潘國榮， 范 偉

(同濟(jì)大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院， 上海 200092)

盾構(gòu)姿態(tài)的自動測量方法主要有激光標(biāo)靶法、陀螺儀系統(tǒng)導(dǎo)向法、三棱鏡法、棱鏡和傾斜儀法.激光標(biāo)靶法[1-3]主要根據(jù)CCD(charge coupled device)相機(jī)的相對位置確定盾構(gòu)機(jī)的實時位置，但由于該系統(tǒng)相對比較復(fù)雜且CCD相機(jī)的大小有限，在實際應(yīng)用中仍存在很多限制.陀螺儀系統(tǒng)導(dǎo)向法[4-6]長時間測量存在累積測量誤差，在施工中主要作為輔助參考測量.三棱鏡法[7-10]通過測量與盾構(gòu)焊接在一起的3個棱鏡的坐標(biāo)計算出盾首、尾在工程坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，但由于隧道內(nèi)空間狹窄且觀測條件惡劣，會出現(xiàn)棱鏡測量錯位或3個棱鏡無法全部觀測的情況，為了克服三棱鏡法的缺陷，在三棱鏡模型的基礎(chǔ)上引入了傾斜儀，即棱鏡和傾斜儀法[11].

棱鏡和傾斜儀法的系統(tǒng)構(gòu)建簡單便捷，近年來得到了廣泛的研究，但仍存在3個方面的不足：第一，忽略了傾斜儀的標(biāo)定誤差，將傾斜儀所測的俯仰角和滾動角直接作為盾構(gòu)的俯仰角和滾動角[12]，或認(rèn)為初始狀態(tài)下傾斜儀的俯仰軸和滾動軸與盾構(gòu)的俯仰軸和滾動軸是平行的[13]，并通過理想化的幾何關(guān)系模型推求傾斜儀雙軸和盾構(gòu)雙軸的關(guān)系，當(dāng)標(biāo)定誤差較大時，將嚴(yán)重影響盾構(gòu)姿態(tài)測量的精度.第二，未對傾斜儀的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的預(yù)處理，無法保證傾斜儀采樣數(shù)據(jù)的精度和可靠性.第三，定權(quán)不合理，已有的棱鏡和傾斜儀數(shù)據(jù)的聯(lián)合平差模型將傾斜儀雙軸觀測數(shù)據(jù)視為等權(quán)獨(dú)立觀測值[14]，與實際的觀測模型不符.

為了解決上述問題，提出并論證一種嚴(yán)密的棱鏡和傾斜儀模型.推導(dǎo)傾斜儀與盾構(gòu)的嚴(yán)密標(biāo)定模型；將單次觀測周期中傾斜儀采集的多對雙軸角度數(shù)據(jù)視為平面點(diǎn)云，利用選權(quán)迭代法[15]對其進(jìn)行穩(wěn)健估計，以獲取單次觀測周期中傾斜儀數(shù)據(jù)的最佳估值及其協(xié)方差陣.在前述模型方法的基礎(chǔ)上，利用最小二乘配置方法[16]推導(dǎo)三棱鏡與傾斜儀數(shù)據(jù)融合的嚴(yán)密解算模型.最后，通過試驗，對上述模型方法進(jìn)行分析驗證.

1 傾斜儀的嚴(yán)密標(biāo)定模型

1.1 盾構(gòu)標(biāo)定坐標(biāo)系的定義

如圖1所示，盾構(gòu)標(biāo)定坐標(biāo)系為OXYZ，以盾尾為該坐標(biāo)系O點(diǎn)，盾尾到盾首的方向作為X軸，Y軸位于水平面并垂直于X軸，Z軸垂直于XOY平面，形成左手坐標(biāo)系.將盾構(gòu)標(biāo)定坐標(biāo)系OXYZ繞其Y軸順時針旋轉(zhuǎn)β角，形成新的坐標(biāo)系OvXvYvZv.可知2個坐標(biāo)系之間存在如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

(1)

圖1 盾構(gòu)標(biāo)定坐標(biāo)系(標(biāo)定狀態(tài))

1.2 傾斜儀坐標(biāo)系的定義

如圖2所示，傾斜儀坐標(biāo)系為OcXcYcZc，以傾斜儀俯仰軸方向為Xc軸，傾斜儀滾動軸方向為Yc軸，以Xc軸和Yc軸的交點(diǎn)作為傾斜儀坐標(biāo)系的原點(diǎn)Oc，按左手坐標(biāo)系規(guī)則確定Zc軸，其中ωp、ωs為初始狀態(tài)下傾斜儀所測俯仰角和滾動角.將傾斜儀坐標(biāo)系OcXcYcZc繞Xc軸旋轉(zhuǎn)αt角，再繞Yc軸旋轉(zhuǎn)βt角，形成新的坐標(biāo)系OcvXcvYcvZcv，可知2個坐標(biāo)系之間存在如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

(2)

圖2 傾斜儀坐標(biāo)系

1.3 傾斜儀坐標(biāo)系與盾構(gòu)標(biāo)定坐標(biāo)系的關(guān)系

傾斜儀標(biāo)定模型使用向量作為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的對象，因此，坐標(biāo)系OvXvYvZv與坐標(biāo)系OcvXcvYcvZcv的轉(zhuǎn)換關(guān)系在此僅考慮旋轉(zhuǎn)關(guān)系，如圖3所示，2個坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

(3)

圖3 盾構(gòu)標(biāo)定坐標(biāo)系與傾斜儀坐標(biāo)系的關(guān)系

將式(1)和式(2)代入式(3)，可知傾斜儀坐標(biāo)系OcXcYcZc與盾構(gòu)標(biāo)定坐標(biāo)系OXYZ存在如下關(guān)系：

(4)

1.4 傾斜儀的嚴(yán)密標(biāo)定模型

根據(jù)式(2)、式(3)和式(4)，可得盾構(gòu)標(biāo)定坐標(biāo)系OXYZ與自定義坐標(biāo)系OvXvYvZv關(guān)系為

(5)

(6)

根據(jù)式(6)并結(jié)合圖4所示幾何關(guān)系，可得

(7)

圖4 盾構(gòu)標(biāo)定坐標(biāo)系(施工狀態(tài))

2 傾斜儀數(shù)據(jù)的穩(wěn)健估計方法

在棱鏡和傾斜儀法中，若以全站儀完整獲取所有棱鏡坐標(biāo)的時間作為一個觀測周期，那么在一個觀測周期中傾斜儀可獲取幾十至上百對雙軸角度數(shù)據(jù).因此，聯(lián)合平差前必須對傾斜儀獲取的雙軸角度數(shù)據(jù)進(jìn)行有效預(yù)處理.由于一個觀測周期中傾斜儀采集的雙軸角度數(shù)據(jù)整體服從正態(tài)分布，但個別數(shù)據(jù)中含有粗差，所以在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)傾斜儀雙軸角度數(shù)據(jù)的穩(wěn)健估計方法.

2.1 建立傾斜儀數(shù)據(jù)的處理模型

將一個觀測周期中傾斜儀采集的雙軸角度數(shù)據(jù)視為平面點(diǎn)云，則傾斜儀數(shù)據(jù)的擬合即轉(zhuǎn)化為平面點(diǎn)云的擬合[17-18].根據(jù)加權(quán)最小二乘準(zhǔn)則，得

(8)

(9)

2.2 等效觀測值權(quán)函數(shù)的選擇

在一個觀測周期中，傾斜儀的個別采樣數(shù)據(jù)含有粗差，若認(rèn)為等效觀測值di為等權(quán)觀測值，則平差結(jié)果無法反映觀測數(shù)據(jù)的真實分布情況，又無法抵抗粗差的影響.因此，使用等價權(quán)函數(shù)pi(vi)來確定等效觀測值di的權(quán).將文獻(xiàn)[19]建議的等價權(quán)函數(shù)進(jìn)行簡化并選取合適的迭代常數(shù)[20]，得

(10)

2.3 傾斜儀數(shù)據(jù)處理的選權(quán)迭代方法

在2.1節(jié)和2.2節(jié)的理論基礎(chǔ)上，通過選權(quán)迭代法處理傾斜儀的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，迭代過程參見文獻(xiàn)

[15]，迭代結(jié)束后，將di視為等效觀測值，ωp、ωs視為待求參數(shù)，可根據(jù)間接平差原理列出誤差方程，并利用協(xié)方差傳播律求參數(shù)ωp、ωs的協(xié)方差陣，得

(11)

3 三棱鏡數(shù)據(jù)與傾斜儀數(shù)據(jù)融合的嚴(yán)密解算模型

(12)

將式(5)代入式(12)可得，坐標(biāo)系OpXpYpZp與坐標(biāo)系OXYZ關(guān)系為

(13)

式中：Rc=Rx(-αt)Ry(βt)Rz(-θ)Ry(-β)，Rc初始標(biāo)定時已知.

式(13)中，即含有非隨機(jī)參數(shù)(3個平移參數(shù)和1個旋轉(zhuǎn)參數(shù))，又含有隨機(jī)參數(shù)(βts、αts)，所以，利用最小二乘配置法對式(13)進(jìn)行平差處理.為了計算方便，用sinαts代替αts進(jìn)行平差解算，由式(5)并根據(jù)協(xié)方差傳播律，可得βts、sinαts的協(xié)方差陣為

(14)

將βts、sinαts的先驗期望看作與棱鏡坐標(biāo)觀測值相互獨(dú)立且方差陣為D1的虛擬觀測值，得

(15)

對式(15)進(jìn)行線性化，可得誤差方程為

港口投資會增加港口的固定資產(chǎn)，如：碼頭岸線、岸吊、堆場、場吊、集卡和電子信息設(shè)備等。為增加運(yùn)營設(shè)施/設(shè)備，需配備相應(yīng)的工作人員。為服務(wù)這些新增的雇員還需增加服務(wù)業(yè)，這種溢出效果增加了臨港區(qū)域的就業(yè)與居住，提升港口城市的勞動力需求與工資水平。勞瑞模型可以刻畫這種溢出效應(yīng)[10]，具體步驟為

V1=A11X1-L1

(16)

對式(13)進(jìn)行線性化，可得每個棱鏡對應(yīng)的3個坐標(biāo)觀測值的誤差方程為

V2=A21X1+A22X2-L2

(17)

為敘述方便，所有棱鏡坐標(biāo)觀測值的誤差方程仍用式(17)表示，在計算中只需對式(17)中的相應(yīng)矩陣做擴(kuò)充即可.根據(jù)自動全站儀標(biāo)稱的測距和測角精度可計算三棱鏡對應(yīng)的坐標(biāo)觀測值的方差陣D2，并結(jié)合式(14)將式(16)和(17)聯(lián)立，根據(jù)廣義測量平差原理[21]，可得待求參數(shù)的最佳估值為

(18)

待求參數(shù)的協(xié)方差陣為

(19)

4 案例分析

4.1 傾斜儀標(biāo)定誤差對盾構(gòu)俯仰角和滾動角計算的影響

在初始狀態(tài)下，傾斜儀俯仰軸和滾動軸與盾構(gòu)的俯仰軸和滾動軸，由于安裝誤差的限制，不可能保證嚴(yán)格平行.若忽略安裝誤差，認(rèn)為傾斜儀雙軸與對應(yīng)盾構(gòu)雙軸是平行的，那么根據(jù)傾斜儀的俯仰角和滾動角計算出的盾構(gòu)的俯仰角和滾動角必然與本文所述的正確模型計算出的結(jié)果存在偏差，如下式：

(20)

式中：βs、αs表示使用本文所述的正確模型計算出的盾構(gòu)的俯仰角和滾動角；βw、αw表示忽略安裝誤差所計算出的盾構(gòu)的俯仰角和滾動角.

若初始狀態(tài)不存在安裝誤差，即傾斜儀雙軸與對應(yīng)的盾構(gòu)雙軸平行，則相應(yīng)的角度應(yīng)滿足下式：

(21)

式中：δ的單位為角度；為了方便計算且不失一般性，令β為1°.

圖5傾斜儀標(biāo)定誤差對盾構(gòu)俯仰角和滾動角計算的影響

Fig.5Influenceofthecalibrationerroroftheinclinometeronthecalculationofshield’spitchingangleandrollingangle

對圖5分析可知，若使用忽略傾斜儀安裝誤差的模型計算，傾斜儀的安裝誤差越大，盾構(gòu)俯仰角與滾動角計算的偏差越大，且盾構(gòu)俯仰角與滾動角計算的偏差與傾斜儀的安裝誤差處于一個量級；當(dāng)傾斜儀隨盾構(gòu)一起發(fā)生扭轉(zhuǎn)時，傾斜儀的安裝誤差越大，盾構(gòu)俯仰角與滾動角計算的偏差的波動越大.

4.2 傾斜儀數(shù)據(jù)穩(wěn)健估計方法的驗證

以期望為0°、標(biāo)準(zhǔn)差為0.005°分別生成2組各100個服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，并將其分別加入傾斜儀所測俯仰角和滾動角的真值上，形成100對含有隨機(jī)誤差的傾斜儀觀測數(shù)據(jù)，并在第26對、49對、73對觀測數(shù)據(jù)的俯仰角和滾動角中均加入粗差，在第17對觀測數(shù)據(jù)的俯仰角、第88對觀測數(shù)據(jù)的滾動角中加入粗差，粗差的大小為3倍標(biāo)準(zhǔn)差，最終形成一組傾斜儀模擬觀測數(shù)據(jù)，如圖6所示.

圖6 傾斜儀的模擬觀測數(shù)據(jù)

利用本文所述的穩(wěn)健估計方法，對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，所得結(jié)果見表1.

表1 傾斜儀模擬觀測值的平差結(jié)果

根據(jù)表1，本文模擬的數(shù)據(jù)的平差結(jié)果與其真值的差值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于模擬觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差0.005°，由此可認(rèn)為平差結(jié)果不受粗差的影響而只受偶然誤差的影響，從而證明了本文提出的針對傾斜儀觀測數(shù)據(jù)的穩(wěn)健估計方法是有效可行的.

4.3 棱鏡數(shù)據(jù)與傾斜儀數(shù)據(jù)聯(lián)合平差模型的驗證

試驗數(shù)據(jù)由實測數(shù)據(jù)和模擬數(shù)據(jù)共同組成.表2所示為某工程的實測數(shù)據(jù).

設(shè)計了2組傾斜儀標(biāo)定數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù).在標(biāo)定狀態(tài)下，傾斜儀的俯仰角為ωp，滾動角為ωs，傾斜儀俯仰軸與盾構(gòu)俯仰軸在水平面的夾角為θ；在施工狀態(tài)下，相應(yīng)傾斜儀觀測的俯仰角為ωps，滾動角為ωss，如表3所示.

表2 棱鏡和盾首、尾的初始測量數(shù)據(jù)

使用2種聯(lián)合平差模型對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.第1種模型認(rèn)為，在初始狀態(tài)下，傾斜儀的雙軸與對應(yīng)盾構(gòu)的雙軸是平行的，即傾斜儀存在標(biāo)定誤差，但模型中予以忽略.第2種模型為本文提出嚴(yán)密聯(lián)合解算模型，即認(rèn)為，在初始狀態(tài)下，傾斜儀的雙軸與對應(yīng)盾構(gòu)的雙軸不平行.

表3 傾斜儀標(biāo)定狀態(tài)及其對應(yīng)施工狀態(tài)下的觀測數(shù)據(jù)

使用第1種聯(lián)合平差模型，根據(jù)表3中2組傾斜儀的模擬數(shù)據(jù)，并分別結(jié)合2個棱鏡和3個棱鏡的觀測數(shù)據(jù)，解算的盾首、尾坐標(biāo)與其真值的差值，如表4所示.表中，P1、P2、P3表示棱鏡.

表4 第1種平差模型的解算效果

使用第2種平差模型，根據(jù)表3中2組傾斜儀的模擬數(shù)據(jù)，并分別結(jié)合2個棱鏡和3個棱鏡的觀測數(shù)據(jù)，解算的盾首、尾坐標(biāo)與其真值的差值，如表5所示.

表5 第2種平差模型的解算效果

對表4和表5進(jìn)行分析可知，① 若以50 mm作為隧道貫通的測量限差，使用第1種聯(lián)合平差模型，當(dāng)傾斜儀的標(biāo)定誤差在0.1°時，盾首、尾坐標(biāo)的聯(lián)合平差結(jié)果的偏差屬于毫米級，仍能滿足隧道貫通精度的要求.但隨著標(biāo)定誤差的增大，當(dāng)傾斜儀的標(biāo)定誤差達(dá)到0.6°時，盾首、尾坐標(biāo)的平差結(jié)果的偏差已超出隧道貫通限差的要求.② 使用第1種聯(lián)合平差模型，棱鏡個數(shù)的增加并不能提高聯(lián)合平差結(jié)果的精度，即三棱鏡數(shù)據(jù)和傾斜儀數(shù)據(jù)的聯(lián)合平差結(jié)果與兩棱鏡數(shù)據(jù)和傾斜儀數(shù)據(jù)的聯(lián)合平差結(jié)果在精度意義上是一致的.③ 使用第2種平差模型對棱鏡和傾斜儀數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計算結(jié)果的偏差均在亞毫米級，甚至優(yōu)于亞毫米級，證明了本文所建立模型的正確性和穩(wěn)定性.

5 結(jié)論

通過研究初始狀態(tài)下傾斜儀和盾構(gòu)的空間位置關(guān)系，建立了傾斜儀與盾構(gòu)的嚴(yán)密標(biāo)定模型.將傾斜儀的雙軸角度觀測數(shù)據(jù)視為平面點(diǎn)云，對傾斜儀數(shù)據(jù)進(jìn)行穩(wěn)健估計.在傾斜儀與盾構(gòu)的嚴(yán)密標(biāo)定模型基礎(chǔ)上，建立了盾構(gòu)標(biāo)定坐標(biāo)系與工程坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并利用最小二乘配置方法將傾斜儀相關(guān)數(shù)據(jù)視為具有先驗統(tǒng)計信息的虛擬觀測值，在廣義最小二乘原理下，建立了傾斜儀數(shù)據(jù)與棱鏡數(shù)據(jù)的聯(lián)合解算模型.最后，通過試驗分析了傾斜儀標(biāo)定誤差對盾構(gòu)俯仰角和滾動角計算的影響；分析了傾斜儀數(shù)據(jù)穩(wěn)健估計的效果；分析了本文建立的聯(lián)合平差模型的解算精度，并與不考慮傾斜儀標(biāo)定誤差的聯(lián)合平差模型進(jìn)行了對比，驗證了本文聯(lián)合平差模型的正確性和可行性.提出的傾斜儀數(shù)據(jù)與棱鏡數(shù)據(jù)的聯(lián)合平差模型建立在傾斜儀與盾構(gòu)嚴(yán)密標(biāo)定模型的基礎(chǔ)上，該標(biāo)定模型也可靈活應(yīng)用于其他使用傾斜儀進(jìn)行姿態(tài)測量的工程中.