陳豪亮, 劉錫平, 張瀟涵

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院, 上海 200093)

0 引 言

在物理、 化學(xué)、 氣體動力學(xué)、 牛頓流體動力學(xué)和復(fù)雜介質(zhì)電動力學(xué)等領(lǐng)域, 分?jǐn)?shù)階微分方程模型比經(jīng)典的整數(shù)階微分方程模型逼近效果更好[1-4]. 目前, 關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性研究已取得許多成果[5-16]. 其積分邊界條件在血流動問題、 化學(xué)工程、 熱彈性力學(xué)、 地下水流和人口動態(tài)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[14-16]. Riemann-Stieltjes積分是Riemann積分的推廣.

本文考慮一類奇異Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程Riemann-Stieltjes積分邊值問題:

(1)

本文假設(shè)下列條件成立：

(H1)p(t)和q(t)在[0,1]上單調(diào)遞增, 且

1 預(yù)備知識

分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)定義參見文獻(xiàn)[1-6].

定義1[2]設(shè)α是[a,b]上的一個單調(diào)遞增函數(shù). 對于[a,b]的每個分法P(指有限點(diǎn)集x0,x1,…,xn, 其中a=x0≤x1≤…≤xn-1≤xn=b), 記Δαi=α(xi)-α(xi-1)(i=1,2,…,n), 顯然Δαi≥0. 對于[a,b]上任意的有界實(shí)函數(shù)f, 令

其中：Mi=supf(x);mi=inff(x)(xi-1≤x≤xi). 定義

u(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,

其中ci∈,i=0,1,2,…,n-1.

由引理1, 可得

引理2假設(shè)條件(H1)成立, 函數(shù)y∈C(0,1), 3<α≤4, 則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(2)

有唯一解

(3)

其中

(4)

證明： 由引理1得

(5)

應(yīng)用式(2)的邊界條件, 得

將c0,c1代入式(5)可知式(3)成立.

引理3假設(shè)條件(H1)成立, 函數(shù)y∈C(0,1), 3<α≤4, 則分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題

(6)

有唯一解

(7)

其中

(8)

假設(shè)v(t)是邊值問題(6)的一個解, 并令

z(t)=v(t)-w(t),t∈[0,1],

(9)

則

(10)

由引理1得

z(t)=c2+c3t,t∈[0,1].

(11)

應(yīng)用式(10)的邊界條件, 可得

將c2,c3代入式(11), 得

(12)

則由式(9)和式(12)可知式(7)成立.

引理4假設(shè)條件(H1)成立, 函數(shù)y∈C(0,1), 3<α≤4, 則分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題

(13)

有唯一解

(14)

其中：

(15)

(16)

K2(t,s) 由式(8)給出.

證明： 設(shè)v(t)=-u″(t), 則邊值問題(13)可分解為

(17)

和

(18)

易證邊值問題(18)有唯一解

(19)

由引理3, 有

(20)

將式(20)代入式(19), 可得式(14).

引理5假設(shè)條件(H1)成立, 則函數(shù)G1(t,s),K1(t,s)有下列性質(zhì)：

1)G1(t,s)∈C([0,1]×[0,1]),G1(t,s)=G1(s,t),G1(t,s)>0,t,s∈[0,1];

2)ωG1(s,s)≤G1(t,s)≤G1(s,s),t,s∈[0,1];

3)ωL(t)≤K1(t,s)≤L(t),t,s∈[0,1];

4)ω1L1(s)≤K1(t,s)≤L1(s),t,s∈[0,1].

其中:

證明： 1) 性質(zhì)1)顯然成立.

2) 由式(16), 當(dāng)0≤s≤t≤1時, 有

當(dāng)0≤t≤s≤1時, 有

因此性質(zhì)2)成立.

3) 根據(jù)式(15)及性質(zhì)1),2), 一方面, 有

另一方面, 有

4) 由式(15)及性質(zhì)2), 一方面, 有

另一方面, 有

證畢.

注1由引理5中性質(zhì)1)可知ωG1(t,t)≤G1(t,s)≤G1(t,t),t,s∈[0,1].

引理6假設(shè)條件(H1)成立, 則函數(shù)G2(t,s),K2(t,s)有下列性質(zhì):

1)G2(t,s)∈C([0,1]×[0,1]),G2(t,s)≥0,t,s∈[0,1];

3)K2(t,s)≤L2(s),s,t∈[0,1],K2(t,s)≥L3(s),s,t∈[0,1], 其中:

證明： 1) 性質(zhì)1)顯然成立.

3) 由式(8)及性質(zhì)2), 一方面, 有

另一方面, 有

證畢.

設(shè)P是Banach空間E的正規(guī)錐,θ是E中的零元,e∈P且‖e‖≤1,e≠θ, 定義

Qe={x∈P|x≠θ, ?m,M>0 s.t.me≤x≤Me}.

(21)

定義2[8]設(shè)A:Qe×Qe→Qe, 如果A(x,y)關(guān)于x單調(diào)遞增, 關(guān)于y單調(diào)遞減, 則稱A為混合單調(diào)算子. 即如果x1≤x2(x1,x2∈Qe), 則對任意的y∈Qe, 有A(x1,y)≤A(x2,y); 如果y1≤y2(y1,y2∈Qe), 則對任意的x∈Qe, 有A(x,y1)≥A(x,y2). 如果存在x*∈Qe, 使得A(x*,x*)=x*, 則稱x*為A的一個不動點(diǎn).

定理1[8]設(shè)A:Qe×Qe→Qe是一個混合單調(diào)算子, 且存在一個常數(shù)μ(0≤μ<1), 滿足

?x,y∈Qe, 0

(22)

則A有唯一的不動點(diǎn)x*∈Qe.

定理2[9]設(shè)(E,≤)是一個半序集, 假設(shè)在E中存在度量d, 使得(E,≤)是完備度量空間, 且E滿足下列條件： 若xn是E中一個非減序列, 使得xn→x, 則?n∈,xn≤x. 令T:E→E是非減算子, 使得對于x≥y, 有

d(Tx,Ty)≤d(x,y)-φ(d(x,y)),

(23)

結(jié)合文獻(xiàn)[9], 可得以下結(jié)論.

定理3設(shè)(E,≤)是一個完備度量空間, 對x,y∈E, 存在z∈E, 與x和y可比較. 則T有唯一不動點(diǎn).

2 主要結(jié)果

x,y∈C[0,1],x≤y?x(t)≤y(t),t∈[0,1].

假設(shè)下列條件成立:

(H2) 設(shè)f(t,u)=h(t)φ(u)ψ(u), 其中φ: [0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)且單調(diào)遞增,φ(1)≠0;ψ:+→+連續(xù)且單調(diào)遞減.

定理4假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 且存在η,δ∈(0,1), 滿足η+δ∈(0,1),u-ηφ(u)在+單調(diào)遞減,uδψ(u)在+上單調(diào)遞增, 則邊值問題(1)有正解u*(t).

(24)

顯然u*是邊值問題(1)的一個解當(dāng)且僅當(dāng)u*是算子Aλ的不動點(diǎn). 考慮函數(shù)K1的性質(zhì), 對任意的u,v∈Qe, 有

于是Aλ(P×P)?P.

根據(jù)假設(shè)條件(H2), 對任意的u,v∈Qe, 有

(tu)-ηφ(tu)≥u-ηφ(u), ?t∈(0,1),u>0; (t-1u)δψ(t-1u)≥uδψ(u), ?t∈(0,1),u>0.

即?t∈(0,1),u>0,φ(tu)≥tηφ(u); ?t∈(0,1),u>0,ψ(t-1u)≥tδψ(u). 令u=1, 則?t∈(0,1),φ(t)≥tηφ(1). 令v=tu, 則?t∈(0,1),v>0,φ(v)≥tηφ(t-1v). 同理, 令v=1, 則?t∈(0,1),φ(t-1)≤t-ηφ(1). 類似可得

ψ(t)≤t-δψ(1), ?t∈(0,1);ψ(t-1)≥tδψ(1), ?t∈(0,1).

顯然對任意的u,v∈Qe, 有

u(t)≥ω1‖u‖;v(t)≥ω1‖v‖;M-1≤‖u‖,‖v‖≤M.

由上述推導(dǎo)過程可得

再由引理5和引理6, 一方面, 有

另一方面, 有

從而可得Aλ(Qe×Qe)?Qe. 于是對任意的l∈(0,1),t∈[0,1], 有

滿足定理1中條件(22), 因此存在唯一的x*∈Qe滿足Aλ(x*,x*)=x*, 顯然x*是邊值問題(1)的正解. 證畢.

定義度量：

(25)

對x,y∈C[0,1], 函數(shù)max{x,y}∈C[0,1], (C[0,1],≤)滿足定理3的條件.

0≤tσ(f(t,u)-f(t,v))≤λ3ln(u-v+1),

其中：

則邊值問題(1)有唯一的非負(fù)解.

證明： 考慮錐

P={u∈C[0,1]:u(t)≥0},

(26)

因?yàn)镻是C[0,1]的緊集, 所以P是一個完備的度量空間. 對u∈P, 定義算子T：

(27)

因?yàn)閠σf(t,u)≥0, 對(t,u)∈[0,1]×[0,∞), 由假設(shè), 有

所以T(P)?P. 首先算子T非減, 事實(shí)上, 由假設(shè), 對u≥v, 有

此外, 對u≥v, 有

因?yàn)楹瘮?shù)ln(x+1)非減, 所以對u≥v, 有

ln(u(s)-v(s)+1)≤ln(‖u-v‖+1).

由上述推導(dǎo)過程及引理5和引理6, 可得

d(Tu,Tv)≤d(u,v)-φ(d(u,v)).

因?yàn)镵1(t,s)≥0,K2(t,s)≥0,f≥0, 考慮零函數(shù),T0≥0, 由(P,≤)滿足定理3的條件知, 邊值問題(1)至少有一個正解且唯一.

3 實(shí) 例

下面運(yùn)用所得結(jié)論討論幾個奇異分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問題正解的存在性.

例1考慮下列奇異邊值問題：

(28)

時的特殊情形. 不難計(jì)算：

取h(t)=t-1/2,φ(u)=u1/3連續(xù)且單調(diào)遞增, 取η=1/2,u-1/2φ(u)在+上單調(diào)遞減. 令ψ(u)=u-1/6在+上連續(xù)且單調(diào)遞減, 取δ=1/3,u1/3ψ(u)在+上單調(diào)遞增, 于是f(t,u)=h(t)φ(u)ψ(u). 易知邊值問題(28)滿足定理4的條件, 故邊值問題(28)存在正解.

例2考慮下列奇異邊值問題：

(29)