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        “雞兔同籠”數(shù)學(xué)問題的教學(xué)建議
        ——基于各版教材編排差異的比較分析

        2018-11-02 03:37:20
        江蘇教育 2018年65期
        關(guān)鍵詞:條腿雞兔同籠列方程

        “雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的古算題,最早出現(xiàn)在公元4~5世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》,隨著歷史的發(fā)展,“雞兔同籠”從問題的敘述到算法都經(jīng)歷了不同形式的變化,但它一直是人們喜聞樂見的趣題,蘊(yùn)含著豐富的教育價值。國內(nèi)外學(xué)者對此問題也非常重視,如首都師范大學(xué)郜舒竹教授對《孫子算經(jīng)》、《算法統(tǒng)宗》以及《鏡花緣》中出現(xiàn)的“雞兔同籠”問題的各種算法進(jìn)行了梳理,并探討了產(chǎn)生這些算法的思想基礎(chǔ)。美國數(shù)學(xué)教育家波利亞在介紹“雞兔同籠”問題時寫道:“下面這道智力測驗(yàn)題……”以此問題考察人們的智力水平。

        自新課程改革以來,我國不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材都把“雞兔同籠”問題納入其中,充分發(fā)揮其強(qiáng)大的教育功能。那么各版本教材又是如何編排的呢?下面是筆者對新人教版(2014年)、舊人教版(2009年)、張?zhí)煨⒅骶幍恼憬贪妫?014年)、蘇教版(2014年)、北師大版(2014年)、青島版(2015年)、滬教版(2015年)[1]滬教版為五年制教材。這七個版本教材進(jìn)行的差異比較和分析,以期為優(yōu)化“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)教學(xué)提供可行的建議。

        一、教學(xué)內(nèi)容的編排順序存在明顯差異

        從教材的編排順序上看,《雞兔同籠》這一教學(xué)內(nèi)容被安排到了不同年級進(jìn)行教學(xué)。從表1中可以看出,該內(nèi)容所涉及的教學(xué)對象,年級最低的是二年級學(xué)生,最高的是六年級學(xué)生,年級跨度較大。究其原因,編排順序的差異或與編者想滲透的解決方法相關(guān)。

        表1 各版本教材編排冊次分布情況

        二、例題所滲透的解決方法呈現(xiàn)多樣性

        各版本教材例題中所滲透的解決方法呈現(xiàn)出多樣性,如表2。

        表2 各版本教材例題所滲透的解決方法

        第一,不同版本教材的例題所要滲透的解決方法并不完全一致,呈現(xiàn)多樣性。如“列表法”“畫圖法”“假設(shè)法”“列方程”等。第二,“列方程”只出現(xiàn)在舊人教版教材的例題中,其他版本教材的例題都沒有出現(xiàn)此方法。第三,畫圖法、列表法、假設(shè)法互為結(jié)合補(bǔ)充,方法之間互相轉(zhuǎn)化,有助于幫助學(xué)生理解并解決問題。如蘇教版教材在滲透了“畫圖法與列表法”之后,繼而總結(jié)兩種方法的異同,引導(dǎo)學(xué)生積極主動地溝通兩種方法之間的聯(lián)系,從而找到解決問題的最優(yōu)方案。第四,“列表法”成為唯一相同的解決方法。雖然各版教材例題所要滲透的解決方法多種多樣,但列表法卻是各版教材所共同采用的解決方法。第五,雖同為“列表法”,實(shí)則各有側(cè)重。如新人教版偏重“一一枚舉”列表方法,浙教版重于“折半枚舉”列表方法,北師大版則呈現(xiàn)“一一枚舉”列表方法、“中間跳躍枚舉”列表法和“折半枚舉”列表法三種解決問題的列表方法。

        三、解決方法存在顯著差異的緣由

        為什么會導(dǎo)致各個版本在解決方法上存在這么多差異呢?把表1和表2合并為表3,個中緣由可見一斑。

        表3 各版本教材編排冊數(shù)分布情況及解決方法

        1.不同年級,面對不同的教學(xué)對象,所要滲透的解決方法不同。

        例如“列方程”,在舊人教版教材中,《雞兔同籠》的教學(xué)內(nèi)容被安排在了六上,教學(xué)對象為六年級學(xué)生,學(xué)生在五年級已經(jīng)熟練掌握了列方程解決問題的方法,因此在滲透了“列表法”“假設(shè)法”之后,教師可以順勢引導(dǎo)學(xué)生用“列方程”的方法解決問題,這樣會更符合學(xué)生的認(rèn)知和學(xué)習(xí)規(guī)律。但新人教版教材中,就沒有“列方程”的方法,因?yàn)椤半u兔同籠”的教學(xué)內(nèi)容被安排到四下進(jìn)行教學(xué),教學(xué)對象為四年級學(xué)生,不具備“列方程”解決問題的能力,因此在教材中刪除了這一方法。

        2.同個年級,面對不同的單元目標(biāo),所要滲透的解決方法不同。

        同樣面對六年級學(xué)生,“蘇教版”和“青島版”沒有在例題中滲透“列方程”的方法。究其原因,主要由于這兩個版本教材的單元教學(xué)目標(biāo)存在差異。在蘇教版教材中,該單元的教學(xué)目標(biāo)有三個:第一,學(xué)生在解決實(shí)際問題中初步學(xué)會運(yùn)用假設(shè)的策略、分析數(shù)量關(guān)系、確定解題思路,并有效地解決問題。第二,學(xué)生在解決實(shí)際問題過程中不斷反思,感受假設(shè)的策略對解決特定問題的價值,進(jìn)一步發(fā)展分析、綜合和簡單的推理能力。第三,學(xué)生進(jìn)一步積累解決問題的經(jīng)驗(yàn),增強(qiáng)解決問題的策略意識,獲得解決問題的成功經(jīng)驗(yàn),提高其學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。畫圖法和列表法更容易獲得直觀的感受,有助于實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。青島版的教學(xué)目標(biāo)則為“智慧廣場”的內(nèi)容,結(jié)合生活情境,在運(yùn)用一一列舉策略解決問題的過程中,發(fā)現(xiàn)規(guī)律并學(xué)會運(yùn)用假設(shè)的策略解決問題,建立數(shù)學(xué)模型,用列表法和假設(shè)法更能實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。

        四、針對不同水平層次的教學(xué)建議

        對比分析這七個版本的教材后發(fā)現(xiàn):“雞兔同籠”這道古算題適合于小學(xué)階段的任何一個年級,但教師在教學(xué)時,不能“一刀切”地使用同一種教學(xué)方式,而應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)情,設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)方案。為此,筆者將1~6年級的教學(xué)對象,劃分為三個水平層次,并給出相應(yīng)的教學(xué)建議。

        1.畫圖感知思想方法,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

        教學(xué)對象:第一水平(一、二年級學(xué)生)

        教師可引導(dǎo)學(xué)生分層解決問題。問題1:雞和兔一起圈在一籠子里,其中有1只雞,2只兔。一共有幾個頭?一共有幾條腿?比較容易接受和理解的方法為:

        (1)畫圖法:

        (圖 1)

        (2)列式法:

        頭:1+2=3(個) 腳:2+4+4=10(條)

        問題2:雞和兔一起圈在一籠子里,從上面數(shù)有5個頭,從下面數(shù)有16條腿。雞、兔各有幾只?針對這一問題,教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考:問題1與問題2有什么不同?并進(jìn)一步啟發(fā):問題1中知道雞和兔的只數(shù),求頭的個數(shù)和腿的條數(shù);問題2中知道頭的個數(shù)和腿的條數(shù),求雞和兔的只數(shù)。最后提出用畫圖法解決這個問題。

        方法1

        第一步,假設(shè)5個頭都是雞,那么腿就畫10條,還剩下6條腿,畫出如圖2;第二步,把剩下的6條腿添加到雞,每只雞添加2條,剛好添3次,得到4條腿的有3只,也就是兔有3只,另外2只就是雞,結(jié)果如圖3。

        (圖 2)

        (圖 3)

        方法2

        第一步,假設(shè)5個頭都是兔,那么腿就畫了20條,20-16=4,多了4條腿,如圖 4;第二步,把多的4條腿刪除,每個頭刪除2條腿,剛好刪2次,得到2條腿的有2只,也就是雞有2只,另外3只就是兔,如圖5。

        (圖 4)

        (圖 5)

        2.列表法與假設(shè)法相整合,建立數(shù)學(xué)模型。

        教學(xué)對象:第二水平(三、四年級學(xué)生)

        教學(xué)建議:列表法、假設(shè)法

        教學(xué)時,教師應(yīng)精選例題,例如:雞兔同籠,有 8個頭,26條腿,雞、兔各有幾只?然后引導(dǎo)學(xué)生分別用列表法和假設(shè)法解決問題。

        (1)列表法:先算有8只雞,這樣一共就有16條腿,顯然不對,再減去一只雞,加上一個兔,這樣一個一個地試,把結(jié)果列成表格,最后得出3只雞、5只兔。

        (2)假設(shè)法:

        方法1 假設(shè)8只都是雞,腿:8×2=16(條),少的腿:26-16=10(條)

        方法2 假設(shè)8只都是兔,腿:8×4=32(條),多的腿:32-26=6(條)

        溝通列表法與假設(shè)法的聯(lián)系,借助畫圖進(jìn)行理解,發(fā)現(xiàn)假設(shè)法與列表法的思路其實(shí)是相通的。列表法中的第一種情況:8只雞,0只兔,就是假設(shè)“籠子里全是雞”的情況。“假設(shè)8只全是雞,就有幾條腿”與問題中的“與26條相比少了幾條腿”分別可以用算式來表示:8×2=16(條),26-16=10(條)。繼續(xù)思考:少的 10條腿,應(yīng)該添給幾只雞?為什么?這一過程也可以用算式來表示:4-2=2(條),10÷2=5(條)。教師可以利用畫圖法幫助學(xué)生理解。也可以用列表法幫學(xué)生分析,在此基礎(chǔ)上列出式子,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)思想。

        3.列表法與代數(shù)法相整合,初步感知代數(shù)思想。

        教學(xué)對象:第三水平(五、六年級學(xué)生)

        教學(xué)建議:列表法、代數(shù)法(列方程解決)

        在列表法的表格中,假設(shè)兔子的只數(shù)為x只,追問:那么雞的只數(shù)應(yīng)該怎么表示呢?受表格數(shù)據(jù)的影響,學(xué)生很容易想到應(yīng)該用(8-x)只表示。然后根據(jù)表格所提供的數(shù)量關(guān)系:雞的總腿數(shù)+兔的總腿數(shù)=雞和兔的總腿數(shù),用列方程的方式為 4x+2(8-x)=26,進(jìn)而計算得到方程的解:x=5。同樣,也可以假設(shè)雞的只數(shù)為x只,那么兔子的只數(shù)就是(8-x)只,根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程并解方程,得出答案。列表法較為直觀,能有效地幫助學(xué)生明確數(shù)量關(guān)系,在理解的基礎(chǔ)上順利列出方程,從而解決問題。

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