王 愛 峰

(淮陰師范學院 數(shù)學科學學院, 江蘇 淮安 223300)

1 引言與預備知識

奇攝動微分差分問題在流體力學、 凝聚態(tài)物理、 光波散射、 神經網絡等領域應用廣泛[1-8]. 目前, 關于非線性奇攝動微分差分方程的內部層、 空間對照結構以及漸近解的一致有效性研究已引起人們廣泛關注[9-11]. 本文考慮如下弱非線性微分差分方程：

的階梯狀空間對照結構, 在一定條件下證明了該問題在感興趣的區(qū)間上存在轉移點t*, 并指出由于時滯的影響, 在t=0處的邊界層會對t=σ的內部層產生重要影響. 其中: 0<μ?1是小參數(shù);σ≥0是滯量;α(t)是定義在區(qū)間[-σ,0]上的光滑函數(shù);T是正常數(shù), 且σ≤T≤2σ.

首先, 做變換μy′=z, 則方程(1)可化為

μy′(t)=z(t),μz′(t)=F(z(t),y(t),y(t-σ),t).

下面給出一些假設條件.

(H1) 假設函數(shù)F(z,y,u,t)在其定義域內關于每個變量存在(n+2)階的連續(xù)偏導數(shù), 這里u=y(t-σ), 且0≤t≤T;

(H3) 假設當y(t)=φi(t)(i=1,3)或y(t)=ψ1(t)時,

Fy(0,y(t),y(t-σ),t)>0,Fy(0,φ2(t),φ2(t-σ),t)<0.

2 區(qū)間[0,T]上形式漸近解的構造

令x=(y,z)T, 設問題(1)-(2)在區(qū)間[0,t*],[t*,σ]和[σ,T]上的形式漸近解分別為

對L0x(τ0), 有

L0y(0)=α(0)-φ1(0),L0y(+∞)=0.

(6)

(7)

對Lkx(τ0), 有

(8)

(9)

特別地, 在點t=σ處, 令

y(σ,μ)=p(μ)=p0+μp1+μ2p2+…+μkpk+…,

(10)

(11)

(12)

(13)

其中

(14)

(15)

的特征根滿足

所以平衡點M(ψ1(σ),0,φ1(0),0)是雙曲鞍點. 因此通過平衡點M存在一個二維穩(wěn)定子流形Ws(M)和一個二維不穩(wěn)定子流形Wu(M). 令

則

其中:

邊界函數(shù)Rkx(τT)(k≥0)對內部層沒有實質的影響, 其求解方法與Lkx(τ0)(k≥0)類似, 故略.

3 形式漸近解的光滑連接

為了得到在區(qū)間[0,T]上的光滑解,y(1)(t,μ)和y(2)(t,μ)必在點t=t*處光滑連接; 同時,y(2)(t,μ)和y(3)(t,μ)必在點t=σ處光滑連接, 即

將式(3)～(5)分別代入問題(16)-(17), 得

(24)

即為確定t0的方程.

H′(t0)tk=γk,

下面求pk. 令

(25)

對pk, 由式(18),(23)得

4 復合解的存在性

問題(1)-(2)的解可視為下列輔助問題解的光滑連接.

左問題(0≤t≤t*):

(26)

其中t*=t0+μt1+…+μn(tn+δ),δ是參數(shù).

中間問題(t*≤t≤σ):

右問題(σ≤t≤T):

(28)

問題(26)～(28)是純邊值問題, 其解均存在, 且有下列形式:

由問題(26),(27)知,

y(1)(t*,μ)=y(2)(t*,μ),t*∈(0,1),

表明y(t,μ)在t=t*處連續(xù). 因此,t*可由

z(1)(t*,μ)=z(2)(t*,μ)

確定. 下面引入函數(shù)

其中左右邊界層級數(shù)系數(shù)在t=t*的鄰域是指數(shù)小的.

綜上, 可得:

定理1在條件(H1)～(H5)下, 問題(1)-(2)的光滑解y(t,μ)在區(qū)間[0,T]上存在, 且如下形式的漸近展開式成立: