高 健，王慶康，王丹燕

(上海交通大學(xué) 薄膜與微細(xì)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)

引 言

周期性納米結(jié)構(gòu)濾光片對(duì)入射光的吸收率較小，其中心光譜位置、帶寬等性能參量均可由結(jié)構(gòu)參量進(jìn)行調(diào)節(jié)，且易于集成，已成為彩色濾光片重要的研究和應(yīng)用方向之一[1]。研究表明，當(dāng)光柵周期遠(yuǎn)小于入射光波長(zhǎng)時(shí)，只產(chǎn)生0 級(jí)衍射光波，而其它較高級(jí)次的衍射光均為倏逝波，這類光柵稱為亞波長(zhǎng)光柵。通過(guò)調(diào)整亞波長(zhǎng)光柵的取向、周期、深度等，對(duì)光選擇性透射(反射/吸收)，在光顯示、光伏、光傳感、光檢測(cè)和無(wú)油墨印刷等領(lǐng)域的應(yīng)用引起了廣泛關(guān)注[2]。如果在液晶顯示屏(liquid crystal display，LCD)中采用納米光柵結(jié)構(gòu)濾光片替代顏料型彩色濾光片，應(yīng)滿足以下要求：光能利用率高，透射帶寬適中，旁帶透射率低。中國(guó)專利“混合型偏振片及其制造方法和具有其的顯示裝置”中提出了一種埋入式單層金屬光柵彩色濾光片[3]，該彩色濾光片由位于基底上多個(gè)區(qū)域的不同周期、不同占空比、不同高度的金屬光柵組成。

隨著納米加工技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)模共振濾光片以其設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、衍射效率高、半峰全寬(帶寬)窄等優(yōu)點(diǎn)引起了越來(lái)越多的關(guān)注。但大部分研究都是基于介質(zhì)光柵的導(dǎo)模共振特性得到反射濾光片，基于表面等離子體效應(yīng)的金屬光柵的研究較少[3-5]。當(dāng)光入射到金屬光柵表面時(shí)，由于光子與金屬表面自由電子的電荷密度波耦合成表面等離子體(surface plasmons，SP)在特定的光波長(zhǎng)內(nèi)表現(xiàn)出透射增強(qiáng)現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為表面等離子體效應(yīng)。

目前，想要得到特定波長(zhǎng)的濾光片，設(shè)計(jì)光柵結(jié)構(gòu)，大多采用嚴(yán)格耦合波分析、模式法和時(shí)域有限差分等方法數(shù)值分析光柵周期、占空比、厚度等參量變化對(duì)透射譜線的影響，進(jìn)而得到參量的優(yōu)化范圍[6]。本文中提出利用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法與嚴(yán)格耦合波分析(rigorous coupled wave analysis,RCWA)方法結(jié)合，在給定濾光波長(zhǎng)要求的情況下，逆優(yōu)化結(jié)構(gòu)參量。粒子群優(yōu)化是一種由一群鳥類和昆蟲群的社會(huì)行為啟發(fā)的進(jìn)化計(jì)算技術(shù)。 最初由KENNEDY和EBERHART提出 ，近年來(lái)主要應(yīng)用于電磁場(chǎng)優(yōu)化問(wèn)題[7-8]。由于在各種問(wèn)題中實(shí)現(xiàn)方便并且具有強(qiáng)大的優(yōu)化能力，PSO算法越來(lái)越引起研究人員的注意。

本文中把光柵結(jié)構(gòu)的參量作為優(yōu)化的粒子，在一定范圍內(nèi)不斷改變粒子的速度和位置，設(shè)定目標(biāo)函數(shù)計(jì)算適應(yīng)值F，對(duì)每組優(yōu)化粒子進(jìn)行評(píng)估，最終找到全局最優(yōu)解。

1 理論分析

本文中研究一種基底-高折射率光柵-金屬光柵的透射式濾光片結(jié)構(gòu)，如圖1所示。金屬光柵層材料為Al，折射率為nm，色散曲線依照Drude模型[9-11]。高折射率介質(zhì)光柵層折射率nd=2.4，基底層折射率ns=1.5，Λ代表光柵的周期，光柵的寬度W=Λf，f為光柵的占空比，金屬光柵層的厚度為dm，介質(zhì)光柵的厚度為dd。當(dāng)TM光從光柵表面垂直入射，金屬表面發(fā)生等離子體共振。在金屬和基底之間增加高折射率介質(zhì)光柵層，滿足波導(dǎo)共振激發(fā)條件，發(fā)生導(dǎo)模共振。由于這兩種效應(yīng)的共同作用，在特定波長(zhǎng)發(fā)生透射增強(qiáng)。

Fig.1 Schematic of subwavelength metal-medium filter with grating structure

2013年，ZHOU[2]提出當(dāng)結(jié)構(gòu)中的金屬光柵厚度dm=0.06μm，介質(zhì)光柵厚度dd=0.08μm，占空比f(wàn)=0.75，周期Λ=0.4μm時(shí)，光譜峰值位置波長(zhǎng)為0.65μm，透射效率為67%。為了提高光柵結(jié)構(gòu)濾光片對(duì)波長(zhǎng)為0.65μm紅光的透射效率，縮小帶寬，本文中提出利用PSO算法，逆優(yōu)化結(jié)構(gòu)參量。

在PSO中，群體的每個(gè)粒子被認(rèn)為是N維搜索空間中的一個(gè)無(wú)質(zhì)量的點(diǎn)，粒子僅具有兩個(gè)屬性：位置X和速度v, 位置代表粒子移動(dòng)的方向，速度代表粒子移動(dòng)的快慢。每個(gè)粒子在搜索空間中尋找最優(yōu)解，將其記為當(dāng)前個(gè)體極值Pm，并將個(gè)體極值與整個(gè)粒子群里的其他粒子共享，找到最優(yōu)的那個(gè)個(gè)體極值作為整個(gè)粒子群的當(dāng)前全局最優(yōu)解G，粒子群中的所有粒子根據(jù)自己找到的當(dāng)前個(gè)體極值Pm和整個(gè)粒子群共享的當(dāng)前全局最優(yōu)解G來(lái)調(diào)整自己的速度和位置，直到輸出全局最優(yōu)解[12-14]。速度和位置的迭代公式為：

vm,k+1=ωvm,k+c1rand1()(Pm-Xm,k)+

c2rand2()(G-Xm,k)

(1)

Xm,k+1=Xm,k+vm,k+1Δt

(2)

式中，ω是慣性權(quán)重，設(shè)定為從0.9～0.4遞減，c1和c2設(shè)為1.49，Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，設(shè)為1，參量設(shè)置參見參考文獻(xiàn)[15]，rand()為MATLAB自帶函數(shù)，返回一個(gè)0～1之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)前個(gè)體極值Pm={p1m,p2m,…,pnm}，n=20,G=Pm，Pm和G迭代規(guī)則為：如果F(Xm,k+1)比F(Pm)小，則Pm由Xm,k+1取代。如果F(Pm)比F(G)小，則G被Pm取代。直到迭代結(jié)束。

對(duì)于通過(guò)PSO設(shè)計(jì)的金屬光柵濾光片，本文中選擇透射波長(zhǎng)0.65μm的紅光，選擇4個(gè)參量作為優(yōu)化參量：光柵厚度dm，介質(zhì)層厚度dd，光柵周期Λ和占空比f(wàn)。因此，粒子群數(shù)組為X={Λ，dm，dd，f}。設(shè)定目標(biāo)函數(shù)，求適應(yīng)值F公式如下[16]：

(3)

式中，Rt是不同波長(zhǎng)入射光期望達(dá)到的透射效率，為了實(shí)現(xiàn)紅光透射效率高、旁帶低的要求，這里設(shè)定波長(zhǎng)為0.65μm的透射效率達(dá)到最大值，此時(shí)最大值為1，帶寬控制在小于50nm，設(shè)定波長(zhǎng)為0.625μm和0.675μm時(shí)透射效率為0.3，其它波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)透射效率設(shè)為0,以減小旁帶。Rd是把PSO中的優(yōu)化參量代入RCWA程序計(jì)算所得到的透射效率，M是所取波長(zhǎng)點(diǎn)的數(shù)量。粒子的F為兩者的方差，反映了優(yōu)化的程度，F(xiàn)越小，Rt越接近Rd，就越符合優(yōu)化的結(jié)果。

2 建模與仿真

在MATLAB中進(jìn)行仿真，仿真流程見圖2。在PSO程序模塊中，首先分配粒子群中待定參量的初始數(shù)量，仿真過(guò)程中設(shè)定為20。參量的范圍為：0μm<Λ<0.650μm; 0μm

Fig.2 Flow chart of particle swarm optimization algorithm

3 優(yōu)化結(jié)果與分析

針對(duì)透射波長(zhǎng)0.65μm的紅光濾光片，圖3為PSO適應(yīng)值隨迭代次數(shù)變化的曲線。得到優(yōu)化參量為：Λ=0.300μm，dm=0.035μm，dd=0.400μm，f=0.77，根據(jù)得到的最優(yōu)參量模擬其對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)透射效率隨波長(zhǎng)的變化曲線Rd(λ)與設(shè)定的透射效率曲線Rt(λ)的比較,如圖4所示。設(shè)置虛線為目標(biāo)曲線，實(shí)線為PSO優(yōu)化結(jié)構(gòu)的仿真曲線，點(diǎn)線為參考文獻(xiàn)[2]中ZHOU提出的結(jié)構(gòu)透射光譜。

Fig.3 Relationship between fitness function and the iteration number

Fig.4 Relationship between transmission spectra of grating structure[2]，the optimal structure and the target and wavelength

根據(jù)PSO算法得出的適應(yīng)值隨迭代次數(shù)變化圖，以及最優(yōu)結(jié)構(gòu)透射效率隨波長(zhǎng)變化曲線與設(shè)定曲線對(duì)比的圖形分析可知，迭代過(guò)程中適應(yīng)值逐漸收斂，大約在2000次后趨于穩(wěn)定，迭代6000次后得到適應(yīng)值僅為0.0728，優(yōu)化了結(jié)構(gòu)參量，優(yōu)化參量對(duì)應(yīng)的光柵結(jié)構(gòu)對(duì)紅光透射率達(dá)到了80.27%，旁帶效率控制在15%以內(nèi)，半峰全寬(full width at half maximum，F(xiàn)WHM)僅為30nm。與ZHOU提出的結(jié)構(gòu)透射光譜對(duì)比可知，此優(yōu)化結(jié)構(gòu)提高了透射效率，縮小了帶寬。

在最優(yōu)參量的基礎(chǔ)上，通過(guò)改變單一參量，得到周期Λ、占空比f(wàn)、金屬光柵高度dm和介質(zhì)光柵高度dd變化對(duì)透射效率的影響。圖5a中為當(dāng)f=0.77，dm=0.035μm，dd=0.400μm，周期Λ分別為0.280μm,0.290μm,0.300μm,0.310μm,0.320μm時(shí)光柵結(jié)構(gòu)對(duì)不同波長(zhǎng)光的透射效率曲線。圖5b～圖5d中為固定其它參量，分別改變f,dm，dd時(shí)透射效率隨波長(zhǎng)變化的曲線。

Fig.5 Relationship between transmission and wavelength for different grating structure parameters

由分析可知，圖5a中,當(dāng)固定其它參量改變周期Λ時(shí)，隨著Λ的變大，曲線紅移，透射效率減小，周期小于最優(yōu)值時(shí)，旁帶大于20%，不能應(yīng)用于整個(gè)可見光波段，周期大于最優(yōu)值時(shí)，透射效率下降明顯。圖5b中，當(dāng)固定其它參量改變金屬光柵厚度dm時(shí)，同樣出現(xiàn)厚度小于最優(yōu)值時(shí)，旁帶超過(guò)20%，大于最優(yōu)值時(shí)，透射效率顯著下降。圖5c中，隨著介質(zhì)光柵厚度dd的增大，旁帶透射效率也增大，厚度小于最優(yōu)值時(shí)效率較低。圖5d中，隨著占空比f(wàn)的增大，曲線紅移，在取最優(yōu)值時(shí)旁帶效率和透射效率與取其它值相比更優(yōu)。因此，由PSO算法得出的最優(yōu)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了特定波長(zhǎng)光的高效率透射。

4 結(jié) 論

將粒子群優(yōu)化(PSO)算法應(yīng)用到求解高效率透射光柵結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參量上，利用MATLAB進(jìn)行仿真，通過(guò)設(shè)定目標(biāo)函數(shù)控制透射效率、旁帶效率和帶寬，不斷迭代，比較適應(yīng)值，使得仿真曲線與設(shè)定曲線的差值最小，實(shí)現(xiàn)了對(duì)光柵周期、占空比、光柵厚度、介質(zhì)厚度的優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的透射效率曲線在波長(zhǎng)為0.65μm時(shí)達(dá)到最大，旁帶效率小于15%，半峰全寬僅為30nm。在得到優(yōu)化參量的基礎(chǔ)上，分析了改變各個(gè)參量對(duì)透射效率的影響。研究表明，該亞波長(zhǎng)金屬-介質(zhì)光柵濾光片結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了對(duì)波長(zhǎng)為0.65μm紅光的高效率透射。