桂林卿，叢海波，孫琳琳，束 鋒，陸錦輝

（南京理工大學電子工程與光電技術學院，南京210094）

1 引言

深空探測是人類航天活動的一個主要領域，隨著探測技術的新發(fā)展和月球資源的新發(fā)現(xiàn)，月球探測成為深空探測活動的重點和熱點［1］。由于在地球上難以直接觀測月球背面的狀況，人類對月球背面的了解遠不及月球正面，月球背面因其獨特的環(huán)境條件和地質情況，一直是學術界和工程界探測與研究的熱點，開展對月球背面的著陸與巡視探測越來越受到航天大國的重視［2］。

對月球背面著陸器和巡視器的導航定位是開展月球背面探測任務亟需解決的關鍵問題之一。由于月球背面著陸器發(fā)出的無線電信號收到月球的遮擋，地球上的接收站難以收到月球背面著陸器的信號［3］，以往依靠地面支持的地基測量定位無法直接使用。從國內外的研究進展來看，傳統(tǒng)的月球背面著陸器導航定位方法有三種：光學導航定位［4］、天文導航定位［5］以及慣性導航定位［6］。光學導航定位通過導航相機獲得月球表面參考特征點的圖像，再利用激光測距儀測得著陸器與參考特征點的距離。光學導航定位的局限性在于其信息處理速度慢，作用距離短且不能提供導航用戶絕對位置［4］。天文導航定位基于天體位置已知的前提條件，通過測量天體相對于著陸器參考基準面的方位角和仰角計算導航用戶的方位和位置，局限性在于其位置解算復雜費事、定位精度較差［7］。慣性導航定位是結合外界提供的初始姿態(tài)、位置和速度信息，通過對陀螺儀進行角速度積分解算導航用戶的當前姿態(tài)，通過當前姿態(tài)和加速度信息獲得導航用戶的慣性加速度，對其進行一次和二次積分解算出導航用戶的速度和位置信息，局限性在于陀螺儀的漂移誤差和加速度計的零偏誤差會隨著時間的增長而放大，在沒有外界提供的周期定位校正的情況下，不適合進行長時間導航定位［8］。

針對上述不足，一種新方法是通過在地月L2點的Halo軌道上的中繼星來實現(xiàn)對地不可見的月球背面和極地區(qū)域的長時間覆蓋、觀測和通信，從而實現(xiàn)對月球背面著陸器的定位，并將信息數據順利傳送給地面跟蹤站［9-10］，研究該方法需要對L2點定位機制的誤差進行理論分析。針對目前國內缺少L2點定位誤差的完整分析的問題，本文將剖析主要誤差來源對四種L2點定位體制的定位精度的影響，并對不同定位體制的誤差進行理論推算和詳細分析。

2 月球背面定位體制

2.1 單星定位

當中繼衛(wèi)星處于地月L2的Halo軌道上時，月球背面著陸器能夠收到衛(wèi)星發(fā)送的信號，對此信號的多普勒頻移進行采樣間隔為T的N次等間隔采樣，可以得到多普勒的測量方程。多普勒頻移的測量方程中含有三個未知量，即著陸器的位置坐標（x，y，z）。取三個測得的多普勒觀測值可得到3個獨立的方程，求解可得著陸器位置坐標［9］。

2.2 雙星定位

1）部署兩顆L2 Halo軌道上的中繼衛(wèi)星，月面著陸器與每顆衛(wèi)星分別進行雙向偽距測量，從而精確計算出與每顆衛(wèi)星的距離［10］；

2）月面著陸器根據測量所得2個距離和接收到的兩顆衛(wèi)星的廣播星歷，結合自身高度數據，能夠計算出自己的月面位置信息，并可將自己的位置信息通過L2點的中繼衛(wèi)星回傳地球。

2.3 三星定位

2.3.1 三星無源定位

月面著陸器同時接收衛(wèi)星1、2、3這三顆中繼衛(wèi)星發(fā)射的導航信號，解調出時鐘信號，從而分別測得衛(wèi)星1與2之間、以及衛(wèi)星1與3之間的傳播延時差，得到相應距離差r1－r2和r1－r3。這兩個參量分別表示以衛(wèi)星1與衛(wèi)星2，衛(wèi)星1與衛(wèi)星3為焦點的兩個旋轉雙曲面，加上通過著陸器自帶的高度計獲取的高程信息，就可求出著陸器的位置。

2.3.2 三星有源定位

月面著陸器與三顆衛(wèi)星分別進行雙向偽距測量，從而精確計算出與每顆衛(wèi)星的距離。

月面著陸器根據測量所得3個距離和接收到的三顆衛(wèi)星的廣播星歷能夠計算出自己的月面位置信息，并可將自己的位置信息通過L2點的中繼衛(wèi)星回傳地球。

3 定位精度分析

3.1 定位誤差來源

1）星鐘誤差

星鐘誤差是指在L2點Halo軌道上的導航衛(wèi)星的時鐘與地球上監(jiān)測站的時間不同步，而產生的星間時鐘誤差（因為即使是原子鐘，也存在固定的偏差和隨機漂移）［10］。單星定位體制由于不涉及衛(wèi)星時鐘，所以理論上不受星鐘誤差的影響。對雙星和三星有源定位來說，偽距測量是基于時間的測量，雖然雙向偽距測量技術能夠消除著陸器與衛(wèi)星之間的時鐘誤差，但是星鐘誤差問題仍然得不到解決。對三星無源定位來說，雖然解決了著陸器與衛(wèi)星間的時鐘誤差，但仍存在星鐘誤差。

2）定軌誤差

所有衛(wèi)星的星歷的最佳估計值是通過計算擬合，并上行注入到導航衛(wèi)星，并通過導航電文廣播給定位終端［11］。擬合本身就是一個估值過程，含有不可避免的殘差。同時，L2點的導航衛(wèi)星軌道測量通過地球測控獲取，與BD系統(tǒng)相比，其測軌要遠的多，測量精度也相對較差［12］。另一方面，Halo軌道遠比BD系統(tǒng)的軌道復雜，衛(wèi)星軌道存在較大擾動，而且軌道外推無法通過簡單線性運算直接得到［12］，這也是造成誤差的進一步原因。

3）月面高程測量誤差

月面高程測量誤差對定位計算精度的影響與相對位置有關［13］。

在對月球背面著陸器進行定位時，定軌誤差和星鐘誤差對定位的影響較大［9］，接下來分別推算和分析定軌誤差和星鐘誤差對定位誤差的影響。

3.2 定軌誤差對定位誤差的影響

3.2.1 單星定位誤差

多普勒頻移的測量方程如式（1）［9］：

其中：fi表示第i次測量到的多普勒頻移，中繼星的速度 vi＝ （vxi，vyi，vzi）T（已知量），f是中繼星到月面著陸器的通信信號載頻，并且載頻已知，c是光速，ni是多普勒測量噪聲，ei是從衛(wèi)星指向著陸器方向的單位矢量。取式（1）中三個多普勒測量值，假設定軌誤差為 （Δxi，Δyi，Δzi） （其中 i＝1，2，3），則在 f1、f2、f3三個多普勒測量值時衛(wèi)星的坐標為 （xi＋ Δxi，yi＋ Δyi，zi＋ Δzi）。因定軌誤差而導致的定位誤差表示為 （Δx，Δy，Δz）， 所以著陸器的坐標變?yōu)椋▁＋Δx，y＋Δy，z＋Δz）。有定軌誤差時中繼星速度不變，則徑向距離和單位方向矢量分別如式（2）、（3）所示：

將帶有定軌誤差的衛(wèi)星坐標和帶有定位誤差的著陸器的坐標帶入（1）式，并與沒有誤差情況下的（1）式聯(lián)立可得單星定位誤差方程如式（4）：

根據式（4），如果定軌誤差已知，將中繼星的星歷導出代入式（4），便可求得定位誤差 （Δx，Δy，Δz）。

3.2.2 雙星定位誤差

根據雙向偽距測量得到著陸器和衛(wèi)星的徑向距離如式（5）［14］：

其中τi（i＝1，2）為著陸器發(fā)送信號給衛(wèi)星、衛(wèi)星接收后并返回信號給著陸器所需要的傳輸時延。因為著陸器天線高度h為已知量，著陸器位于月球表面的約束條件可表示為式（6）：

式中月球半徑Rm＝1737.4 km。測量所得2個距離和接收到的兩顆導航衛(wèi)星的廣播星歷并結合式（6）可得雙向偽距測量得到的著陸器和衛(wèi)星1、2 的單向距離如式（7）：

其中 （xi，yi，zi）（i ＝ 1，2） 為月固坐標系下第i顆衛(wèi)星的坐標。定義衛(wèi)星1和衛(wèi)星2的定軌誤差為 （Δxi，Δyi，Δzi） （i＝1，2），因定軌誤差而導致的定位誤差為 （Δx，Δy，Δz）， 則著陸器的坐標變?yōu)椋▁＋Δx，y＋Δy，z＋Δz）。因為僅考慮定軌誤差，所以時鐘誤差對徑向距離的影響可以忽略不計，可得式（8）所示定軌誤差情況下的徑向距離和沒有定軌誤差時的徑向距離的相等關系：

聯(lián)立式（7）、（8）可得雙星定位誤差計算模型如式（9）：

如果定軌誤差已知，將中繼星的星歷導出代入式（9），便可求得定位誤差 （Δx，Δy，Δz）。

3.2.3 三星無源定位誤差

根據三星時差定位的原理，可得TDOA觀測方程如式（10）［15］：

其中，g1為著陸器與衛(wèi)星1的距離和與衛(wèi)星2之間的距離差，g2為著陸器與衛(wèi)星1的距離和與衛(wèi)星3之間的距離差，tij為衛(wèi)星i和衛(wèi)星j之間的到達時間差。假設衛(wèi)星1、2、3的定軌誤差表示為 （Δxi，Δyi，Δzi） （i＝1，2，3），因定軌誤差而導致的定位誤差為 （Δx，Δy，Δz）， 所以著陸器的坐標變?yōu)椋▁＋Δx，y＋Δy，z＋Δz）。將含有定軌誤差的中繼衛(wèi)星坐標和含有定位誤差的著陸器坐標代入式（10）可得式（11）：

其中，ri′為有定軌誤差時衛(wèi)星i和著陸器的距離；同理， g1′、g2′分別為 g1、g2引入定軌誤差的結果。代入上述定義，并聯(lián)立式（10）、（11）得三星無源定位誤差計算模型如式（12）：

如果定軌誤差已知，將中繼星的星歷導出代入式（12），便可求得定位誤差 （Δx，Δy，Δz）。3.2.4 三星有源定位誤差

著陸器與中繼衛(wèi)星的徑向距離可以表示為式（13）：

根據上文假設的定軌誤差和定位誤差，每個中繼衛(wèi)星和著陸器的之間的徑向距離可以表示為式（14）：

聯(lián)立（13）與（14）可得三星有源定位誤差計算模型如式（15）：

如果定軌誤差已知，將中繼星的星歷導出代入式（15），便可求得定位誤差 （Δx，Δy，Δz）。

3.3 星間時鐘誤差對定位誤差的影響

3.3.1 雙星定位誤差

雙星定位通過雙向偽距測量來獲得衛(wèi)星與著陸器之間的距離，由于衛(wèi)星使用各自的時鐘源，因此雙向偽距測量時，衛(wèi)星與衛(wèi)星間的時鐘同步存在誤差。當衛(wèi)星1和2同時向著陸器發(fā)送信號的時候，因為星間時鐘同步存在誤差，以衛(wèi)星1發(fā)送時刻作為參考，可設衛(wèi)星2相對衛(wèi)星1的時延是Δt′。

雙向偽距測量首先是著陸器發(fā)送信號給衛(wèi)星，衛(wèi)星收到信號后將其返回給著陸器。假設衛(wèi)星1與著陸器存在時鐘誤差Δt′，衛(wèi)星1雙向偽距測量存在式（16）所示關系［10］：

其中，T和T1分別是著陸器和衛(wèi)星1測得的單向偽距時差，Lt和Lr分別是測距信號在著陸器的發(fā)射機和接受機的時延，St和Sr分別是衛(wèi)星的發(fā)射機和接受機的時延，τ1是在衛(wèi)星1和著陸器之間的信號單向傳播時延。將（16）中的兩個方程相加，可得雙向偽距傳輸時延如式（17）：

對于衛(wèi)星2，因為與衛(wèi)星1有Δt的時鐘誤差，且相對著陸器有Δt′的時鐘誤差，故存在雙向偽距測量的關系如式（18）：

同理可得衛(wèi)星2與著陸器的雙向偽距傳輸時延為式（19）：

由式（17）與（19）可見，星間時鐘誤差 Δt被消去了，所以星間時鐘誤差對基于雙向偽距的雙星定位機制沒有影響。

3.3.2 三星無源定位誤差

由于三顆衛(wèi)星的時鐘不能夠嚴格同步，以衛(wèi)星1的時鐘作為參考，衛(wèi)星3與衛(wèi)星1的時鐘差是Δt3。衛(wèi)星1與衛(wèi)星2到著陸器的到達時間差變?yōu)閠12－Δt2，衛(wèi)星1與衛(wèi)星3到著陸器的到達時間差變?yōu)閠13－Δt3，其中tij為理想情況下（即不考慮星間時鐘誤差時）衛(wèi)星i和衛(wèi)星j之間的到達時間差。由式（10）可得距離和高程公式如式（20）：

其中，

聯(lián)立式（20）與式（10）可得三星無源定位誤差計算模型如式（21）：

如果時鐘誤差已知，將中繼星的星歷導出代入式（21），便可求得定位誤差 （Δx，Δy，Δz）。

3.3.3 三星有源定位誤差

三星有源定位方式沿用了前述的雙星定位中的雙向偽距測量來分別求得三個衛(wèi)星與著陸器的傳輸時延。同理，衛(wèi)星1、2、3之間的星鐘誤差最終也被消除。所以星間時鐘誤差對基于雙向偽距的三星有源定位沒有影響。

4 仿真分析

為定量評估四種定位模式下的定軌誤差和星間時鐘誤差分別對著陸器定位精度造成的影響。首先在STK中對著陸器和地月L2軌道中繼星進行建模，將中繼星的星歷導出為月固坐標系下的三維位置和速度。然后結合定軌誤差和星鐘誤差來對定位誤差進行解算。

對于單星定位，任取衛(wèi)星初始坐標為（0，66738，11500）；于雙星定位，任取衛(wèi)星坐標為（0，66738，11500），（11500，66738，0）。 為了避免衛(wèi)星分布的幾何奇異問題，對于三星有源定位和三星無源定位，衛(wèi)星坐標取為（0，66738，11500），（11500，66738，0），（0，66738， －11500）。 著陸器在月固坐標系下的真實坐標為（0，1229，1229）。當定軌誤差在0～100 m變化時對各種體制的定位誤差進行解算，計算結果如圖1所示。

圖1 定軌誤差對定位誤差的影響Fig.1 The influence of orbit error on positioning error

分析圖1可得：

1）在本文的若干假設條件下，定位誤差與定軌誤差近似為線性關系，且隨著定軌誤差的增加而增加；

2）在這幾種定位體制中，三星有源和三星無源的定位精度最好，并且它們的性能相似，而單星定位的精度最差。

為了對定位精度有更具體的認識，我們列出了當定軌誤差固定在50 m和100 m時，各種定位體制對應的定位誤差，如表1所示。

表1 定軌誤差對定位誤差的影響Table 1 The influence of orbit error on positioning error

為了避免衛(wèi)星分布的幾何奇異問題，對三星無源定位，衛(wèi)星坐標為（0，66738，11500）、（11500，66738，0）、（0，66738， －11500），著陸器在月固坐標系下的坐標不變。當星鐘誤差在0～4 μs變化時對定位誤差進行解算，計算結果如圖2所示。

由圖2可知，定位誤差與時鐘誤差近似為線性關系，且隨著時鐘誤差的增大而增大。我們列出了當時鐘誤差固定在 0.01 μs、0.1 μs 和 1 μs時，各種定位體制對應的定位誤差，如表2所示。

圖2 星間時鐘誤差對三星無源定位誤差的影響Fig.2 The influence of inter satellite clock error on tri－satellite passive positioning error

表2 時鐘誤差對定位誤差的影響Table 2 The influence of clock error on positioning error

5 結論

在單星、雙星、三星有源和三星無源這四種定位體制中，定位誤差都隨著定軌誤差的增加而增加，且三星有源定位精度最優(yōu)。由于雙向偽距測量技術能夠消除星間時鐘誤差，星間時鐘誤差對雙星定位和三星有源定位的精度不會造成影響。而三星無源定位根據月面著陸器與三顆L2點中繼衛(wèi)星之間的傳輸時延差來定位，所以其定位精度會受到星間時鐘誤差的影響。