李育芳，胡秋林，李青俠，陳 雄，趙 鋒，劉 甡，豐 勵(lì)

(1.華中科技大學(xué) 電子信息與通信學(xué)院，湖北 武漢 430074； 2.多譜信息處理技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074；3.上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109； 4.湖北工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430068)

0 引言

微波輻射計(jì)是接收、處理物體輻射微波信號(hào)的專用設(shè)備[1-3],是一種新型的全被動(dòng)探測(cè)手段。與主動(dòng)發(fā)射微波信號(hào)的雷達(dá)相比，其僅被動(dòng)接收目標(biāo)發(fā)射的微波輻射信號(hào)，隱蔽性較強(qiáng)；同時(shí)，微波信號(hào)能穿透云層等覆蓋物[4]，受天氣影響較小，能全天時(shí)、全天候工作，區(qū)別金屬目標(biāo)和周邊環(huán)境的能力強(qiáng)。因此，微波輻射計(jì)在目標(biāo)探測(cè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

微波輻射計(jì)主要包括實(shí)孔徑和綜合孔徑輻射計(jì)兩類。其中：實(shí)孔徑輻射計(jì)通過(guò)機(jī)械掃描得到不同角度的輻射能量，其輸出電壓值與目標(biāo)場(chǎng)景的輻射能量呈線性關(guān)系，只需簡(jiǎn)單定標(biāo)、修正即可得到目標(biāo)場(chǎng)景的輻射亮溫，因此，在某種意義上可認(rèn)為其輸出結(jié)果就是場(chǎng)景亮溫；綜合孔徑輻射計(jì)的技術(shù)體制不同于實(shí)孔徑輻射計(jì)，其采用的是干涉測(cè)量的方法，系統(tǒng)輸出為可見(jiàn)度函數(shù)，可見(jiàn)度函數(shù)與場(chǎng)景亮溫分布是比較復(fù)雜的二維積分關(guān)系[5-6]，如果實(shí)際系統(tǒng)中的所有誤差均被校正，則綜合孔徑輻射計(jì)輸出的可見(jiàn)度函數(shù)與場(chǎng)景亮溫分布退化為二維傅里葉變換關(guān)系[7-8]。因此，綜合孔徑輻射計(jì)的天線陣列常被設(shè)計(jì)成在空間頻率域中均勻采樣的規(guī)則陣列，如T形陣、Y形陣等。這些規(guī)則天線陣列可在空間頻率域內(nèi)產(chǎn)生均勻分布的基線，即對(duì)可見(jiàn)度函數(shù)均勻采樣。此時(shí)，將輸出可見(jiàn)度采樣值進(jìn)行二維傅里葉反變換即可反演出觀測(cè)場(chǎng)景的亮溫圖像。

然而在實(shí)際應(yīng)用中，天線陣列難以排列規(guī)則，而非規(guī)則排列的天線陣列會(huì)在空間頻率域內(nèi)對(duì)可見(jiàn)度函數(shù)非均勻采樣。此時(shí)，對(duì)可見(jiàn)度采樣值直接傅里葉反變換得到的反演亮溫圖像質(zhì)量較差。對(duì)于非規(guī)則天線陣列的綜合孔徑輻射計(jì)，不適合直接采用傅里葉反演算法，因此需引入插值算法[9-10]和迭代算法[11-12]，從而有效提高非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)的反演精度。但這些算法只是通過(guò)單純的數(shù)學(xué)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)從非均勻可見(jiàn)度采樣值到亮溫圖像的反演，本身不具備明確的物理含義，也未建立反演誤差與非規(guī)則天線陣列排布之間的數(shù)學(xué)模型。

本文提出了基于系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化的亮溫反演算法，從非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)的系統(tǒng)性能出發(fā)，優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)，消除天線陣列非規(guī)則排列對(duì)反演精度的影響。經(jīng)系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化處理后，直接對(duì)系統(tǒng)輸出可見(jiàn)度函數(shù)進(jìn)行傅里葉反變換即可獲得精度較高的反演圖像。相比于傳統(tǒng)的插值算法和迭代算法，本文建立了反演誤差與非規(guī)則天線陣列排布之間的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于理解非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)的工作原理、優(yōu)化設(shè)計(jì)未來(lái)非規(guī)則天線陣列具有一定的理論價(jià)值和意義。

1 非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)

綜合孔徑輻射計(jì)利用稀疏天線陣列將陣列中的單元天線成對(duì)組成許多具有不同基線的二元干涉儀。例如，由天線i和j組成的二元干涉儀的輸出可見(jiàn)度函數(shù)表示為

(1)

(2)

式中：B為接收機(jī)帶寬；Gi,j為系統(tǒng)增益；Hi,j(f)為接收機(jī)通道的系統(tǒng)函數(shù)。假設(shè)綜合孔徑輻射計(jì)的系統(tǒng)誤差都能被校正，則理想情況下的可見(jiàn)度函數(shù)為

(3)

在實(shí)際應(yīng)用中，綜合孔徑輻射計(jì)的天線陣列尺寸有限，其最大基線也有限，且綜合孔徑輻射計(jì)的基線在空間頻率域內(nèi)為離散分布。這種物理上的限制等效于對(duì)輸出的可見(jiàn)度函數(shù)進(jìn)行加窗和采樣處理。該物理過(guò)程用數(shù)學(xué)公式可表示為

Vmeasure(u,v)=V(u,v)S(u,v;uk,vk)·

WR(u,v)

(4)

式中：Vmeasure(u,v)為綜合孔徑輻射計(jì)輸出的可見(jiàn)度，即實(shí)際測(cè)量的可見(jiàn)度；WR(u,v)為矩形窗；(uk,vk)為空間頻率域中的第k個(gè)采樣點(diǎn)；S(u,v;uk,vk)為采樣函數(shù)，其表達(dá)式為

(5)

(6)

式中：IFT[·]表示傅里葉反變換。將式(4)代入式(6)，得

IFT[V(u,v)]*IFT[S(u,v;uk,vk)·WR(u,v)]=

TB*AF(ξ,η)

(7)

式中：“*”為線性卷積運(yùn)算；TB為觀測(cè)場(chǎng)景的亮溫分布；AF(ξ,η)為綜合孔徑的陣列因子，其表達(dá)式為

AF(ξ,η)=IFT[S(u,v;uk,vk)WR(u,v)]=

(8)

從式(7)可知，綜合孔徑輻射計(jì)的反演亮溫為觀測(cè)場(chǎng)景亮溫與陣列因子的卷積。因此，陣列因子也稱為綜合孔徑輻射計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)。

綜合孔徑輻射計(jì)系統(tǒng)函數(shù)的旁瓣大小直接影響了反演圖像的精度。當(dāng)天線陣列規(guī)則排列時(shí)，其在空間頻率域中均勻采樣，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)旁瓣較小，從臨近像素點(diǎn)引入的誤差也越小。因此，對(duì)規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)直接進(jìn)行傅里葉反變換，即可反演出精度較高的亮溫圖像。當(dāng)天線陣列非規(guī)則排列時(shí)，其在空間頻率域中非均勻采樣，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)旁瓣較大，從臨近像素點(diǎn)引入的誤差也較大[13]，需通過(guò)特定算法處理后才能獲得精度較高的亮溫圖像。一維非規(guī)則天線陣列及其系統(tǒng)函數(shù)如圖1所示。由圖1可見(jiàn)，非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)具有較大旁瓣，其系統(tǒng)性能較差。

圖1 一維非規(guī)則天線陣列及其系統(tǒng)函數(shù)Fig.1 One-dimensional nonuniform antenna array and its system function

2 基于系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化的非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)亮溫反演

非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)反演精度較低，其根本原因是系統(tǒng)性能較差(即系統(tǒng)函數(shù)的旁瓣較大)。因此，通過(guò)優(yōu)化其系統(tǒng)函數(shù)來(lái)提升系統(tǒng)性能，可有效提高非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)的反演精度。

根據(jù)式(7)，非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)的反演誤差可表示為

TB(ξ,η)*[δ(ξ,η)-AF(ξ,η)]

(9)

(10)

式中：ck為第k個(gè)基線上的權(quán)重因子。由于優(yōu)化后的系統(tǒng)函數(shù)AFo(ξ,η)需逼近理想的陣列因子，其表達(dá)式為

E{[δ(ξ,η)-AFo(ξ,η)]2|c={c0,c1,…,cK-1}}=min

(11)

將式(11)中的方向余弦(ξ,η)進(jìn)行離散化處理，則式(11)可表示為

‖p-H·c‖2=min

(12)

式中：‖·‖2為歐氏范數(shù)；p為向量，即

p=[δ(ξ0,η0)δ(ξ0,η1) …δ(ξm,ηm) …δ(ξM,ηN)]T

(13)

H矩陣可表示為

(14)

其中，

(15)

c為向量，可表示為

c=[c0,c1,…,cK-1]T

(16)

根據(jù)式(11)可求解每個(gè)基線上的權(quán)重因子，即

c=H+·p

(17)

將求解的權(quán)重系數(shù)乘以對(duì)應(yīng)的基線，直接進(jìn)行傅里葉反變換，從而反演出觀測(cè)場(chǎng)景的亮溫分布，其表達(dá)式為

(18)

式中：F-1為傅里葉反變換矩陣。

然而，由式(18)反演的亮溫圖像并不穩(wěn)定，因此需對(duì)H矩陣進(jìn)行奇異值分解，該過(guò)程可表示為

(19)

式中：σn為按降序排列的第n個(gè)奇異值；un、vn分別為對(duì)應(yīng)的左右奇異向量。因此，H矩陣的廣義逆矩陣H+可表示為

(20)

將式(17)、(20)代入式(18)中，則

(21)

從式(21)中可知，H矩陣中包含了許多非常小的奇異值，這些小奇異值會(huì)導(dǎo)致反演圖像不穩(wěn)定。實(shí)際上，盡管通過(guò)誤差校正可將硬件系統(tǒng)中的大部分系統(tǒng)誤差校正掉，但是硬件系統(tǒng)中還是會(huì)存在小部分未校正掉的殘差。另外，輻射計(jì)系統(tǒng)中還存在難以消除的系統(tǒng)熱噪聲。這些誤差在反演的過(guò)程中會(huì)被H矩陣中的小奇異值放大，導(dǎo)致最終的反演圖像不穩(wěn)定。為穩(wěn)定反演結(jié)果，需對(duì)求解的H矩陣進(jìn)行正則化處理。經(jīng)過(guò)正則化處理后的權(quán)重系數(shù)為

(22)

式中：Ntruncated為丟棄的小奇異值數(shù)量。因此，正則化處理后的最終反演圖像可表示為

(23)

(24)

在求解每個(gè)基線上的權(quán)重系數(shù)時(shí)引入了正則化，雖然能穩(wěn)定反演結(jié)果，但會(huì)導(dǎo)致反演圖像質(zhì)量的下降。因此，引入了迭代運(yùn)算，以消除正則化對(duì)反演圖像質(zhì)量的影響。

根據(jù)數(shù)字信號(hào)處理的相關(guān)理論，式(23)中的線性卷積關(guān)系可表示為矩陣乘積關(guān)系，即

(25)

基于式(25)的矩陣乘積關(guān)系，具體的迭代過(guò)程如下：

1) 經(jīng)過(guò)第n次迭代運(yùn)算后，反演的亮溫圖像Tn可表示為

(26)

(27)

另外，Tn的初始值為

T0=0

(28)

式(26)中B矩陣可表示為

B=I-A

(29)

式中：I為單位矩陣。

2)計(jì)算第n次迭代運(yùn)算的殘差Err=‖Tn+1-Tn‖2，若Err小于門(mén)檻值，即

Err2≤ΔT2

(30)

則停止迭代運(yùn)算，Tn+1即為反演圖像。式(30)中，ΔT為停止迭代的門(mén)檻值，主要由系統(tǒng)噪聲和吉布斯振蕩決定。

在整個(gè)迭代過(guò)程中，式(26)可表示為

?

(31)

式中：(Bn+Bn-1+…+I)被稱為Neumann序列，當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，

Bn+Bn-1+…+I→(I-B)-1

(32)

將式(28)、(29)、(32)代入式(31)中，當(dāng)?shù)螖?shù)n較大時(shí)，反演圖像Tn最終收斂于

(33)

由上述可知，引入的迭代算法是對(duì)式(25)進(jìn)行的求逆計(jì)算，而式(25)實(shí)際上是系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化后反演出的亮溫圖像。因此，迭代運(yùn)算在一定程度上能消除正則化對(duì)反演精度的影響，進(jìn)一步提升非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)的反演精度。

3 仿真及結(jié)果分析

3.1 理想系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證

對(duì)理想硬件系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，驗(yàn)證本文算法的正確性。為了更清晰顯示仿真結(jié)果，采用一維天線陣列。假設(shè)一隨機(jī)天線陣列有12個(gè)單元天線，均服從均勻隨機(jī)分布，最大基線長(zhǎng)度為30λ。12個(gè)單元天線的具體排布位置為{0,5.1,5.5,8.2,11.5,13.7,15.7,17.1,22.3,24.0,27.3,30.0}·λ，如圖2所示。

圖2 一維隨機(jī)天線陣列Fig.2 One-dimensional random antenna array

圖3 觀測(cè)場(chǎng)景的亮溫分布Fig.3 Brightness temperature distribution of observed scene

觀測(cè)場(chǎng)景為展源場(chǎng)景，如圖3所示。由于仿真陣列中的單元天線是隨機(jī)排列的，該陣列在空間頻率域中非均勻采樣，其對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)旁瓣較大，如圖4(a)所示。對(duì)仿真陣列輸出的可見(jiàn)度直接進(jìn)行傅里葉反變換，獲得的反演圖像如圖5(a)所示。由圖可見(jiàn)，直接反演引入的誤差較大。為了優(yōu)化仿真陣列的系統(tǒng)函數(shù)，根據(jù)隨機(jī)天線陣列的具體排列方式，利用式(17)可計(jì)算出每個(gè)基線上的權(quán)重系數(shù)，優(yōu)化后的系統(tǒng)函數(shù)如圖4(b)所示。將優(yōu)化后的小旁瓣系統(tǒng)函數(shù)替換原先的大旁瓣系統(tǒng)函數(shù)，利用傅里葉反變換得到的反演圖像如圖5(b)所示。由圖可見(jiàn)，反演圖像質(zhì)量得到明顯改善。

圖4 仿真陣列系統(tǒng)函數(shù)Fig.4 System function of simulated array

圖5 反演圖像Fig.5 Reconstructed images

由上述仿真可見(jiàn)，當(dāng)綜合孔徑輻射計(jì)的天線陣列隨機(jī)排列時(shí)，天線陣列在空間頻率域內(nèi)非均勻采樣，導(dǎo)致系統(tǒng)函數(shù)的旁瓣較大，且系統(tǒng)函數(shù)的旁瓣也不會(huì)衰減。因此，反演圖像從臨近像素點(diǎn)上引入的誤差也較大。本文通過(guò)優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)，抑制了系統(tǒng)函數(shù)旁瓣。將優(yōu)化后的小旁瓣系統(tǒng)函數(shù)替換原有的大旁瓣系統(tǒng)函數(shù)，提高非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)亮溫圖像的反演質(zhì)量。

圖6 優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)后，直接傅里葉反變換得到的反溫圖像Fig.6 Reconstructed images obtained by direct Fourier transform after system function is optimized

3.2 非理想系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證

考慮到實(shí)際硬件系統(tǒng)中存在多種系統(tǒng)誤差和噪聲，將本文算法應(yīng)用在有噪系統(tǒng)中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。綜合孔徑輻射計(jì)的硬件系統(tǒng)不再是理想系統(tǒng)，其接收機(jī)的中心頻率為1.4 GHz，帶寬為25 MHz，積分時(shí)間為0.1 s，接收機(jī)噪聲溫度為500 K。由于H矩陣中存在很多小奇異值，會(huì)在圖像反演過(guò)程中放大噪聲，因此，如果在優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)的過(guò)程中不進(jìn)行正則化處理會(huì)導(dǎo)致反演結(jié)果淹沒(méi)在噪聲中，如圖6(a)所示。為穩(wěn)定反演結(jié)果，必須對(duì)H矩陣進(jìn)行正則化處理，處理后，基線上的權(quán)重系數(shù)由式(22)計(jì)算。將權(quán)重系數(shù)乘以可見(jiàn)度函數(shù)，直接進(jìn)行傅里葉反變換可得到反演圖像，如圖 6(b)所示。對(duì)比圖6(a)和(b)可知，在優(yōu)化非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)過(guò)程中必須進(jìn)行正則化處理，才能得到穩(wěn)定的反演圖像。

雖然正則化處理能穩(wěn)定反演過(guò)程，但會(huì)導(dǎo)致反演圖像的質(zhì)量下降。因此，需進(jìn)行迭代運(yùn)算。經(jīng)過(guò)120次迭代運(yùn)算后，反演的亮溫圖像如圖7所示。對(duì)比原始圖像(見(jiàn)圖3)可知，迭代運(yùn)算處理后的反演亮溫圖像，質(zhì)量得到了明顯改善。

圖7 迭代運(yùn)算與正則化處理后反演圖像的對(duì)比Fig.7 Comparison of reconstructed images between iteration method and regularization method

仿真結(jié)果表明，在非理想系統(tǒng)中噪聲會(huì)在反演過(guò)程中被放大，因此，在系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)化過(guò)程中通過(guò)正則化的處理，濾掉矩陣H矩陣中的小奇異值，能有效穩(wěn)定反演結(jié)果。但是正則化的處理會(huì)導(dǎo)致反演圖像的質(zhì)量輕微下降，在高精度的遙感應(yīng)用中，反演圖像質(zhì)量是非常關(guān)鍵的。因此，在本文提出的反演算法中引入了迭代算法，通過(guò)多次迭代運(yùn)算達(dá)到補(bǔ)償反演圖像質(zhì)量的目的。

3.3 反演算法對(duì)比

將本文算法與G矩陣反演算法進(jìn)行了對(duì)比。仿真場(chǎng)景和仿真條件與前面的仿真完全一致，由于非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)的G矩陣條件數(shù)較大，因此，在反演亮溫之前也需要正則化處理。經(jīng)過(guò)截?cái)嗥娈愔堤幚砗?，G矩陣的反演圖像如圖8所示。由圖8可知，本文算法的反演精度與G矩陣類似。由于大型非規(guī)則天線陣列難以測(cè)量其對(duì)應(yīng)的G矩陣，本文算法可作為測(cè)量該類陣列G矩陣的有效手段。

圖8 本文算法與G矩陣反演圖像的對(duì)比Fig.8 Comparison of reconstructed images between proposed method and G-matrix method

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化的非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)亮溫反演算法，通過(guò)優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)，消除單元天線非規(guī)則排列對(duì)系統(tǒng)函數(shù)性能的影響，提高反演圖像的質(zhì)量。此外，考慮到實(shí)際硬件系統(tǒng)中存在的白噪聲和校正后的殘留誤差會(huì)在系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化過(guò)程中被放大，影響反演圖像質(zhì)量，因此在系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)化過(guò)程中引入了正則化處理，穩(wěn)定反演結(jié)果，但正則化處理會(huì)使反演圖像質(zhì)量的下降。為了補(bǔ)償反演圖像質(zhì)量的損失，在算法中引入了迭代算法。仿真結(jié)果表明：對(duì)于非理想系統(tǒng)，本文算法能有效提高非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計(jì)反演圖像的質(zhì)量。將本文算法與G矩陣反演算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明本文算法的反演精度與G矩陣大致相當(dāng)。因此，對(duì)于難以測(cè)量G矩陣的大型非規(guī)則天線陣列，本文算法可作為一種有效反演方法。另外，本文提出的反演算法建立了反演誤差與非規(guī)則天線陣列排布之間的數(shù)學(xué)模型，對(duì)未來(lái)基于小衛(wèi)星編隊(duì)的分布式天線陣列的優(yōu)化研究具有一定的指導(dǎo)作用。