雷麗梅 馮玲

(福州大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院,福州 350002)

(2018年3月12日收到；2018年8月7日收到修改稿)

1 引 言

在現(xiàn)實世界中,由于復(fù)雜的交互作用和多樣化機理使得時間序列可能包含隱含的相關(guān)性信息,這些相關(guān)性的特性對理解它們的本質(zhì)和機理至關(guān)重要.而在成熟的金融市場中,幾乎所有利率衍生產(chǎn)品的定價都取決于遠期利率,探尋一種更符合實際的遠期利率曲線的統(tǒng)計模型對風(fēng)險控制和利率衍生品的定價和對沖至關(guān)重要.雖然目前我國的利率衍生產(chǎn)品種類不多,但隨著我國利率市場化改革的全面推進和對外開放的進一步擴大,引進這些金融工具勢在必行.因而,研究我國國債遠期利率的精確與合理建模,為不久的將來中國利率衍生產(chǎn)品的開發(fā)、設(shè)計及應(yīng)用提供定價依據(jù)與支持,具有重大的理論意義和實際意義.

在利率的建模方面,眾多學(xué)者提出了大量的利率模型,包括單因子均衡模型,如Merton模型、Vasicek模型和CIR模型；多因子均衡模型,如Brennan-Schwartz模型、Fong-Vasicek模型和Longstaf f-Schwartz模型；帶機制轉(zhuǎn)換的均衡模型,如RSCIR模型；無套利模型,其典型代表是Heath-Jarrow-Morton(HJM)模型和LMM模型,而它們也是當(dāng)前利率及其衍生品建模的主流模型,已經(jīng)成為大量有關(guān)利率衍生品定價和對沖研究的基礎(chǔ).但是經(jīng)典的HJM模型和LMM模型的主要局限性在于:將遠期利率作為一維的隨機過程來模擬,即假定不同到期期限的所有遠期利率均是完全相關(guān)的,而在實際的金融市場中,不同到期期限的遠期利率并非完全相關(guān).雖然之后有很多學(xué)者[1?5]從引入波動率結(jié)構(gòu)和相關(guān)性的角度對HJM模型和LMM模型進行了各種修正和拓展,雖然可以考慮這種不完全相關(guān)性,但即使引入有限個白噪聲也無法捕捉到相關(guān)性函數(shù)的所有信息,例如一個K因子HJM模型,意味著K個債券價格的變化將決定所有其他債券的價格運動,即在K因子HJM模型框架下,用K個債券即可對沖任何固定收益工具,這顯然是不符合實際的.如一個兩因子HJM模型意味著可以用一個3個月期限和一個6個月期限的票據(jù)來對沖一個10年期的國債,這顯然是不合理的.而引入無限個白噪聲,在實踐中這些方法均變得無效.因而,迫切需要尋求一種更符合實際的新的遠期利率模型.

近幾年,來自物理(特別是統(tǒng)計物理和量子場理論)的概念已經(jīng)顯示出其在金融理論和應(yīng)用上的巨大潛力[6?16]. 特別地,Baaquie等[17?23]開始將量子場理論引入到衍生品定價方面的研究,并處理金融中的隨機過程.本文利用量子場理論對我國國債瞬時遠期利率進行建模,與隨機微積分相比,來自量子場理論的一些方法在描述遠期利率的波動和相關(guān)性時具有更大的優(yōu)勢.與傳統(tǒng)的遠期利率建模不同(傳統(tǒng)的遠期利率建模只考慮了在日歷時間方向上的相關(guān)性),本文的一個主要創(chuàng)新在于利用量子場理論有效納入了國債瞬時遠期利率在日歷時間和到期時間兩個維度上的相關(guān)性,以提高遠期利率模型對市場數(shù)據(jù)的擬合精度；本文的第二個創(chuàng)新之處在于,運用量子場理論技術(shù)直接對國債遠期利率的實際市場演化建模,模型所需估計的參數(shù)均直接由市場數(shù)據(jù)擬合得到,而不像傳統(tǒng)金融上的動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu),需要事先對波動率函數(shù)或其他參數(shù)的函數(shù)形式進行設(shè)定,且隨著引入因子個數(shù)的增加,模型估計會越來越困難.

本文主要從研究國債遠期利率的瞬時變化的相關(guān)性結(jié)構(gòu)入手,運用量子場理論技術(shù),試圖在保持模型簡單的同時,建立一個更加符合實際的新的國債遠期利率模型.本文第2部分對文中所用到的模型進行簡要的基礎(chǔ)理論介紹；第3部分構(gòu)建最優(yōu)的量子場理論模型,并將所構(gòu)建的場理論模型結(jié)果與金融業(yè)內(nèi)應(yīng)用最廣泛的兩因子HJM模型的實證結(jié)果進行比較；第4部分是將第3部分估計所得的最優(yōu)參數(shù)分別代入各最優(yōu)模型進行回測檢驗,用于驗證考慮日歷時間和到期時間兩個維度上的國債遠期利率之間不完全相關(guān)性的量子場理論模型對市場數(shù)據(jù)的擬合效果的優(yōu)越性；第5部分為結(jié)論.

2 模型描述

2.1 傳統(tǒng)金融上的HJM模型

在金融應(yīng)用上,利率衍生品的定價要求由利率模型所推導(dǎo)出的債券價格必須與實際初始期限結(jié)構(gòu)一致,進而對基礎(chǔ)證券進行套期保值.出于這一目的,Heath,Jarrow和Morton[24]于1992年提出了HJM分析框架,給出了無套利模型的一般形式.HJM分析框架從設(shè)定瞬時遠期利率在現(xiàn)實測度下的隨機過程出發(fā),將當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)作為輸入變量,基于無套利條件推導(dǎo)出風(fēng)險中性測度下瞬時遠期利率所應(yīng)遵循的隨機過程,進而求解債券與衍生品價格.

記f(t,T)表示遠期利率,則在K因子HJM模型中,遠期利率的演化為

式中,f(t0,T)是t0時刻觀測到的瞬時遠期利率,即初始遠期利率曲線；α(t,T)和σi(t,T)分別對應(yīng)現(xiàn)實世界的瞬時遠期利率的漂移率和波動率；Wi(t)(i=1,2,...k)是k個相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)維納過程.也可寫成

其中ηi(t)表示相互獨立的高斯白噪聲.

可推出HJM框架下瞬時遠期利率的風(fēng)險中性隨機過程為

(4)式是HJM分析框架的核心結(jié)論.它意味著在無套利條件下,風(fēng)險中性測度下瞬時遠期利率的漂移項是波動率的函數(shù),波動率完全決定了瞬時遠期利率的風(fēng)險中性過程,而在HJM分析框架下,風(fēng)險中性測度和現(xiàn)實測度下的波動率是相同的.因而,在HJM框架下,只要給定波動率,同時運用初始遠期利率曲線,就可以為利率產(chǎn)品定價.

2.2 遠期利率的量子場理論模型

在K因子HJM模型中,遠期利率的演化是由K個獨立的高斯白噪聲驅(qū)使的,它們對所有遠期利率的沖擊是一樣的,即HJM模型假定所有遠期利率的波動是一樣的,這在現(xiàn)實中是不合理的.而將每個不同期限的遠期利率作為獨立的隨機變量已經(jīng)通過隨機偏微分方程得到研究.用廣義的連續(xù)隨機過程來納入遠期利率間不完美的相關(guān)性的研究包括Kennedy[25,26],Goldstein[27],Santa-Clara和Sornette[28].Baaquie[17]以及Kim等[29]按照這個思路,將所有這些模型納入量子場理論的框架內(nèi)進行了推廣.

Baaquie[19]基于將(1)式中的白噪聲用一個量子場取代,將遠期利率的演化方程以速度量子場A(t,T)形式寫為

其中,遠期利率f(t,T)和它衍生的速度場A(t,T)均被認(rèn)為是一個二維量子場.

場理論模型對HJM的主要擴展在于A(t,T)既依賴于t,也依賴于T,而不像HJM中的白噪聲W(t)只依賴于t.而盡管可以放入多個場Ai,但分析表明使用一個場就足以描述利率的行為.因而,量子場論下的遠期利率模型為

此外,與HJM模型通常假定波動率函數(shù)σ(t,T)的形式不同,場論方法中的波動率可直接由市場數(shù)據(jù)擬合得到,不需要對其函數(shù)形式進行事先假定,而漂移項α(t,T)則由鞅條件確定.

可自由選擇量子場A(t,T)的動態(tài)性.根據(jù)Baaquie[20]的分析,描述瞬時遠期利率演化的Lagrangian是由參數(shù)μ和λ來定義:

進而,可得出相應(yīng)的action指數(shù)S[A]:

其中,μ是描述場A(t,T)一個“rigidity”參數(shù),λ描述的是遠期利率曲線的“stiffness”,上面定義的量子場理論稱為剛性作用量下的量子場理論.

遠期利率的量子場理論是通過對A(t,T)的所有變量的一個泛函積分來定義,并得到配分函數(shù):

其中,P表示遠期利率的定義域,如圖1所示.

圖1 遠期利率f(t,T)的定義域PFig.1.Domain P of the forward ratef(t,T).

而量子場,如f(t,T)或A(t,T),本身不能直接觀察到,因為它們是波動的,可觀察到和測量的是量子場的某些函數(shù)的量的平均值,特別地,量子場可測量的量是相關(guān)性函數(shù),它表示的是場在某點的波動對場在其他點的波動的影響.更準(zhǔn)確地說,場A(t,T)兩點的相關(guān)性定義為

其中D(T,T′；t)稱為傳播子(propagator),是場A(t,T)在點(t,T)的波動對A(t′,T′))在另一個點(t′,T′)的波動的影響的度量. δ(t? t′)為狄拉克δ函數(shù),當(dāng)t?=t′時,δ(t?t′)=0.

在剛性作用量下的場理論模型下,可推出在遠期測度下滿足鞅條件的瞬時遠期利率的漂移率為

在剛性作用量下的遠期利率量子場理論模型中,為了與實證數(shù)據(jù)進行比較,定義θ=T?t,可得模型的相關(guān)性函數(shù)

其中

而

3 遠期利率的量子場理論模型的構(gòu)建

由數(shù)據(jù)的可得性和一致性,我們采用的樣本數(shù)據(jù)是2011年1月4日到2017年12月30日的國債瞬時遠期利率的日數(shù)據(jù),即1740個瞬時國債遠期利率的期限結(jié)構(gòu),數(shù)據(jù)均來源于Choice數(shù)據(jù)庫整理,從中選擇了0.1年期、0.2年期、0.3年期......9.9年期以及10年期等100個期限的瞬時遠期利率數(shù)據(jù)來進行研究.本研究將樣本分成兩個子樣本,第一個子樣本從2011年1月4日到2016年12月30日,共有1490個瞬時遠期利率的期限結(jié)構(gòu),作為模型的估計窗口,利用該子樣本內(nèi)的遠期利率數(shù)據(jù)來選擇最優(yōu)模型并進行參數(shù)估計；第二個子樣本從2017年1月3日到2017年12月30日,共有250個瞬時遠期利率的期限結(jié)構(gòu),作為模型的預(yù)測窗口,對本研究所構(gòu)建的最優(yōu)模型的預(yù)測能力進行評價.

由于所采用的樣本數(shù)據(jù)是日數(shù)據(jù),將時間進行離散化,t=n?ε,由(6)式表示的遠期利率模型可得:

其中,δf(t,t+θ)=f(t+ ε,t+ θ)?f(t,t+ θ),代表新息(innovations),且在后面所有的實證研究中,取時間間隔ε=1 d.

3.1 波動率期限結(jié)構(gòu)和市場相關(guān)性結(jié)構(gòu)

在遠期利率f(t,θ)的分析中,一個重要的量是δf(t,θ)和δf(t,θ′)之間的相關(guān)性, 由(15)式且ε=1,可得δf(t,θ)和δf(t,θ′)的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)分別為(16)和(18)式:

所以,對θ?=θ′,可得

而模型的波動率σ(t,T)=σ(θ)的實證的波動率如下:? ?

由(19)式可得

由(17)和(20)式可得

即表明市場的協(xié)方差是由實證波動率σE(θ)和模型的標(biāo)準(zhǔn)化后的傳播子惟一決定.

而在實證中,實證的波動率可由下式求得(L表示數(shù)據(jù)的天數(shù)):

由(17)式可得

將2011年1月4日到2016年12月30日的樣本數(shù)據(jù)代入(22),(23)和(18)式可分別得到市場上國債遠期利率的波動率期限結(jié)構(gòu)和新息的市場相關(guān)性結(jié)構(gòu),分別如圖2和圖3所示.

圖2 國債遠期利率的波動率期限結(jié)構(gòu)Fig.2.Volatility term structure of treasury forward rates.

圖3 新息的市場相關(guān)性結(jié)構(gòu)Fig.3.Correlation structure of the innovations.

由圖2可以看出,總體上,我國國債市場的瞬時遠期利率的波動率期限結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出緩慢下降的過程,然后在7年左右達到最小值,之后波動率又開始緩慢上升.這說明不同交易日由新的信息所帶來的國債瞬時遠期利率的波動率以及不同剩余到期時間的波動率增速均受到日歷時間t和未來時間T的共同影響,而傳統(tǒng)的金融隨機過程無法對該性質(zhì)進行準(zhǔn)確的刻畫.從圖3可以看出,由市場上的各種新的信息引起的不同到期期限的國債瞬時遠期利率之間的相關(guān)性是不完全的相關(guān)性,而傳統(tǒng)的金融利率模型即使引入有限個白噪聲也無法捕捉到相關(guān)性函數(shù)的所有信息,而隨著模型引入白噪聲個數(shù)的增加,模型估計難度會顯著加大.因而,需要尋求一種能有效納入這種不完全相關(guān)性的新的遠期利率模型.

3.2 傳統(tǒng)金融上的兩因子HJM模型的參數(shù)估計

為了驗證考慮日歷時間和到期時間兩個維度上的國債遠期利率之間不完全相關(guān)性的量子場理論模型的優(yōu)越性,首先對只考慮日歷時間方向上的相關(guān)性的傳統(tǒng)金融上的HJM模型的擬合結(jié)果進行簡要說明.

實證中,本文使用國際上應(yīng)用最廣泛的兩因子HJM模型,其波動率設(shè)定形式如下[30]:

其中σ1(θ)= σ1；σ2(θ)= σ2exp(?γ/2 ? θ),θ=T?t.

經(jīng)過一系列計算后,可得由(24)式表示的兩因子HJM模型下的協(xié)方差和相關(guān)性分別為:

(26)和(18)式提供了模型預(yù)測的相關(guān)性和市場相關(guān)性之間的聯(lián)系,參數(shù)σ1,σ2和γ的值是通過使理論相關(guān)性函數(shù)與樣本期內(nèi)數(shù)據(jù)得到的市場相關(guān)性函數(shù)的均方誤差最小而得到的,即基于(27)式來進行參數(shù)校準(zhǔn),

研究中,使用非線性函數(shù)參數(shù)估計的Levenberg-Marquardt法得到參數(shù)估計結(jié)果列于表1.

表1 兩因子HJM模型下參數(shù)的最優(yōu)擬合結(jié)果Table 1.Optimal parameters fitting result for twofactor HJM model.

由表1的結(jié)果可知,當(dāng)σ1=0.2682,σ2=2.5279,γ=1.6210時,所得到的兩因子HJM模型對國債遠期利率的擬合是最優(yōu)的,因為此時的擬合均方誤差最小,約為19.39%,但其對國債遠期利率的擬合效果較差,擬合優(yōu)度R2僅為69.02%,可能原因在于HJM模型只考慮了在日歷時間方向上的相關(guān)性,而忽略了在到期期限方向上國債遠期利率之間的這種不完全相關(guān)性.因而,下面將對考慮不同到期期限方向上的國債遠期利率之間不完全相關(guān)性的量子場理論模型進行研究.

3.3 剛性作用量下的量子場理論模型的參數(shù)估計

(13)和(18)式提供了模型預(yù)測的相關(guān)性和市場相關(guān)性之間的聯(lián)系,參數(shù)λ和μ的值是通過使

的理論相關(guān)性函數(shù)與樣本期內(nèi)數(shù)據(jù)得到的市場相關(guān)性函數(shù)的均方誤差最小而得到的,即基于(28)式來進行參數(shù)校準(zhǔn),

運用非線性函數(shù)參數(shù)估計的Levenberg-Marquardt法得到參數(shù)估計結(jié)果列于表2.

表2 剛性作用量下的量子場模型參數(shù)的最優(yōu)擬合結(jié)果Table 2.Optimal parameters fitting result for quantum field model based on stif faction.

由表2的結(jié)果可知,當(dāng)λ=3.4015/yr,μ=0.7442/yr,相應(yīng)的b=3.0371時,所得到的擬合是最優(yōu)的,整個擬合的均方根誤差約為18.59%,而該模型對國債遠期利率的擬合優(yōu)度約為63.23%.

根據(jù)數(shù)據(jù)估計出相關(guān)參數(shù)后,代入(14)和(13)式即可求出剛性作用量下的量子場理論模型預(yù)測的非標(biāo)準(zhǔn)化的剛性傳播子和標(biāo)準(zhǔn)化后的相關(guān)性結(jié)構(gòu),如圖4和圖5所示.

圖4 非標(biāo)準(zhǔn)化剛性傳播子Fig.4.Non-standardization stif fpropagator.

圖5 標(biāo)準(zhǔn)化剛性傳播子Fig.5.Standardization stif fpropagator.

由表2可知,剛性作用量下的遠期利率量子場理論模型對國債遠期利率的擬合優(yōu)度約為63.23%,并沒有達到理想的效果.比較圖5和圖3也可以看出,剛性作用量下的量子場理論并不能對不同到期期限的國債瞬時遠期利率的市場相關(guān)性結(jié)構(gòu)進行有效刻畫.而由于受投資者心理、市場情緒等影響,剩余到期時間對投資者所產(chǎn)生的作用并不像簡單的物理時間上的距離那樣明顯,即兩種到期期限的遠期利率變化的實際差別并不像由實際的剩余到期時間θ所表現(xiàn)的那樣(在物理時間上的距離θ相同,其結(jié)果也相同),例如市場參與者通常認(rèn)為未來10—15年之間的遠期利率差異與從當(dāng)前到5年后之間的遠期利率差異是不一樣的(但θ均等于5),而這在直觀上是合理的,因為對市場參與者而言,距離當(dāng)前更遠的未來的不確定性越大,因而人們感覺到更遠的未來的沖擊比在較近的未來的沖擊在當(dāng)前更難解決.類似地,在同一時刻,人們所感知的10年后的1年期遠期利率的變化可能與1個月后2周期限的遠期利率的變化是相似的,這點在3.4節(jié)的實證中z(θ)=θv,υ≈0.1142,亦得到了證明.因而,下面試圖通過引入人們所感知的剩余到期時間變量z(θ)來提高量子場理論模型的擬合精度.

3.4 引入感知的剩余時間變量后的量子場理論模型的參數(shù)估計

引入感知的剩余時間變量z(θ)后,與(13)式類似,模型的相關(guān)性函數(shù)為

由(14)和(29)式可得

其中z±(θ+；θ?)≡z(θ)±z(θ′).

在文獻[20]中表明,在時間θ下,由(13)式表示的歸一化相關(guān)性模型ρ(θ+,θ?)在θ= θ′處的曲率為

經(jīng)過一系列計算,最終得到

因而,可得到由(30)式表示的引入心理感知的剩余到期時間變量z(θ)后的歸一化相關(guān)性模型在θ=θ′的曲率為

圖6 觀察到的市場相關(guān)性的曲率Fig.6.Curvature of correlations observed in the market.

其中R是時間θ下模型的曲率.由于觀察到曲率大致以冪律形式下降(如圖6所示),而根據(jù)Baaquie[20]的研究結(jié)果可知,標(biāo)準(zhǔn)化傳播子的曲率變化的形狀幾乎完全由(33)式中的第一部分[z′(θ+)]2來決定. 因此,z(θ)也應(yīng)大致是θ的冪函數(shù),故擬設(shè)z(θ)= θv來擬合數(shù)據(jù),可得到υ≈0.1142.

已經(jīng)利用曲率的市場行為確定γ的值,因此,現(xiàn)在只剩下2個參數(shù)ν和μ來擬合整個相關(guān)性平面ρ(θ,θ′). 模型的參數(shù)估計依然是基于(28)式來進行參數(shù)校準(zhǔn),只是將(28)式中的θ用z(θ)= θν來代替,參數(shù)估計量多了一個ν,因為z=θv,定義λz=[θ]v和μz=[μ?θ]v,則在θ是以年來測度的單位內(nèi),使用非線性函數(shù)參數(shù)估計的Levenberg-Marquardt法得到參數(shù)估計結(jié)果列于表3.

表3 引入z(θ)后的量子場模型參數(shù)的最優(yōu)擬合結(jié)果Table 3.Optimal parameters fitting result for quantum field model with z(θ).

圖7 z(θ)下非標(biāo)準(zhǔn)化傳播子Fig.7.Non-standardization propagator with z(θ).

圖8 z(θ)下標(biāo)準(zhǔn)化傳播子Fig.8.Standardization propagator with z(θ).

通過比較圖8和圖3可看出:兩個圖形所表示的相關(guān)性結(jié)構(gòu)幾乎是完全符合的,即圖3表示的不完全的市場相關(guān)性結(jié)構(gòu)可有效地通過引入心理感知剩余時間變量的量子場理論模型來進行準(zhǔn)確刻畫.這一方面是由于在遠期利率的量子場理論模型中,利用二維量子場有效納入了國債瞬時遠期利率在日歷時間和到期時間兩個維度上的相關(guān)性,相比傳統(tǒng)金融上的HJM模型只考慮日歷時間方向上的相關(guān)性,有效提高了遠期利率模型對市場數(shù)據(jù)的擬合精度；另一方面,心理感知剩余時間變量的引入,囊括了市場情緒、投資者心理等因素的影響,進一步提高了量子場理論模型對數(shù)據(jù)的擬合效果.

4 最優(yōu)模型的預(yù)測結(jié)果分析

由第三節(jié)的內(nèi)容可知,當(dāng)υ=0.1142,?λ=28.7300/yr,?μ=0.0565/yr,相應(yīng)的b=1.9372時,得到量子場論下國債遠期利率的最優(yōu)模型.在此基礎(chǔ)上,通過將量子場A(t,T)離散化,利用最優(yōu)模型對2017年1月3日到2017年12月30日的0.1年期、0.2年期、0.3年期......9.9年期以及10年期等100個期限的250個瞬時遠期利率的期限結(jié)構(gòu)進行樣本外預(yù)測,將模型預(yù)測的遠期利率的理論值與實際遠期利率進行比較,來對本研究所構(gòu)建的最優(yōu)模型的預(yù)測能力進行評價.研究中,使用均方根誤差(RMSE)和Theil不等系數(shù)(U)兩個相對指標(biāo)來進行評價,二者的計算公式如下:

4.1 離散化量子場A(t,T)

由于傳播子D(θ,θ′)是個正定對稱矩陣, 因而可利用Cholesky分解將傳播子D分解為一個下三角矩陣Y及其轉(zhuǎn)置矩陣YT的乘積. 令0 6θ6θM, 其中θM=max(T?t), 對傳播子D(θ,θ′)進行Cholesky分解可得

對于θ=T?t,令

其中E[R(t,ξ)R(t′,ξ′)]= δ (t?t′)δ(ξ?ξ′),R(t,ξ)是每個日歷時間t和未來剩余時間ξ所對應(yīng)的獨立高斯隨機變量.當(dāng)i,j為離散整數(shù)時,根據(jù)狄拉克-δ函數(shù)可得

因此,當(dāng)未來剩余時間ξ=ξ′時,由上式可得:

由于研究中想預(yù)測的是2017年1月3日到2017年12月30日期間的0.1年期、0.2年期、0.3年期......9.9年期以及10年期等100個期限的瞬時遠期利率,共250個瞬時遠期利率的期限結(jié)構(gòu),因而在實證中,以2016年12月30日的遠期利率期限結(jié)構(gòu)作為初始的遠期利率期限結(jié)構(gòu).此外,設(shè)t0=0年,將日歷時間t和剩余到期時間θ離散化為:

其中,εt=1,2,...,250,j=1,2,...,100.

則 量 子 場A(t,θ)和 遠 期 利 率f(t,θ)重 新表示為

由遠期利率推導(dǎo)公式可以得到:

則離散化下的剩余未來時間θ=j?εθ,θ′=j′?εθ,(38)式可重新表示為

其中,i,i′=1,2,...,250,j,j′=1,2,...,100.則由(37)式可得:

因而,量子場Ai,j可以通過(48)式得到

其中,Ri,j是方差為的高斯隨機變量,即

根據(jù)連續(xù)時間下漂移率α?(t,T)的(12)式可推出,離散時間下漂移率滿足下列條件:

因而可得,國債瞬時遠期利率的更新方程如下:

4.2 穩(wěn)健性檢驗

為了對模型的穩(wěn)健性進行檢驗,將引入感知的剩余時間變量z(θ)得到的最優(yōu)遠期利率量子場理論模型的參數(shù)估計結(jié)果代入所得到的傳播子進行Cholesky分解,利用Matlab對(48)式中的Ri,j模擬10000次并對模擬得到的10000次結(jié)果取平均值,最后將所有參數(shù)代入由(51)式表示的遠期利率更新方程即可得到2017年1月3日到2017年12月30日期間的0.1年期、0.2年期、0.3年期......9.9年期以及10年期等100個期限的瞬時遠期利率的250個瞬時遠期利率的期限結(jié)構(gòu)結(jié)果.

為了將考慮日歷時間和到期時間兩個維度相關(guān)性的遠期利率的量子場理論模型的預(yù)測效果與傳統(tǒng)金融上只能考慮日歷時間方向上的相關(guān)性的兩因子HJM模型進行比較,將(24)式表示的兩因子HJM模型進行離散化,可得其利率更新方程:

其中ηk表示相互獨立的高斯白噪聲,且αi(θj)和σk(θj)滿足(53)式,

將最優(yōu)估計參數(shù)σ1=0.2682,σ2=2.5279,γ=1.6210代入(53)式可得到本文所設(shè)定的兩因子HJM模型下的漂移項,利用Matlab對(52)式中的ηk(k=1,2)模擬10000次并對模擬得到的10000次結(jié)果取平均值,最后將所有參數(shù)代入由(52)式表示的遠期利率更新方程,即可得到2017年1月3日到2017年12月30日期間的0.1年期、0.2年期、0.3年期......9.9年期以及10年期等100個剩余到期期限的瞬時遠期利率的250個瞬時遠期利率的期限結(jié)構(gòu)結(jié)果.

圖9給出了最優(yōu)量子場理論模型和傳統(tǒng)兩因子HJM模型預(yù)測的100個剩余到期期限的平均瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)圖,而圖10和圖11則分別給出兩個模型預(yù)測的各期限瞬時遠期利率的均方根誤差(RMSE)和Theil不等系數(shù)(U)的圖形.

圖9 平均瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)圖Fig.9.Average instantaneous forward rate term structure.

由圖9可知,平均而言,在剩余到期期限θ小于2.3年時,利用最優(yōu)量子場理論模型模擬得到的平均瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)存在一定的誤差,而當(dāng)θ大于2.3年以后,二者幾乎重疊在一起.此外,當(dāng)θ較小時,最優(yōu)量子場理論模型與HJM模型預(yù)測的平均瞬時遠期利率差異較小,但隨著θ的不斷增大,二者的差值在不斷增大.而圖10和圖11的兩個指標(biāo)均直接證實了同時考慮日歷時間和到期時間兩個維度的相關(guān)性的量子場理論模型大大提高了遠期利率模型的精度,因為對量子場理論模型預(yù)測的任意剩余到期期限θ的瞬時遠期利率,其均方根誤差(RMSE)和和Theil不等系數(shù)(U)均小于相對應(yīng)的HJM模型的預(yù)測值.這主要是由于遠期利率的量子場理論模型是直接對遠期利率的實際市場演化進行建模,模型所需估計的參數(shù)均直接由市場數(shù)據(jù)擬合得到,無需對波動率的函數(shù)形式做任何假定,而由市場得到的確定性波動率大幅度提高了量子場理論在金融應(yīng)用上的準(zhǔn)確性,而不像傳統(tǒng)金融上的HJM模型,需要事先對波動率的函數(shù)形式進行設(shè)定.

圖10 預(yù)測的各期限瞬時遠期利率的RMSEFig.10.RMSE of instantaneous forward rates predicted.

圖11 預(yù)測的各期限瞬時遠期利率的UFig.11.U of instantaneous forward rates predicted.

5 結(jié) 論

傳統(tǒng)金融上使用的絕大多數(shù)的遠期利率模型均是HJM模型的推廣,而由于傳統(tǒng)隨機微積分存在著提高模型精度與簡單模型之間的固有矛盾,使得當(dāng)前主流的HJM模型無法對實際金融市場中不同到期期限的遠期利率的不完全相關(guān)性進行準(zhǔn)確刻畫.而利用量子場理論來對遠期利率期限結(jié)構(gòu)的動力學(xué)過程進行建模的背后直覺來自于:每個不同到期期限的國債遠期利率既隨機演化又不與其他到期期限的遠期利率完美相關(guān),在每一個場理論模型中,無限個因子是通過一個支配不同到期期限的遠期利率之間的相關(guān)性的函數(shù)(即場理論模型中的傳播子算符)來關(guān)聯(lián).此外,本文所構(gòu)建的量子場理論模型產(chǎn)生于有限因子HJM框架,將HJM模型中只依賴于日歷時間t的布朗運動用一個既依賴于日歷時間t又依賴于到期時間T的二維量子場來代替,另一方面,相比傳統(tǒng)金融的HJM模型,國債遠期利率的量子場理論模型適用性更強,特別地,無需對波動率的函數(shù)形式做任何假定,由市場得到的確定性波動率大幅度提高了量子場理論在金融應(yīng)用上的準(zhǔn)確性.

實證研究結(jié)果亦表明,所構(gòu)建的考慮日歷時間和到期時間兩個維度上的相關(guān)性后的遠期利率量子場模型所得到的結(jié)果與觀察到的遠期利率的市場行為更符合,尤其在引入心理感知剩余時間變量后的量子場理論模型下,遠期利率的量子場理論模型對國債遠期利率市場行為的擬合優(yōu)度超過92%,遠優(yōu)于傳統(tǒng)金融上只能考慮日歷時間方向上的相關(guān)性的兩因子HJM模型69.02%的擬合優(yōu)度.此外,通過對傳播子進行Cholesky分解,離散化量子場,并將估計所得的最優(yōu)參數(shù)代入最優(yōu)量子場理論模型下的遠期利率更新方程,進行樣本外預(yù)測.從平均瞬時遠期利率、均方根誤差(RMSE)和Theil不等系數(shù)(U)三個方面的結(jié)果均直接證實了同時考慮日歷時間和到期時間兩個維度的相關(guān)性的量子場理論模型對國債遠期利率期限結(jié)構(gòu)建模的優(yōu)越性.

本文的實證結(jié)果,一方面對有關(guān)國債遠期利率的實證研究具有重要意義,因為一個精確的遠期利率模型可有效提高相關(guān)的以國債為標(biāo)的的各種金融產(chǎn)品定價的準(zhǔn)確性.另一方面,從金融理論方面來看,場理論方法確實為研究和理解資本市場的動力學(xué)特征增加了新的思路.