楊萬鋒,楊 驍

(上海大學土木工程系,上海200444)

各類結(jié)構(gòu)在服役期因受各種因素的影響而不可避免地產(chǎn)生性能的退化,因此對結(jié)構(gòu)進行定期健康檢測和損傷識別尤為重要.學者們針對不同的工程結(jié)構(gòu)提出了許多新的損傷識別方法[1-6].這些方法的共性之處在于需要得到結(jié)構(gòu)模型的完整測量數(shù)據(jù).但在實際工程中,由于傳感器數(shù)量或者測量條件等的限制,實際測量的結(jié)構(gòu)自由度小于結(jié)構(gòu)分析模型的自由度.因此,如何在不完備的實測數(shù)據(jù)以及考慮隨機測量噪聲引起的實測數(shù)據(jù)誤差條件下,得到滿足一定精度要求的損傷識別結(jié)果是一個值得關(guān)注和研究的課題.

不完備測試數(shù)據(jù)下的結(jié)構(gòu)損傷識別問題已有部分研究成果.Sheena等[7]不考慮噪聲影響,基于不完備測量數(shù)據(jù),利用樣條插值函數(shù)得到了未測量數(shù)據(jù),據(jù)此提出了一種利用靜態(tài)測量數(shù)據(jù)修正結(jié)構(gòu)模型的方法.Snayaei等[8]基于不完備測量數(shù)據(jù),以外部荷載與內(nèi)力之差最小為目標函數(shù),提出了一種確定結(jié)構(gòu)損傷的優(yōu)化迭代策略.崔飛等[9]研究了基于靜態(tài)應(yīng)變及位移測量的結(jié)構(gòu)損傷識別算法,并結(jié)合Gauss-Newton法和梯度法提高了算法的魯棒性.Kim等[10]在精確有限元模型的基礎(chǔ)上,提出了一種不完備振型下基于結(jié)構(gòu)固有頻率變化的損傷識別方法.李蕊等[11]建立了有限測量數(shù)據(jù)條件下,將有限元模型縮聚理論與自適應(yīng)序貫非線性最小二乘法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)損傷識別方法.趙建華等[12]在振型擴階的基礎(chǔ)上,利用Moore-Penrose廣義逆法,提出了一種不完備測量的結(jié)構(gòu)損傷識別方法.Seyed等[13]分別利用不完備的模態(tài)和靜態(tài)位移數(shù)據(jù)建立了相應(yīng)的目標函數(shù),利用模擬退火算法優(yōu)化目標函數(shù),從而確定了損傷位置和損傷程度.聶振華等[14]將結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)以相空間的形式展開,根據(jù)損傷前后相空間拓撲結(jié)構(gòu)的變化,提出了新的損傷因子.李世龍等[15]基于模態(tài)擴充思想,利用損傷結(jié)構(gòu)實測模態(tài)擴充數(shù)據(jù)與完整結(jié)構(gòu)計算模態(tài)數(shù)據(jù),建立了結(jié)構(gòu)損傷控制方程,并提出運用信賴域優(yōu)化算法進行結(jié)構(gòu)各單元的剛度損傷識別.Chen等[16]研究了傳感器的最佳位置確定,并基于多損傷定位準則,給出了基于模態(tài)頻率變化的結(jié)構(gòu)損傷程度識別方法.Sun等[17]利用不完備模態(tài)數(shù)據(jù)提出了基于自適應(yīng)隨機游走馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法的模型參數(shù)算法.

與結(jié)構(gòu)動力學方程相比,結(jié)構(gòu)靜力平衡方程只與結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān),與阻尼、質(zhì)量等動力特性無關(guān).因此,基于結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)的結(jié)構(gòu)損傷識別可有效避免因質(zhì)量,特別是阻尼等的不確定性對損傷識別精度的影響.由于目前各種靜態(tài)測量設(shè)備和技術(shù)已先進成熟,因而用較低的成本即可得到結(jié)構(gòu)相當準確的變形或應(yīng)變值.考慮到實際工程中實測數(shù)據(jù)有限而待識別參數(shù)較多,本工作結(jié)合基于靜態(tài)應(yīng)變能的損傷定位指標和基于有限元縮聚法損傷程度計算,提出了一種兩階段損傷識別方法.本方法利用靜態(tài)應(yīng)變能變化的損傷定位指標,對結(jié)構(gòu)可能的損傷進行定位識別,在確定可能損傷位置的基礎(chǔ)上,利用縮聚法建立損傷狀態(tài)方程,并采用模擬退火算法求解損傷狀態(tài)方程,從而得到結(jié)構(gòu)的準確損傷位置和損傷程度.為驗證本方法的有效性和可靠性,對一個5單元超靜定,一個13單元靜定和一個10單元超靜定平面桁架結(jié)構(gòu)的損傷識別進行了數(shù)值模擬.結(jié)果表明,在測量位移不完備的情況下,本工作所提出的兩階段結(jié)構(gòu)損傷識別方法可對結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度進行準確識別,且對測量噪聲具有較強的魯棒性.

1 損傷定位

從理論上講,靜力識別中待識別的結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)可以是結(jié)構(gòu)單元剛度矩陣中的任何變量.但一般而言,結(jié)構(gòu)材料彈性模量E的變化最能直接反映損傷對結(jié)構(gòu)及其構(gòu)件受力所產(chǎn)生的影響.Banks等[18]和Luo等[19]給出了各向同性彈性材料結(jié)構(gòu)的損傷:

式中,Eu和Ed分別為結(jié)構(gòu)損傷前后材料的彈性模量,d(x,y)為結(jié)構(gòu)材料局部損傷狀態(tài)的損傷分布函數(shù),其取值范圍在0～1之間,其中d(x,y)=0表示結(jié)構(gòu)材料未損傷,d(x,y)=1表示結(jié)構(gòu)材料完全損傷.

通常,結(jié)構(gòu)靜態(tài)平衡有限元方程可表示為

式中,[K]為結(jié)構(gòu)的總剛度陣,{u}為結(jié)構(gòu)總節(jié)點位移矢量,{F}為結(jié)構(gòu)等效節(jié)點載荷.

式中,i和k分別表示荷載工況和單元,M和N分別表示荷載工況數(shù)和單元數(shù),[Kku]為單元k的未損傷單元剛度矩陣,為未損傷時單元k在荷載i作用下的節(jié)點位移矢量,上標T表示轉(zhuǎn)置.

顯然,若單元k未損傷,則損傷前后該單元的剛度矩陣不變;若單元k出現(xiàn)損傷,則其損傷后的剛度矩陣為其中dk為單元k的平均損傷程度,是一個需確定的未知量.為簡化計算,用未損傷時的單元剛度矩陣來代替損傷后的單元剛度矩陣這樣,在靜態(tài)荷載i作用下,損傷結(jié)構(gòu)每個單元的靜態(tài)應(yīng)變能可近似為

荷載i作用下單元k的應(yīng)變能增量?Eik為

由此可定義荷載i作用下單元k相對于未損傷結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能Eui的相對應(yīng)變能增量?Erik為

為減小隨機噪聲對節(jié)點位移的影響,定義M種荷載工況下的平均應(yīng)變能增量為

與文獻[20]類似,定義單元k的損傷定位指標為

由式(8)定義的損傷定位指標Dk具有如下性質(zhì):①若待識別結(jié)構(gòu)是靜定的,根據(jù)相對應(yīng)變能增量?的定義,則對于損傷單元k,Dk>0,對于未損傷單元k,Dk=0;②若待識別結(jié)構(gòu)是超靜定的,由于超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)部單元損傷時會引起內(nèi)力重分布,因此Dk=0表明該單元未損傷,而Dk>0包含真實的損傷單元以及若干未損傷單元.也就是說,Dk>0只表明可能的損傷單元,但該單元是否損傷,需利用單元k的局部損傷狀態(tài)參量dk進行判斷,即dk>0表示單元損傷,dk=0表示單元未損傷.

同時需要指出的是,在上述計算方法中,未損傷結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移由未損傷結(jié)構(gòu)的有限元模型獲得,而損傷結(jié)構(gòu)未測量自由度上的位移由靜態(tài)凝縮法獲得[21-22].

2 損傷程度

假定由損傷定位指標Dk>0確定L個可能的損傷單元為k=k1,k2,···,kL,相應(yīng)的損傷狀態(tài)參量為dkr,r=1,2,···,L,此時,損傷結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程為

式中,[Kd]=[Kd(dk1,dk2,···,dkL)]為損傷結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣,{ud}為損傷結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移矢量.

考慮到實際測量時,由于傳感器數(shù)量有限或受測量條件的限制,不能測量結(jié)構(gòu)所有的自由度位移.此時,將結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移矢量{ud}拆分為測量自由度上的位移{}和未測量自由度上的位移{},而相應(yīng)的等效節(jié)點載荷矢量{F}拆分成相應(yīng)的{Fm}和{Fs},其中下標m和s分別表示測量自由度和未測量自由度.

基于此,式(9)可改寫為

由此可得

式(11)為確定狀態(tài)參量dkr(r=1,2,···,L)的非線性損傷狀態(tài)方程.考慮測量噪聲的影響,將式(11)的求解轉(zhuǎn)化為如下的最小值問題:在約束0 6 dk16 1,0 6 dk26 1,···,0 6 dkL6 1條件下,尋求dkr(r=1,2,···,L),使得

式中,d=(dk1,dk2,···,dkL),k·k表示矢量的模.

數(shù)值求解最小值問題式(13)的方法很多,但為了避免最小值解的搜索過程陷入局部最小解,可采用模擬退火法[23-24]進行求解,從而得到損傷狀態(tài)參量dkr(r=1,2,···,L).對于單元kr0,若dkr0=0,則單元kr0未損傷;若dkr0>0,則單元kr0損傷,且損傷程度為dkr0.

3 數(shù)值算例

為驗證本工作所建立的結(jié)構(gòu)損傷兩階段識別方法的有效性和可靠性,首先對文獻[20]中的5單元超靜定平面桁架進行損傷定位,并與文獻[20]的結(jié)果進行對比.5單元超靜定平面桁架的有限元模型單元(編號①～⑤)和節(jié)點(編號1～4)如圖1所示.設(shè)結(jié)構(gòu)材料的彈性模量Eu=210 GPa,橫截面積A=5×10?5m2,且假定結(jié)構(gòu)的單元②、單元③、單元④分別存在20%,25%和10%不同程度的損傷,損傷前后該桁架的位移由有限元模擬給出.

圖1 5單元超靜定平面桁架結(jié)構(gòu)Fig.1 5 element statically indeterminate planar truss structure

圖2給出了文獻[20]和本工作提出的損傷定位方法對該桁架在上述損傷工況下的損傷定位結(jié)果.可見,文獻[20]的損傷定位方法出現(xiàn)了誤判,即把單元④判定為未損傷單元,與實際的損傷情況不符;而本方法能初步判斷單元②、單元③、單元④、單元⑤為可能損傷單元.該判斷結(jié)果包含了所有的損傷單元.可見,本方法能更全面的給出可能損傷單元,為后續(xù)更準確的損傷判斷奠定了基礎(chǔ).

圖2 5單元超靜定平面桁架損傷定位Fig.2 Damage localization of the 5 element statically indeterminate planar truss

為考察測量噪聲對損傷識別結(jié)果的影響,假定測量位移由損傷結(jié)構(gòu)有限元模擬位移疊加測量噪聲構(gòu)成,即若{}為損傷結(jié)構(gòu)的有限元模擬位移,則測量位移為

式中,η為噪聲程度,Nm為測量位移的自由度數(shù),rand()為在區(qū)間[0,1]的均布隨機數(shù).

選用2個桁架結(jié)構(gòu)進行損傷位置識別和損傷程度確定:一為13單元靜定平面桁架結(jié)構(gòu),二為10單元超靜定平面桁架結(jié)構(gòu),且2個算例均考慮了2種損傷工況,以期能較全面了解損傷單元數(shù)目及位置對識別結(jié)果的影響.

3.1 13單元靜定平面桁架結(jié)構(gòu)

13單元靜定平面桁架結(jié)構(gòu)的有限元模型單元(編號①～13)和節(jié)點(編號1～8)如圖3所示.設(shè)結(jié)構(gòu)材料的彈性模量Eu=210 GPa,橫截面積A=5×10?5m2,且假定結(jié)構(gòu)存在如表1所示的2種損傷工況Ⅰ和Ⅱ.為了減少隨機噪聲的影響,考慮了如表2所示的2種荷載情況,且2種損傷工況Ⅰ和Ⅱ中節(jié)點7的豎向位移和節(jié)點8的豎向及水平位移均未測量.

圖3 13單元靜定平面桁架結(jié)構(gòu)Fig.3 13 element statically determinate planar truss structure

表1 13單元靜定平面桁架損傷工況Table 1 Damage cases of the 13 element statically determinate planar truss

表2 13單元靜定平面桁架荷載情況Table 2 Load cases of the 13 element statically determinate planar truss

3.1.1 損傷定位

圖4和5給出了2種損傷工況Ⅰ和Ⅱ下13單元靜定平面桁架結(jié)構(gòu)單元的損傷定位結(jié)果.由圖4可見,在無噪聲的情況下,只有單元⑥的損傷定位指標D6>0,其他單元的Dk=0(k 6=6),與假定損傷工況Ⅰ的損傷單元一致.同樣,從圖5可以看出,在無噪聲的情況下,只有單元③、單元⑤和單元⑥的損傷定位指標Dk>0(k=3,5,6),其他單元的Dk=0(k 6=3,5,6),亦與假定損傷工況Ⅱ的損傷單元一致.對于分別具有3%和5%均布隨機噪聲情況的損傷定位,從圖4和5中也可以分別看出,噪聲對損傷定位指標Dk的數(shù)值有一定的影響,但影響程度有限,不會造成誤判.當噪聲水平在3%時,損傷工況Ⅰ和Ⅱ下單元的損傷定位指標Dk值與無噪聲時的最大相對誤差分別為2.41%和3.46%;當噪聲水平在5%時,相應(yīng)的Dk值的最大相對誤差為4.60%和5.48%.同時,未損傷單元的Dk值較損傷單元小一個數(shù)量級,很容易被剔除.因此,即便存在測量噪聲,由縮聚法[21]得到的未測量位移仍能對靜定平面桁架的損傷位置進行較準確判斷.

圖4 13單元靜定平面桁架損傷工況Ⅰ的損傷定位Fig.4 Damage localization for the damage caseⅠof the 13 element statically determinate planar truss

圖5 13單元靜定平面桁架損傷工況Ⅱ的損傷定位Fig.5 Damage localization for the damage caseⅡof the 13 element statically determinate planar truss

3.1.2 損傷程度

在確定損傷位置的基礎(chǔ)上,圖6和7給出了2種損傷工況Ⅰ和Ⅱ下13單元靜定平面桁架結(jié)構(gòu)單元的損傷程度識別結(jié)果.可見,在沒有噪聲干擾時可準確判斷2種工況的損傷程度,而當存在3%和5%噪聲水平干擾時,2種工況下的損傷識別結(jié)果存在一定的誤差:損傷工況Ⅰ下的損傷程度識別結(jié)果與真實損傷程度之間的最大相對誤差分別為3.2%和4.8%,損傷工況Ⅱ下的最大相對誤差分別為4.0%和4.4%.數(shù)值結(jié)果同時表明:噪聲水平越高,損傷程度識別誤差越大,但對噪聲具有較強的魯棒性.

圖6 13單元靜定平面桁架損傷工況Ⅰ的損傷程度Fig.6 Damage degree for the damage caseⅠof the 13 element statically determinate planar truss

圖7 13單元靜定平面桁架損傷工況Ⅱ的損傷程度Fig.7 Damage degree for the damage caseⅡof the 13 element statically determinate planar truss

3.2 10單元超靜定平面桁架結(jié)構(gòu)

10單元超靜定平面桁架結(jié)構(gòu)的有限元模型單元(編號①～⑩)和節(jié)點(編號1～6)如圖8所示.設(shè)結(jié)構(gòu)材料的彈性模量Eu=206.8 GPa,橫截面積A=3.226×10?4m2,且假定結(jié)構(gòu)存在如表3所示的2種損傷工況Ⅰ和Ⅱ,并考慮了如表4所示的2種荷載情況,且2種損傷工況中節(jié)點4的豎向及水平位移均未測量.

表3 10單元超靜定平面桁架損傷工況Table 3 Damage cases of the 10 element statically indeterminate planar truss

表4 10單元超靜定平面桁架荷載情況Table 4 Load cases of the 10 element statically indeterminate planar truss

圖8 10單元超靜定平面桁架結(jié)構(gòu)(mm)Fig.8 10 element statically indeterminate planar truss structure(mm)

3.2.1 損傷定位

圖9和10給出了2種工況下10單元超靜平面桁架結(jié)構(gòu)單元的損傷定位結(jié)果.對于損傷工況Ⅰ,由圖9可見,結(jié)構(gòu)的可能損傷單元為單元④、單元⑤和單元⑩,而損傷工況Ⅰ的實際損傷單元只是單元⑤和單元⑩,因此單元④為誤判單元.造成誤判的原因是當超靜定結(jié)構(gòu)中某個或某幾個單元損傷時,結(jié)構(gòu)會出現(xiàn)內(nèi)力重分布,導致某些未損傷單元的靜態(tài)應(yīng)變能增加,使其損傷定位指標Dk>0,從而造成誤判.對于損傷工況Ⅱ,由圖10可見,單元④、單元⑤、單元⑥為損傷單元,與假設(shè)損傷工況Ⅱ的損傷單元一致.此時,雖然損傷結(jié)構(gòu)也存在內(nèi)力重分布,但未引起單元損傷的誤判.另外,從圖9和10中還可以發(fā)現(xiàn),噪聲不會引起損傷單元的誤判.

3.2.2 損傷程度

對于10單元超靜定平面桁架結(jié)構(gòu)的損傷工況Ⅰ,由損傷定位可知,單元④、單元⑤和單元⑩為可能的損傷單元.在此基礎(chǔ)上,采用模擬退火法計算單元④、單元⑤和單元⑩的損傷狀態(tài)參量dk(k=4,5,10),結(jié)果如圖11所示.可見:單元④的損傷狀態(tài)參量d4幾乎為0,因此該單元未損傷;單元⑤和單元⑩為損傷單元,且當噪聲水平不超過5%時,識別的單元損傷程度與真實損傷程度的相對誤差未超過5%.對于損傷工況Ⅱ,圖12給出了損傷程度識別結(jié)果.可以看出,在無噪聲干擾的情況下,損傷程度能被準確識別,但當有3%和5%測量噪聲干擾時,損傷程度判斷有一定的誤差,然而識別的單元損傷程度與真實損傷程度的相對誤差小于5%.

圖9 10單元超靜定平面桁架損傷工況Ⅰ的損傷定位Fig.9 Damage localization for the damage caseⅠof the 10 element statically indeterminate planar truss

圖10 10單元超靜定平面桁架損傷工況Ⅱ的損傷定位Fig.10 Damage localization for the damage caseⅡof the 10 element statically indeterminate planar truss

圖11 10單元超靜定平面桁架損傷工況Ⅰ的損傷程度Fig.11 Damage degree for the damage caseⅠof the 10 element statically indeterminate planar truss

若不先進行損傷定位的初步判斷,而直接利用文獻[13]的方法對10單元超靜定平面桁架結(jié)構(gòu)所有單元的損傷狀態(tài)參量進行求解,則會出現(xiàn)計算收斂速度慢、誤差大的情況,甚至出現(xiàn)誤判.對于工況Ⅰ在3%噪聲干擾的情況下,單元⑤的損傷程度的相對誤差為9.5%,且得出單元①有5.5%的損傷程度;在5%噪聲干擾的情況下,單元⑤和單元⑩的損傷程度判斷誤差分別為11.5%和13.5%,遠大于本方法的相對誤差.對于工況Ⅱ在3%噪聲干擾的情況下,單元④、單元⑤和單元⑥的損傷程度判斷誤差分別為5.8%,6.5%和16.3%,并且會出現(xiàn)單元⑧和單元⑩的誤判,顯示單元⑧的損傷程度為13.3%,單元⑩的損傷程度為7.9%;在5%噪聲干擾的情況下,實際損傷單元的損傷程度判斷誤差分別為10.8%,7.5%和22.8%,同時還誤判單元⑧和單元⑩的損傷程度分別為20.2%和10.6%.可見,本工作提出的結(jié)構(gòu)損傷兩階段識別方法具有較明顯的優(yōu)勢.

圖12 10單元超靜定平面桁架損傷工況Ⅱ的損傷程度Fig.12 Damage degree for the damage caseⅡof the 10 element statically indeterminate planar truss

4 結(jié)束語

本工作提出了一種不完備靜態(tài)變形數(shù)據(jù)條件下的結(jié)構(gòu)損傷兩階段識別方法,即利用損傷定位指標確定結(jié)構(gòu)的可能損傷位置,建立損傷狀態(tài)方程,利用模擬退火法得到準確的損傷位置和損傷程度.本方法通過第一步可能損傷位置的確定,減少了損傷狀態(tài)參量的計算,達到了減少計算量、提高識別精度的目的.具體數(shù)值算例結(jié)果表明:本方法能較準確地識別出結(jié)構(gòu)的損傷位置和損傷程度,同時在噪聲水平不大于5%時具有較強的魯棒性.與文獻[20]的損傷定位指標相比,本工作所提出的損傷定位指標能更全面地識別出結(jié)構(gòu)可能的損傷位置,同時剔除了部分未損傷的單元.

本方法在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)損傷識別中的具體應(yīng)用仍有待進一步研究,包括如何確定最優(yōu)的測量自由度數(shù)目及測量位置等.這些問題將在后續(xù)工作中進一步研究.