劉 博，牛智玲，李炳蔚，南宮自軍，韓敬永

（中國運載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

一個型號成功的運載火箭往往會用于發(fā)射不同的有效載荷，這些有效載荷總質(zhì)量和質(zhì)量分布差異可能會較大，但是不可能針對所有運載對象都開展模態(tài)試驗。另外，運載火箭在飛行過程中隨著燃料的消耗質(zhì)量不斷變化，也無法開展所有飛行秒點模態(tài)試驗。針對這些問題，工程中一般采用配備典型有效載荷的火箭特征飛行秒狀態(tài)模態(tài)試驗結(jié)果修正其有限元模型，進而計算獲得不同有效載荷或其余飛行秒狀態(tài)的模態(tài)參數(shù)。因此，模型修正是運載火箭結(jié)構(gòu)動力學設(shè)計中的重要環(huán)節(jié)。

模型修正技術(shù)從 20世紀 80年代到現(xiàn)在，經(jīng)過30多年的發(fā)展，得到廣泛應(yīng)用和深入研究[1,2]。張平安[3]等提出了一種基于混合人工魚群算法的有限元模型修正方法，并以經(jīng)典的GARTEUR飛機模型為例，驗證了方法的可行性和有效性；林宏[4]等將連接剛度不連續(xù)處理方法、液體耦合質(zhì)量單元等運載火箭動特性專業(yè)最新研究成果應(yīng)用于火箭模型修正取得了很好的效果；王樂[5～7]等分別將全局優(yōu)化算法和局部優(yōu)化算法與導彈結(jié)構(gòu)動力學相結(jié)合，提出了多種導彈模型修正方法。

如前所述，運載火箭模型修正的目的并不在于獲取試驗對象的模態(tài)參數(shù)，而是預示以下幾種情況飛行器的模態(tài)參數(shù)：a）更換有效載荷或設(shè)備；b）未開展試驗的秒狀態(tài)；c）消除試驗中工裝附加質(zhì)量的影響。這幾種情況的共同特點是火箭剛度基本保持不變，質(zhì)量發(fā)生了變化。因此，本文對基于模型修正的運載火箭模態(tài)參數(shù)預示中提高頻率預示精度的方法進行探討。

1 提高頻率預示精度的方法

針對姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計和飛行器動載荷設(shè)計需求，一般在運載火箭的整體結(jié)構(gòu)動力學建模時建立集中質(zhì)量-梁模型[8]?；趯嵞B(tài)理論，計算火箭固有模態(tài)參數(shù)的結(jié)構(gòu)動力學方程為

式中 M，K分別為火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；x為位移向量；˙˙x為加速度向量。

在航天工程中，火箭質(zhì)量分布參數(shù)一般由分站質(zhì)量給出，因此在有限元建模時采用集中質(zhì)量單元，矩陣M為對角陣。模型修正的過程就是通過調(diào)整有限元模型中的物理參數(shù)，從而改變剛度矩陣K，使得有限元計算的模態(tài)參數(shù)結(jié)果與試驗結(jié)果一致。

求取式（1）描述系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)最終將歸結(jié)為求解如下的廣義特征問題：

式中 ω，ψ分別為模態(tài)的固有圓頻率和模態(tài)振型。n自由度系統(tǒng)具有n個固有頻率和n個模態(tài)振型，描述為rω和rψ，

假設(shè)某一修正后的有限元模型剛度矩陣為1K，對應(yīng)計算獲得的第r階固有頻率為1rω，那么頻率的相對誤差為

更換有效載荷后，即質(zhì)量矩陣M中某一個或某幾個對角線元素改變，為了分析以此有限元模型計算的帶新有效載荷火箭模態(tài)參數(shù)的誤差變化情況，可以考察式（3）中誤差對質(zhì)量變化的靈敏度。本文只推導一個質(zhì)量矩陣元素變化的情況，多個元素變化的情況可疊加處理，規(guī)律相同。

對式（3）兩邊求導得：

式中im為泛指M的一個元素。

由式（2）不難得到：

式中irψ為第r階振型的第i個自由度分量；rM為第r階模態(tài)質(zhì)量。將式（5）代入式（4）得：

利用這一重要規(guī)律，在模型修正不能同時兼顧頻率與振型時，可以適當放寬頻率修正誤差，確保振型的一致性，然后利用修正后模型預示質(zhì)量變化后的火箭模態(tài)頻率時，進行誤差補償即可很大程度上消除修正誤差，確保頻率預示精度。實際上，這樣做也同時提高了振型預示的精度。

假設(shè)質(zhì)量變化后火箭的第r階實際模態(tài)頻率為rω~，直接采用修正后的有限元計算的模態(tài)頻率為1rω~，那么預示誤差為

如果修正誤差對質(zhì)量變化不敏感，則：

代入式（7）得修正誤差補償后的模態(tài)頻率預示值：

或

2 算例驗證

設(shè)某火箭為錐柱鋁合金殼體結(jié)構(gòu)，長 5 m，總重805 kg，有限元模型稱為MO模型，如圖1所示，其計算結(jié)果已知，可代替模態(tài)試驗結(jié)果。質(zhì)量分站及截面信息如表1所示。

圖1 火箭有限元模型Fig.1 Finite Element Model of a Rocket

表1 質(zhì)量分站與截面信息Tab.1 Mass Station and Beam Section Parameters of the Rocket

2個含有誤差的模型稱為MA模型和MB模型：

a）MA模型第3站到第5站的壁厚為0.003 m；

b）MB模型的火箭殼體材料彈性模量有誤差，為鋁的71.71%。

2個誤差模型與基準模型的前 5階橫向彎曲頻率與振型對比如圖2和表2所示。

圖2 模態(tài)振型對比Fig.2 Comparison of Mode Shapes of Different Models

續(xù)圖2

由于MB屬于整體剛度誤差，因此振型與MO保持一致，各階頻率相對 MO降低的百分比一致，約MA模型誤差對各階模態(tài)的影響不同，因此振型和頻率的誤差各不相同。

單就頻率誤差而言，MA模型優(yōu)于MB模型，但是MB模型的振型無誤差，優(yōu)于MA模型。

表2 模態(tài)頻率對比Tab.2 Comparison of Modal Frequencies of Different Models

現(xiàn)在更改此火箭的有效載荷，導致第3站的質(zhì)量由40 kg增加至140 kg，火箭總質(zhì)量增加11.8%。采用MA和MB模型預示的模態(tài)頻率結(jié)果和MO模型結(jié)果如表3所示。由表3可知，MA模型預示頻率誤差相對原始誤差有所變化，但MB模型預示頻率誤差基本未發(fā)生變化。

表3 預示模態(tài)頻率對比Tab.3 Comparison of Predicted Modal Frequencies with Different Models

按照式（9）或式（10）完成補償后的預示模態(tài)頻率見表4。

表4 預示模態(tài)頻率對比（補償后）Tab.4 Comparison of Predicted Modal Frequencies with Different Models (After Compensation)

由表4可知，通過頻率補償，MA和MB模型頻率預示結(jié)果精度均很高，補償后MB模型的頻率預示結(jié)果優(yōu)于MA模型。

3 結(jié) 論

本文針對運載火箭質(zhì)量變化后模態(tài)參數(shù)預示問題，探討了提高頻率預示精度的方法，提出飛行器模型修正以振型吻合為主的修正策略和提高模態(tài)頻率預示精度的頻率補償算法。由于在理論推導中僅采用了一階靈敏度，因此對于質(zhì)量變化很大的情況和修正誤差過大情況的適用性有待進一步研究。算例仿真研究表明，通過補償算法可以不同程度地消除頻率修正誤差，而補償效果與振型的吻合程度有直接關(guān)系，驗證了本文提出的策略的正確性與方法的有效性。