不等式可知

又由命題4可知

從而式(1)成立.