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        華師版“平方差公式”教學(xué)案例

        2018-11-01 02:39:30王青松
        關(guān)鍵詞:特征探究

        王青松

        【內(nèi)容摘要】從數(shù)形兩方面探究、推導(dǎo)“平方差公式”,觀察并總結(jié)出公式的形式特征。

        【關(guān)鍵詞】多項(xiàng)式乘法法則 平方差公式

        一、 知識(shí)回顧

        多項(xiàng)式乘法法則:(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

        其意義是:

        多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加.

        說(shuō)明:這里相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式不管是幾項(xiàng)式,其法則不變.

        二、問(wèn)題探究

        計(jì)算:

        (1)(x+2y)(x-2y);

        (2)(x-6y)(x+6y);

        (3)(3x+5y)(3x-5y);

        (4)(a+b)(a-b).

        觀察與思考:這幾道問(wèn)題中相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式之間有何關(guān)系特征?其相乘的結(jié)果形式有何特征?為什么?你能概括出什么結(jié)論?

        1.可看作是“兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差”,其結(jié)果是等于“這兩數(shù)的平方差”.

        即:兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差=這兩數(shù)的平方差.

        2.左邊的兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)相同,另一項(xiàng)是互為相反數(shù);右邊是相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方.

        (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2;

        觀察其計(jì)算的過(guò)程,展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)恰好是互為相反數(shù),合并為零,所以最后的結(jié)果只剩下兩項(xiàng)。

        概括:(閱讀課本第31頁(yè))

        平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.

        其意義是:

        (1)兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差,這兩數(shù)的平方差;

        (2)相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式中,有一項(xiàng)相同,另一項(xiàng)是互為相反數(shù),其相乘的結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方.

        說(shuō)明:

        1.公式中的a、b可以是數(shù)或單項(xiàng)式或單項(xiàng)式;

        2.注意公式的第二層面的理解。

        用面積法來(lái)解釋公式的幾何意義:

        如圖,把邊長(zhǎng)為a的正方形挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為 的正方形,剩下的圖形面積有幾種不同的求法?它們表示的代數(shù)恒等式是什么?

        在圖1中,S=a2-b2;在圖2中,S=(a+b)(a-b)。

        ∴a2-b2=(a+b)(a-b);或說(shuō):(a+b)(a-b)=a2-b2。

        試一試:

        1. 計(jì)算:

        (1)(a+3)(a-3);

        (2)(2a+3b)(2a-3b);

        (3)(1+2c)(1-2c);

        (4)(-2x-y)(2x-y).

        第(4)題的進(jìn)一步探究:

        變式計(jì)算:

        (1)(2x+y)(-y+2x);

        (2)(2x+y)(y-2x);

        (3)(-2x+y)(2x+y);

        (4)(-2x-y)(-2x+y);

        (5)(2x+y)(-2x-y).

        由這組題目的計(jì)算,你對(duì)平方差公式的特征還有什么新的認(rèn)識(shí)?

        相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式中,若有一項(xiàng)相同,另一項(xiàng)是互為相反數(shù),則它們的積等于 項(xiàng)的平方減去 項(xiàng)的平方.

        練一練:

        計(jì)算:

        (1)(2x+12) (2x-12);

        (2)(-x+2)(-x-2);

        (3)(-2x+3y)(2x+3y);

        (4)(y-x)(-x-y).

        注意:相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方!

        更上一層樓:

        1.計(jì)算:(x+2)(x-3)-(x-4)(x+4).

        2.先化簡(jiǎn),再求值:(x-3y)(x+y)-(x+3y)(x-3y),其中,x=-2,y=14.

        三、課后練習(xí)

        1.計(jì)算:

        (1)(a+3)(a-5)= ;

        (2)(a+3)(a-3)= ;

        (3)(a-5)(a+5)= ;

        (4)(a-3)(a-5)= .

        2.計(jì)算:

        (1)(x+3y)(x-3y)= ;

        (2)(3x+2y)(3x-2y)= ;

        (3)(2x-5y)(2x+5y)= ;

        (4)(-x+3)(-x-3)= .

        3.計(jì)算:

        (1)(a-4)(a+4)+(a-1)(a+1);

        (2)(5+x)(5-x)+(x-1)(x+3);

        (3)(3x-4y)(3x+4y)-(x+4y)(x-4y);

        (4)(a+2b)(2b-a)-(a+3b)(a-b).

        4.解方程:4x2-(x-2)(x+2)=(x-4)(3x+4).

        5.先化簡(jiǎn),再求值:(x+3)(x-3)-(3x+2)(2-3x),其中x=2.

        6.計(jì)算:(2x-y)(2x+y)(4x2+y2).

        7.(1)探究:計(jì)算下列各式:

        (x-1)(x+1)= .

        (x-1)(x2+x+1)= .

        (x-1)(x3+x2+x+1)= .

        (2)歸納:(x-1)(xn-1+xn-2+xn-3+...+x+1)= .

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]華師大《八年級(jí)上冊(cè)》(2014版).

        (作者單位:福建省泉州市培元中學(xué))

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