李鏡培， 龔衛(wèi)兵， 李 林， 操小兵

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092)

邊坡穩(wěn)定性分析是巖土工程研究中的經(jīng)典問題.目前，關(guān)于邊坡穩(wěn)定性研究的方法主要有極限平衡法[1-5]、有限元分析法[6-9]和極限分析法[10-13].極限平衡法作為較早分析邊坡穩(wěn)定性的方法，因其力學(xué)概念明確、計算簡單等特點一度成為分析邊坡穩(wěn)定性的主要方法[14].但該方法在假設(shè)條塊間作用力時，往往存在假設(shè)過于簡單的情況，得到的解答既不是真實解的上限也不是下限，對三維極限平衡法更是如此.隨著計算機(jī)運(yùn)算能力和商用有限元分析軟件功能的提升，有限元分析法已成為分析邊坡穩(wěn)定性較為全面的一種方法.該方法不僅可以考慮復(fù)雜的邊坡形式、受荷情況等因素，還能追蹤邊坡失穩(wěn)破壞的整個過程.然而，有限元分析法建模過程復(fù)雜、用到的本構(gòu)模型所需參數(shù)較難確定，且計算結(jié)果的合理性很大程度上取決于本構(gòu)模型參數(shù)取值的準(zhǔn)確性，另外，需要花費(fèi)很多精力來建立的計算模型每次卻只能分析某一特定邊坡的穩(wěn)定性，因此，該方法在實際工程中的應(yīng)用推廣還存在許多困難.

極限分析上限法基于塑性極限理論，通過構(gòu)造合理的速度場破壞機(jī)制來求真實解的上限.該方法已被Chen[10]較好地應(yīng)用于二維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析，合理性得到了充分驗證.Michalowski和Drescher[15]在Chen的基礎(chǔ)上，將二維土質(zhì)邊坡的破壞模式拓展到三維土質(zhì)邊坡，從而研究了三維土質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性.其后，國內(nèi)外學(xué)者在此基礎(chǔ)上研究了三維土質(zhì)邊坡在不同條件下的穩(wěn)定性：饒平平等[16]研究了邊坡沉樁對三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性影響，得知前期沉樁導(dǎo)致邊坡安全系數(shù)不斷減小，但當(dāng)樁體穿過破壞面后，安全系數(shù)明顯提高；Gao等[17]將三維邊坡的坡趾破壞拓展到坡底和坡面破壞，得出邊坡在坡角和土體內(nèi)摩擦角較小的情況下坡底破壞比坡趾破壞更危險；同時，Gao等[18]分析了抗滑樁對三維土質(zhì)邊坡的加固作用，發(fā)現(xiàn)當(dāng)抗滑樁樁間距越小時，抗滑樁對邊坡的加固作用較明顯；Pan等[19]討論了土體滲流力對三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的影響，并將計算結(jié)果與FLAC 3D數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了對比驗證.從上述研究可以看出，目前利用極限分析法對三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的研究還較少.另外，非均質(zhì)性是土體具有的固有屬性[10,12]，盡管Yang和Xu[20]應(yīng)用土體二維非均質(zhì)公式研究了二階三維土質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性，但其仍未對二維非均質(zhì)公式進(jìn)行相應(yīng)的三維拓展.同時，其他關(guān)于土體非均質(zhì)性對三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性影響的研究還鮮見報道.值得指出的是Michalowski和Drescher[15]在研究三維邊坡穩(wěn)定性時考慮了土體體積壓縮產(chǎn)生的能量耗散，但當(dāng)三維土質(zhì)邊坡受荷或環(huán)境情況稍顯復(fù)雜時，土體體積壓縮耗能的計算將變得異常復(fù)雜而無法計算.因此，大部分研究[16,18-19]直接忽略了此部分耗能，卻未分析不考慮此部分耗能對三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的影響.

在現(xiàn)有三維土質(zhì)邊坡極限分析方法的基礎(chǔ)上，把考慮土體非均質(zhì)性的二維公式拓展到三維情況，研究忽略土體體積壓縮耗能對三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性系數(shù)的影響，并進(jìn)一步分析不同坡角、不同內(nèi)摩擦角和不同寬高比的三維土坡穩(wěn)定性隨土體非均質(zhì)性變化的規(guī)律.

1 非均質(zhì)三維土坡穩(wěn)定性分析

1.1 三維邊坡極限分析的破壞模式

Michalowski和Drescher[15]將Chen提出的二維土質(zhì)邊坡對數(shù)螺旋線破壞機(jī)制成功拓展到如圖1所示牛角狀對數(shù)螺旋線錐體三維土質(zhì)邊坡破壞機(jī)制.圖中，φ為土體的內(nèi)摩擦角，ω為角速度，β為三維土質(zhì)邊坡的坡角，v為滑動速率，rm=(r+r′)/2，R=(r-r′)/2，r和r′的表達(dá)式如下：

r=r0e(θ-θ0)tan φ

(1)

(2)

X1、X2和Y可分別表示為

(3)

(4)

(5)

圖1 三維土質(zhì)邊坡極限破壞機(jī)制示意[15]

Fig.1Schematicoflimitfailuremechanismofthree-dimensionalsoilslope[15]

根據(jù)圖(1)所示幾何關(guān)系可得a、b和θB的表達(dá)式為

(6)

(7)

(8)

式(8)中

(9)

當(dāng)三維土質(zhì)邊坡縱向長度趨于一個較大值時，三維邊坡穩(wěn)定性即可視作二維平面問題.基于此，將上述模型沿對稱面切開，插入寬度為b的二維邊坡破壞模式.當(dāng)插入寬度b足夠大時，三維破壞模式即可轉(zhuǎn)化為二維破壞模式，該拓展的示意圖可參見圖2.圖中，B為滑動體的最大寬度，H為邊坡的高度.

圖2 插入平面的破壞模式示意[15]

1.2 重力做功計算

如圖1所示，重力對三維土塊ABC所做的功可表示為

(10)

式中:γ為土體的容重.

重力對圖2中寬度為b的插入體所做的功為

(11)

由式(10)和式(11)可將重力對滑動土體做的總功表示為

W=Wγ+Wγ,P

(12)

1.3 考慮非均質(zhì)性的能量耗散計算

根據(jù)Michalowski和Drescher的研究可知三維土質(zhì)邊坡在失穩(wěn)破壞時的內(nèi)能耗散包括兩部分，一部分是土體沿破裂面滑動的摩擦耗能損失，另一部分是土體體積壓縮耗能損失[15].為考慮土體在自然沉積過程中形成的非均質(zhì)性，依據(jù)Chen[10]、Nian等[12]和Yang等[20]關(guān)于土體非均質(zhì)性假設(shè)的模型，采用黏聚力沿深度直線變化的模式來表示土體的非均質(zhì)性(見圖3)，因此黏聚力大小可表示為

(13)

式中：c為土體黏聚力；n0為非均質(zhì)系數(shù)，取值范圍為0～1.n0越小，土體的非均質(zhì)性越強(qiáng).當(dāng)n0=1時，土體是均質(zhì)的.

圖3 線性增大的土體非均質(zhì)性

在考慮土體非均質(zhì)性條件下，土體體積壓縮耗能計算將過于復(fù)雜而難以得到相應(yīng)解答.因此，假設(shè)滑動土體不可壓縮，內(nèi)能耗散僅發(fā)生在滑動面上，那么土體沿三維滑動面(圖1)產(chǎn)生的摩擦耗能可表示為

(14)

圖2中寬度為b的插入體滑動面產(chǎn)生的摩擦耗能可計算為

(15)

在土體非均質(zhì)性條件下，黏聚力是沿深度變化的.因此，根據(jù)圖3中的幾何關(guān)系可將坡面黏聚力表示為

(16)

式中：H和hf的表達(dá)式為

H=rhsinθh-r0sinθ0

(17)

hf=rfsinθ-r0sinθ0

(18)

式中:rf為坡面到旋轉(zhuǎn)中心的距離.圖3中對應(yīng)滑裂面上的黏聚力可表示為

(19)

式中：hb的表達(dá)式為

hb=rsinθ-r0sinθ0

(20)

根據(jù)三維邊坡破壞模式的幾何關(guān)系，可得θ0至θB段以及θB至θh段的黏聚力分別為

(21)

(22)

將式(21)和式(22)代入式(14)，并將式(13)代入式(15)，即可計算出考慮土體非均質(zhì)性的內(nèi)能耗散.

基于上限分析原理，三維土質(zhì)邊坡處于臨界狀態(tài)時重力所做的功與內(nèi)能耗散相等，即

W=D3D+DP

(23)

將式(12)、式(14)和式(15)代入式(23)可得

(24)

式(24)的最小值可被定義為三維土質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)Ns[10,15]，即

(25)

當(dāng)土體的內(nèi)摩擦角φ、三維土質(zhì)邊坡坡角β、寬高比B/H給定時，即可編制相應(yīng)的迭代程序計算確定三維土質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性系數(shù).值得指出的是三維土質(zhì)邊坡的寬高比越小，對應(yīng)邊坡的三維效應(yīng)就越明顯.

2 驗證

為了驗證本文解答的準(zhǔn)確性，將得出的穩(wěn)定性系數(shù)結(jié)果與文獻(xiàn)[15]不考慮土體體積壓縮耗能即內(nèi)摩擦角φ=0°的穩(wěn)定性系數(shù)結(jié)果進(jìn)行對比.與文獻(xiàn)[15]相同，本文采用迭代計算的方法搜尋式(25)的最小值，但有區(qū)別的是本文首先假定一個較大的增量步，找出最小值可能存在的區(qū)間，然后縮小增量步從而在上述確定的區(qū)間搜尋最終的最小值，這樣本文算法比文獻(xiàn)[15]算法效率相對更高.

由于本文算法不同于文獻(xiàn)[15]算法，因此計算得出的穩(wěn)定性系數(shù)可能與文獻(xiàn)[15]的結(jié)果存在差異.從圖4的對比結(jié)果可以看出，當(dāng)寬高比較小時(B/H<2)，本文計算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]計算結(jié)果存在些許誤差，但最大誤差僅為5%，且這個誤差僅在B/H=1、β=45°時存在.另外，當(dāng)寬高比較大時(B/H>2)，本文計算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]的計算結(jié)果基本重合.因此，根據(jù)計算結(jié)果的比較，本文計算得出的穩(wěn)定性系數(shù)是合理的，解答具有準(zhǔn)確性.

圖4 本文與文獻(xiàn)[15]的穩(wěn)定性系數(shù)對比

Fig.4Comparisonbetweenstabilityfactorsofpresentstudyandtheliterature[15]

3 非均質(zhì)性的影響

3.1 不考慮體積壓縮耗能對穩(wěn)定性系數(shù)的影響

如前文所述，本文因考慮土體非均質(zhì)性對三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性影響而無法考慮土體體積壓縮產(chǎn)生的能量耗散，所以需要先分析忽略此部分耗能對穩(wěn)定性系數(shù)的影響.圖5和圖6給出了本文只考慮摩擦耗能計算出的穩(wěn)定性系數(shù)與文獻(xiàn)[15]不僅考慮摩擦耗能且考慮土體體積壓縮耗能的穩(wěn)定性系數(shù)計算結(jié)果的對比.由圖5可以看出，當(dāng)土體內(nèi)摩擦角φ=30°和三維土質(zhì)邊坡坡角β=45°時，本文不考慮土體體積壓縮耗能的穩(wěn)定性系數(shù)與文獻(xiàn)[15]考慮土體體積壓縮耗能穩(wěn)定性系數(shù)存在一定誤差.當(dāng)寬高比較小時(B/H<2)，兩者誤差較大；當(dāng)寬高比較大時(B/H>2)，兩者的計算結(jié)果幾乎重合.當(dāng)三維邊坡坡角β=60°、75°和90°時，本文結(jié)果與文獻(xiàn)[15]結(jié)果幾乎重合.由圖6可以看出，當(dāng)土體內(nèi)摩擦角φ=15°時，本文不考慮土體體積壓縮耗能的穩(wěn)定性系數(shù)和文獻(xiàn)[15]考慮土體體積壓縮耗能的穩(wěn)定性系數(shù)存在一定誤差，但這些誤差均較小，且在合理范圍之內(nèi).

圖5土體內(nèi)摩擦角為30°時本文與文獻(xiàn)[15]的穩(wěn)定性系數(shù)對比

Fig.5Comparisonbetweenstabilityfactorsofpresentstudyandtheliteraturewhenφ=30°

圖6土體內(nèi)摩擦角為15°時本文與文獻(xiàn)[15]的穩(wěn)定性系數(shù)對比

Fig.6Comparisonbetweenstabilityfactorsofpresentstudyandtheliteraturewhenφ=15°

因此，可以總結(jié)得出當(dāng)土體內(nèi)摩擦角較大而邊坡坡角較小時，如果三維土質(zhì)邊坡的寬高比也較小，則需考慮土體體積壓縮產(chǎn)生的能量耗散；如果三維土質(zhì)邊坡的寬高比較大，則土體體積壓縮產(chǎn)生的能量耗散可以忽略.此外，當(dāng)土體內(nèi)摩擦角和邊坡坡角均較大或者僅土體內(nèi)摩擦角較小時，土體體積壓縮產(chǎn)生的能量耗散對三維土坡穩(wěn)定性系數(shù)的影響也可忽略.

3.2 參數(shù)分析

圖7為土體非均質(zhì)性對不同坡角的三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性影響結(jié)果對比.從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著土體非均質(zhì)性的增強(qiáng)，即非均質(zhì)系數(shù)減小，不同坡角的三維土質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)都呈現(xiàn)減小趨勢，且坡角越小，其穩(wěn)定性系數(shù)減小的趨勢越明顯，說明土體非均質(zhì)性對坡角較小的三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性影響越強(qiáng).圖8為土體非均質(zhì)性對不同內(nèi)摩擦角的三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性影響結(jié)果對比.從圖中同樣可以發(fā)現(xiàn)，隨著土體非均質(zhì)性的增強(qiáng)，三維土質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)都呈現(xiàn)減小趨勢，且內(nèi)摩擦角較大的三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性減弱越明顯.因此，對坡角較小或內(nèi)摩擦角較大的三維土質(zhì)邊坡，土體非均質(zhì)性對其穩(wěn)定性的影響較顯著.

圖9為土體非均質(zhì)性對不同寬高比的三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性影響結(jié)果對比.如前文所述，寬高比反映了土質(zhì)邊坡的三維效應(yīng)，即寬高比越小，邊坡三維效應(yīng)越強(qiáng).從圖中可以發(fā)現(xiàn)，土體非均質(zhì)性對三維效應(yīng)越強(qiáng)的土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性影響越明顯，而對三維效應(yīng)較弱的邊坡穩(wěn)定性影響較小.同時，從圖中可以看出，在不考慮土體非均質(zhì)性條件下，三維效應(yīng)強(qiáng)的土質(zhì)邊坡其穩(wěn)定性系數(shù)要大于三維效應(yīng)較弱的邊坡，但在考慮土體非均質(zhì)性條件下，特別當(dāng)土體具有很強(qiáng)的非均質(zhì)性時，三維效應(yīng)強(qiáng)的邊坡其穩(wěn)定性系數(shù)可能會小于三維效應(yīng)較弱的邊坡.

圖7 非均質(zhì)性對不同坡角的三維邊坡穩(wěn)定性系數(shù)影響

Fig.7Influenceofnonhomogeneityonstabilityfactorsofthree-dimensionalslopeswithdifferentinclinationangles

圖8 非均質(zhì)性對不同內(nèi)摩擦角的三維邊坡穩(wěn)定性系數(shù)影響

Fig.8Influenceofnonhomogeneityonstabilityfactorofthree-dimensionalslopeswithdifferentinternalfrictionangles

圖9 非均質(zhì)性對不同寬高比的三維邊坡穩(wěn)定性系數(shù)影響

Fig.9Influenceofnonhomogeneityonstabilityfactorofthree-dimensionalslopeswithdifferentratiosofwidthtoheight

4 結(jié)論

基于極限分析法探討了土體非均質(zhì)性對三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的影響，分析了忽略土體體積壓縮耗能對邊坡穩(wěn)定性的影響.主要結(jié)論如下：

(1) 當(dāng)三維土質(zhì)邊坡內(nèi)摩擦角較大而坡角和寬高比較小時，土體體積壓縮產(chǎn)生的能量耗散需要考慮；當(dāng)三維土質(zhì)邊坡內(nèi)摩擦角和坡角均較大或僅土體內(nèi)摩擦角較小時，土體體積壓縮產(chǎn)生的能量耗散可以忽略.

(2) 土體非均質(zhì)性對坡角較小或內(nèi)摩擦角較大的三維土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性影響較大.三維土質(zhì)邊坡坡角越小、內(nèi)摩擦角越大，土體非均質(zhì)性對其穩(wěn)定性的影響越強(qiáng).

(3) 邊坡三維效應(yīng)越強(qiáng)，土體非均質(zhì)性對其穩(wěn)定性的影響也越強(qiáng).當(dāng)土體非均質(zhì)性很強(qiáng)時，三維效應(yīng)較強(qiáng)邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)小于三維效應(yīng)較弱邊坡的穩(wěn)定性系數(shù).