溫鮮　霍海峰

摘 要 研究非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型的歐式障礙期權(quán)定價(jià)問(wèn)題時(shí)，首先介紹了非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型，其次利用投資組合和It引理，得到了該模型下擴(kuò)展的Black-Schole偏微分方程.由于這個(gè)方程沒(méi)有顯示解，因此采用對(duì)偶蒙特卡羅模擬法計(jì)算歐式障礙期權(quán)的價(jià)格.最后，通過(guò)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了算法的可行性和準(zhǔn)確性.

關(guān)鍵詞 概率論；期權(quán)定價(jià)；蒙特卡洛模擬

中圖分類號(hào) F830.9；O211.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract Under non-affine stochastic volatility model， the pricing problem of an European Barrier option is considered in this paper. First， the non-affine stochastic volatility model is introduced. Secondly， by constructing a portfolio and using It lemma， the extension of Black-Scholes parti-al differential equation is obtained. Due to this equation has not a formula solution， the Monte Carlo simulation with antithetic variables is used to calculate the price of European barrier option. Finally， the feasibility and accuracy of the algorithm are verified by numerical examples.

Key words probability； pricing options； Monte Carlo simulation

1引 言

經(jīng)典Black-Schools模型的市場(chǎng)假設(shè)在實(shí)際金融市場(chǎng)中很難滿足.為了更準(zhǔn)確的描述金融市場(chǎng)，有效的對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，許多學(xué)者開(kāi)始關(guān)注隨機(jī)波動(dòng)率模型，例如Hull-White隨機(jī)波動(dòng)率模型，Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型等.在Hull-White隨機(jī)波動(dòng)率模型下，即波動(dòng)率是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，且波動(dòng)率過(guò)程與股票價(jià)格相關(guān)時(shí)，溫鮮、鄧國(guó)和[1]（2016）給出了對(duì)偶蒙特卡洛模擬歐式障礙期權(quán)價(jià)格的算法，并通過(guò)例子計(jì)算說(shuō)明了數(shù)值模擬的可行性和準(zhǔn)確性.在Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型下，即標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足擴(kuò)散過(guò)程，且波動(dòng)率與現(xiàn)金存款收益之間滿足任意相關(guān)性，張素梅[2]（2017）利用非均勻網(wǎng)格的有限差分方法計(jì)算了歐式障礙期權(quán)的價(jià)格，并通過(guò)蒙特卡洛方法驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.在跳躍擴(kuò)散模型下，即標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足帶有跳躍點(diǎn)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，張利花、張衛(wèi)國(guó)和許文坤[3]（2013）通過(guò)最小二乘擬蒙特卡羅法模擬了美式障礙期權(quán)的價(jià)格.在分?jǐn)?shù)Black-scholes模型下，即標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，霍海峰、溫鮮和鄧國(guó)和[4]（2009）通過(guò)求解偏微分方程得到了歐式障礙期權(quán)價(jià)格的封閉解，并驗(yàn)證了封閉解的準(zhǔn)確性.沈明軒等[5]（2012）在巨災(zāi)指數(shù)滿足分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型時(shí)，即巨災(zāi)指數(shù)滿足帶有跳躍情形的幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，通過(guò)保險(xiǎn)精算法得到了巨災(zāi)期權(quán)的價(jià)格.

自從Christopher等[6]（2003）利用實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了非仿射波動(dòng)率模型刻畫股票行為比其它市場(chǎng)模型更優(yōu)越之后，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始關(guān)注非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型.為了擺脫傳統(tǒng)的BS模型、隨機(jī)波動(dòng)率模型、跳躍擴(kuò)散模型中對(duì)波動(dòng)率施加的限制，Chourdakis[7]（2004）在非仿射對(duì)數(shù)方差模型下，利用連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈模擬波動(dòng)率過(guò)程，并給出了期權(quán)定價(jià)的一種數(shù)值方法.Chourdakis[8]（2011）在非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型下提出了一種新的估計(jì)隨機(jī)波動(dòng)率的方法，并通過(guò)實(shí)證說(shuō)明了非仿射波動(dòng)率模型相比傳統(tǒng)的平方根隨機(jī)波動(dòng)率模型的優(yōu)越性.Shi[9]（2016）等在股票價(jià)格滿足非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型時(shí)，通過(guò)差分法求解偏微分方程進(jìn)行期權(quán)定價(jià).在非仿射波動(dòng)率模型下，吳鑫育[10]（2013）應(yīng)用快速傅里葉變換方法討論了標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的定價(jià).張霞[11]（2014）在非仿射波動(dòng)率模型中使用傅里葉變換法對(duì)歐式認(rèn)股權(quán)證進(jìn)行了定價(jià).

5 結(jié) 論

由于非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型比經(jīng)典的 Black-Scholes模型具有更高的定價(jià)精確性，與仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型相比，能夠更好的描述資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)，故在該模型下研究期權(quán)定價(jià)很具實(shí)際意義.這里考慮非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型的歐式障礙期權(quán)定價(jià)，首先利用投資組合和It引理，得到歐式障礙期權(quán)在該模型下滿足的擴(kuò)展Black-Scholes偏微分方程.由于很難得到該方程的公式解，考慮采用數(shù)值計(jì)算方法.在此運(yùn)用對(duì)偶蒙特卡洛模擬法計(jì)算歐式障礙期權(quán)的價(jià)格，并給出了具體的算法.最后，在數(shù)值實(shí)例中，對(duì)比已有文獻(xiàn)[10]中歐式看漲期權(quán)價(jià)格的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了對(duì)偶MC法的準(zhǔn)確性，從而可利用此法計(jì)算下降敲出歐式看漲障礙期權(quán)的價(jià)格，其它各類障礙期權(quán)的價(jià)格也可類似計(jì)算.另外，該方法也可推廣應(yīng)用于非仿射隨機(jī)波動(dòng)率模型的其它新型期權(quán)的定價(jià)中.由于障礙期權(quán)是路徑依賴型期權(quán)，這類期權(quán)的其它數(shù)值定價(jià)方法例如二叉樹(shù)法，差分法有待進(jìn)一步研究.

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