鄒長武, 張章學

(1. 福州大學數(shù)學與計算機科學學院,福建 福州 350116;2. 中國科學院信息工程研究所,中國科學院網絡測評技術重點實驗室,北京 100093)

0 引言

指數(shù)型二分性在常微分方程中應用廣泛,最早由林振聲[1]提出,后來在Copple等[2]的工作下,有了系統(tǒng)的發(fā)展. 隨著研究的深入,除了常微分方程外,指數(shù)型二分性還在差分方程[4],時滯微分方程等方面有著廣泛的應用[3-5]. 成為研究有界解、周期解、概周期解及其拓撲線性化的強有力的工具.

對于不同類型的方程,指數(shù)型二分性的定義一般有些區(qū)別. 即使對于相同的方程,也可能有不同的定義,而不同的指數(shù)型二分性定義又有所聯(lián)系. 近年來,不同的指數(shù)型二分性條件之間的關系,引起了許多學者的關注. 例如,對于帶有擴展類型分段常參數(shù)的微分方程 (DEPCAGs),x′(t)=A(t)x(t)+A0(t)x(γ(t))[6-8]和帶有分段常參數(shù)的微分方程 (DEPCAs)x′(t)=A(t)x(t)+A0(t)x([t])[9,10]的指數(shù)型二分性各種不同定義之間的研究受到許多學者關注[11-12]. 對于DEPCAGs和DEPCAs指數(shù)型二分性的定義的不同,歸結原因,是因為有些定義用連續(xù)微分方程指數(shù)型二分性的定義,而有些用差分方程的指數(shù)型二分性的定義,另一些用連續(xù)微分方程和差分方程指數(shù)型二分性的定義相結合的方法來定義. 所以有必要討論最一般的連續(xù)微分方程和差分方程的指數(shù)型二分性的定義之間的聯(lián)系.

1 主要結論

對于一般的線性微分方程

x′=A(t)x(t)

(1)

其中:x(t)是r維向量,A(t)是r階方陣. 假設系統(tǒng)(1)的基本解矩陣為X(t), 則系統(tǒng)(1)在上滿足指數(shù)型二分性[1]是指：存在常數(shù)K>0,α>0及其投影矩陣P使得下列條件成立, 條件(I)

注1投影矩陣P滿足:Pk=P,(I-P)k=(I-P),其中k是正整數(shù).

對于一般的線性差分系統(tǒng)

y(n+1)=B(n)y(n)

(2)

其中:n∈,y(n)是r維向量,B(n) 是r階方陣. 假設系統(tǒng)(2)的基本解矩陣為Y(t),稱系統(tǒng)(2)在上滿足參數(shù)為(P,K,α)的指數(shù)型二分性[4]是指： 存在常數(shù)K>0,α>0及其投影矩陣P使得

|Y(n)PY-1(m)|≤Ke-α(n-m)(n≥m)

|Y(n)PY-1(m)|≤Ke-α(m-n)(m>n)

其中:m,n∈.

|X(n)PX-1(m)|≤Ke-α(n-m)(n≥m)

|X(n)PX-1(m)|≤Ke-α(m-n)(m>n)

之間的關系. 為此,本研究引入有界增長的概念.

定義1若對任意h∈,|A(t)|dt≤M,則稱系統(tǒng)(1)有界增長[13].

注2若A(t)有界,則必有界增長,反之不然.

下面,給出本研究的第一個結論.

定理1若系統(tǒng)(1)有界增長,則條件

1) |X(t)PX-1(s)|≤Ke-α(t-s)(t≥s)

2) |X(t)(I-P)X-1(s)|≤Ke-α(s-t)(t

等價于

下面將有界增長概念稍作修改.

由此定義,得到本研究的另一個結論.

定理2條件

① |X(t)PX-1(s)|≤Ke-α(t-s)(t≥s)

② |X(t)(I-P)X-1(s)|≤Ke-α(s-t)(t≤s)

③ 系統(tǒng)(1)基解有界增長

等價于

Ⅲ) 系統(tǒng)(1)基解帶投影P負向有界增長,且?guī)队癐-P正向有界增長

2 結論的證明

為了證明本研究的結論,先給出一個引理.

引理1設系統(tǒng)(1)基解為X(t),若系統(tǒng)(1)有界增長,則存在常數(shù)l>0,對任意t,s∈, 只要|t-s|≤1,必有

|X(t)X-1(s)|≤l

證明 設x(t,s,x0)為系統(tǒng)(1)的解,則有

所以

再由Gronwall不等式,可得

當 |s-t|≤1 時,有

|x(t,s,x0)|≤|x0|eM

即

從而有

注3由此引理可知定義2中的基解有界增長x0的定義是很自然的.

為了便于閱讀,再列出本研究要證明的結論.

定理3若系統(tǒng)(1)有界增長,則條件

1) |X(t)PX-1(s)|≤Ke-α(t-s)(t≥s)

2) |X(t)(I-P)X-1(s)|≤Ke-α(s-t)(t

等價于

ii) |X(m)(I-P)X-1(n)|≤Ke-α(m-n)(m≥n)

證明 必要性.

必要性顯然成立,證明過程省略.

充分性.

任給s

n≤s

從而

所以條件1)成立,條件2)類似可證. 定理證畢.

定理4條件

① |X(t)PX-1(s)|≤Ke-α(t-s)(t≥s)

② |X(t)(I-P)X-1(s)|≤Ke-α(s-t)(t≤s)

③ 系統(tǒng)(1)基解有界增長

等價于

Ⅲ) 系統(tǒng)(1)基解帶投影P負向有界增長,且?guī)队癐-P正向有界增長

證明 必要性.

由定理1可推得條件Ⅰ)，Ⅱ)成立,下面證明Ⅲ).

由恒等式X(t)X-1(s)=X(t)(P+I-P)X-1(s),可知

當-1

|X(t)PX-1(s)|≤|X(t)X-1(s)|+|X(t)(I-P)X-1(s)|

由于系統(tǒng)(1)有界增長,所以有

|X(t)X-1(s)|≤l

又由條件②知

|X(t)(I-P)X-1(s)|≤K

當 -1≤s-t≤0時，

|X(t)(I-P)X-1(s)|≤|X(t)X-1(s)|+|X(t)PX-1(s)|≤l+K

必要性證畢,下證充分性.

充分性.

由定理1,只要證明系統(tǒng)(1)有界增長即可.

當 -1≤t-s≤0 時, 設整數(shù)n滿足n≤s

由條件Ⅲ)可得，

|X(t)PX-1(s)|≤l

|X(t)(I-P)X-1(n-1)|≤l

和

|X(n+1)(I-P)X-1(s)|≤l

又由條件Ⅱ)知，

因此

當-1≤s-t≤0時,設整數(shù)m滿足m≤t

由條件Ⅲ),可得

|X(t)(I-P)X-1(s)|≤l

|X(t)PX-1(m+1)|≤l

和

|X(m-1)PX-1(s)|≤l

又由條件Ⅱ)知

因此

從而系統(tǒng)(1)有界增長,定理證畢.