馮斌華, 袁向霞

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

目前, 關(guān)于分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程的研究得到廣泛關(guān)注, 例如: 文獻[1]研究了一類分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程解的適定性; 文獻[2]研究了一類分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程組整體解的存在性等. Hartree方程即為帶Hartree非線性項的Schr?dinger方程, 該類方程在量子場論研究中應(yīng)用廣泛[3-5].

本文考慮如下帶時間依賴的阻尼/增益分?jǐn)?shù)階Hartree方程解的全局存在性：

(1)

其中:N≥2; 0<α<1; 0<γ0時, 表示阻尼, 當(dāng)a(t)<0時, 表示增益; (-Δ)α是分?jǐn)?shù)階Laplace算子, 定義為

其中: F和F-1分別是Fourier變換和Fourier逆變換, Fourier變換

研究表明, 阻尼項對Schr?dinger方程解的性質(zhì)會產(chǎn)生較大影響. 例如, 足夠強的阻尼會阻止方程解的爆破[6]. 此外, 阻尼項會使方程的能量不再守恒, 且能量也不衰減. 利用文獻[6]的方法, 文獻[7]研究了帶阻尼項的分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程

解的全局存在性; 文獻[8]研究了帶阻尼項的Hartree方程

(2)

本文首先考慮方程(2)解的全局存在性, 然后得到方程(1)解的全局存在性. 當(dāng)α=1,a(t)恒為a時, 本文結(jié)果與文獻[8]一致, 因此本文結(jié)果推廣并改進了文獻[8]的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

引理1(分?jǐn)?shù)階Gagliardo-Nirenberg型不等式)[9]設(shè)N≥2, 0<α<1, 且0<γ

其中Q是如下橢圓方程的基態(tài)解：

(3)

引理2設(shè)N≥2, 0<α<1, 且0<γ0, 使得方程(2)存在唯一的解v∈C([0,T*),Hα(N))∩C1([0,T*),H-α(N)).

由引理2直接可得方程(1)解的局部存在性結(jié)果:

推論1在引理2的假設(shè)下, 存在T*>0, 使得方程(1)存在唯一的解u∈C([0,T*),Hα(N))∩C1([0,T*),H-α(N)).

引理3(Bootstrap論證)[3]設(shè)M(t)是定義在[0,T]上的非負連續(xù)函數(shù), 如果存在常數(shù)a,b>0和θ>1, 滿足

2 全局存在性

定理1設(shè)v0∈Hα(N), 0<γ

3)λ>0,a∈L1(0,∞),a(t)<0, min{2α,N}<γ

此外, 對任意的0

‖v‖L∞([0,T],Hα(N))≤C(T,‖v0‖Hα(N)).

(4)

證明: 方程(2)對應(yīng)的能量為

導(dǎo)數(shù)為

(6)

(7)

由式(7)和式(5)可得

(8)

其中C0與a(t)無關(guān). 利用引理1, 可得

(9)

對式(6)從t0到t>t0積分, 根據(jù)式(8),(9)及a(t)的假設(shè), 有

根據(jù)式(10)和式(5)可得

其中t>t0, 且C與a(t)無關(guān). 從而可得

2) 根據(jù)式(5)和引理1, 可得

其中Q是方程(3)的基態(tài)解. 因此, 當(dāng)

時, 式(4)成立.

3) 根據(jù)式(5),(8), 可得

當(dāng)取‖v0‖Hα(N)足夠小時, 利用引理3可得對的先驗估計.

4) 根據(jù)式(5),(6), 可得

根據(jù)Gronwall不等式, 有

因此

即式(4)成立. 證畢.

注1在定理1的條件1)和4)中, 函數(shù)a(t)是變號的, 對任意的初值v0∈Hα(N), 定理1證明了方程(2)解的全局存在性. 因為L∞(0,∞)所以定理1的結(jié)果推廣并改進了文獻[8]中的結(jié)果. 定理1的條件2)和3)表明, 對足夠小的初值, 無論系統(tǒng)獲得多大的能量, 方程(2)的解都是全局存在的. 因此, 定理1給出了時間依賴的阻尼/增益對方程(2)解全局存在的精確刻畫.

推論2在定理1的假設(shè)下, 方程(1)存在唯一的全局解u.

3 不變集和全局存在性

下面構(gòu)造一些與阻尼系數(shù)a(t)>0無關(guān)的不變集, 且當(dāng)初值屬于這些不變集時, 方程(1)的解全局存在. 對方程(1), 易見

(11)

(12)

其中

設(shè)u∈Hα(N), 0<γ0, 定義

d(ω)=inf{Sω(u):u∈Hα(N){0},Kω(u)=0},

A(ω)={u∈Hα(N):Sω(u)0}.

因為

(13)

所以

顯然d(ω)>0. 由文獻[10]知, 存在φ∈Hα(N), 使得d(ω)中下確界可達到, 其中φ是如下分?jǐn)?shù)階方程的解:

盡管當(dāng)a(t)>0時, 方程(1)的能量不守恒, 但仍可得全局存在性結(jié)果.

(14)

從而

Sω(u(t1))

(15)

因此方程(1)以u0為初值的解全局存在.