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(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

在深海系泊浮體分析中，系泊纜索和立管的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)浮體有很大影響，需采用動(dòng)力耦合方法求解浮體與系泊纜索及立管的相互作用。系泊浮體耦合運(yùn)動(dòng)包括3個(gè)方面：浮體水動(dòng)力建模、系泊纜索力學(xué)分析建模和系泊纜索的耦合算法。按照J(rèn)ACOB等[1]的討論，耦合算法有“強(qiáng)耦合”方法和“弱耦合”方法?！皬?qiáng)耦合”方法將浮體和系泊線動(dòng)力學(xué)方程通過彈簧反力(矩)和阻尼力(矩)耦合在一起，形成一個(gè)浮體和細(xì)長(zhǎng)桿件動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)同時(shí)求解的多自由度方程組，在這種方法中浮體和系泊纜索是整體求解的?！叭躐詈稀狈椒▽⒏◇w動(dòng)力學(xué)模塊和柔性桿件動(dòng)力學(xué)模塊獨(dú)立求解，兩者通過位移和受力的傳遞進(jìn)行耦合。RAN[2]和GARRET[3]分別開發(fā)了時(shí)域全耦合動(dòng)態(tài)分析程序。KIM等[4]將聚酯纜材料的非線性數(shù)學(xué)模型融合進(jìn)系泊纜索的運(yùn)動(dòng)和控制方程，并與深海平臺(tái)進(jìn)行耦合分析。ZHANG等[5]分別采用準(zhǔn)靜態(tài)耦合、半耦合和全耦合3種方法對(duì)某Spar平臺(tái)進(jìn)行數(shù)值模擬，并將結(jié)果與試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比。袁夢(mèng)[6]研究了聚酯纜的動(dòng)力特性，并對(duì)某張緊式Spar平臺(tái)進(jìn)行耦合動(dòng)力分析。楊敏冬[7]對(duì)風(fēng)、浪、流共同作用下的Truss Spar平臺(tái)分別進(jìn)行了靜態(tài)耦合模擬和動(dòng)態(tài)模擬。基于JING等[8]提出的異步耦合方法，馬山等[9-11]開發(fā)了深海浮體與系泊、立管的動(dòng)力耦合分析程序，在對(duì)單點(diǎn)系泊FPSO、Spar平臺(tái)的動(dòng)力響應(yīng)分析中得到了很好的驗(yàn)證。該方法屬于“弱耦合”方法，由于系泊系統(tǒng)作為獨(dú)立模塊求解，適合采用并行計(jì)算。

在浮體動(dòng)力耦合分析數(shù)值模擬中系泊纜索、立管的動(dòng)力分析時(shí)間步長(zhǎng)較小，耗時(shí)較長(zhǎng)，因此，提高系泊纜索動(dòng)力分析的計(jì)算效率對(duì)于減小系泊浮體耦合分析的計(jì)算耗時(shí)至關(guān)重要。JACOB等分別采用“強(qiáng)耦合”和“弱耦合”方法對(duì)某半潛式平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)力分析對(duì)比，發(fā)現(xiàn)“弱耦合”方法結(jié)合并行計(jì)算能大幅提高計(jì)算效率。丁佐鵬等[12]基于細(xì)長(zhǎng)桿理論將Adams-Moulton法和Newmark-β迭代法兩種算法用于系泊纜索動(dòng)力分析，并對(duì)這兩種算法進(jìn)行對(duì)比研究工作，發(fā)現(xiàn)在相同時(shí)間步長(zhǎng)的情況下Adams-Moulton法計(jì)算效率更高，但是其只適用于小步長(zhǎng)，而Newmark-β迭代法穩(wěn)定性更好，適用于大步長(zhǎng)。

在采用系泊浮體與動(dòng)力分析異步耦合算法時(shí)，針對(duì)系泊纜索、立管動(dòng)力分析常采用細(xì)長(zhǎng)桿理論。該方法最早由GARRET[13]提出，適用于不可拉伸細(xì)長(zhǎng)桿件，后經(jīng)MA等[14]改進(jìn)，考慮了桿件的拉伸變形。唐友剛等[15]基于細(xì)長(zhǎng)桿理論建立了三維非線性細(xì)長(zhǎng)桿單元?jiǎng)偠染仃?，?shí)現(xiàn)有限元軟件ABAQUS對(duì)纜索單元的調(diào)用，該方法非常適用于工程實(shí)際。馬剛[16]結(jié)合細(xì)長(zhǎng)桿理論分析了某單點(diǎn)系泊FPSO在波浪中的運(yùn)動(dòng)和受力。袁夢(mèng)等[17]對(duì)控制方程進(jìn)行修改，將細(xì)長(zhǎng)桿理論應(yīng)用于深水輕質(zhì)纜索的動(dòng)力分析。細(xì)長(zhǎng)桿理論動(dòng)力求解中經(jīng)常采用的一種方法是Newmark-β迭代法[18]，本文采用該方法，以提高系泊纜索動(dòng)力分析計(jì)算效率為目標(biāo)進(jìn)行以下工作：(1)研究單元數(shù)、時(shí)間步長(zhǎng)、控制精度和每個(gè)時(shí)間步的迭代次數(shù)等要素對(duì)計(jì)算效率的影響。(2)將OpenMP并行計(jì)算應(yīng)用中系泊纜索的動(dòng)力分析中，研究其對(duì)計(jì)算效率的影響。發(fā)現(xiàn)適當(dāng)減小單元數(shù)、增加時(shí)間步長(zhǎng)、降低動(dòng)力分析迭代求解控制精度以及減小每個(gè)時(shí)間步的迭代次數(shù)有利于提高計(jì)算效率，采用并行計(jì)算對(duì)提高計(jì)算效率也是有利的。

圖1 纜索分析空間坐標(biāo)示例

1 基于細(xì)長(zhǎng)桿理論的Newmark-β迭代法

1.1 基于細(xì)長(zhǎng)桿理論的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)控制方程簡(jiǎn)介

圖1給出了纜索動(dòng)力分析的弧長(zhǎng)坐標(biāo)系，系泊纜索的運(yùn)動(dòng)及控制方程如下：

r′·r′=(1+ε)2(2)

引入插值函數(shù)，利用Galerkin法離散后的有限元運(yùn)動(dòng)及拉伸控制方程如下：

μimqmn+fin(3)

1.2 Newmark-β迭代法求解格式

系泊纜索有限元離散動(dòng)力學(xué)方程組采用Newmark-β迭代法求解。具體求解格式如下：

在t=0時(shí)，或者時(shí)間步k=0時(shí)，有

(5)

假設(shè)初始時(shí)刻結(jié)構(gòu)靜止，初始條件為

(6)

(7)

時(shí)間步k時(shí)各變量的值用前一時(shí)間步k-1步的值通過式(9)進(jìn)行預(yù)估：

(9)

式中：Δt為時(shí)間步長(zhǎng)。

M(k)，q(k)可以通過以上各值求得。

式中：ρ為水的密度;A為材料截面積;FEA為纜索抗拉剛度。

求解出以上方程后，通過式(12)修正各變量的值：

(12)

式中：γ、β為常數(shù)，γ=1/2，β=1/4。

1.3 海底邊界條件

海底對(duì)系泊纜索同時(shí)有支持力和摩擦力的作用，本文忽略摩擦力的作用，只考慮支持力的作用。將海底對(duì)纜索支撐力作用看成線彈性彈簧，參考文獻(xiàn)[18]，支持力的公式為

(13)

參數(shù)運(yùn)動(dòng)及控制方程，對(duì)支持力進(jìn)行離散積分后得到其表達(dá)式：

(14)

對(duì)于完全觸底的單元，式(14)中的l1即為單元長(zhǎng)度，而μim、γikm仍為積分常數(shù)；但是對(duì)于一部分觸底、一部分懸空的單元，式(14)中的l1不是單元長(zhǎng)度，μim、γikm也不再是常數(shù)，積分只在觸底的那一部分區(qū)間上進(jìn)行。

對(duì)于部分觸底的單元需先求解出觸地點(diǎn)，即求解式(15)中的零點(diǎn)：

(15)

2 各要素對(duì)計(jì)算效率的影響

基于以上理論，本文編制了系泊纜索動(dòng)力求解程序?，F(xiàn)以單一成分系泊線的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)動(dòng)力分析為例，研究有限單元數(shù)、時(shí)間步長(zhǎng)、控制精度和每個(gè)時(shí)間步的迭代次數(shù)對(duì)計(jì)算效率的影響。系泊線的具體參數(shù)見表1。

表1 單一成分系泊線參數(shù)

圖2 單一成分系泊線強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)示例

系泊線作業(yè)水深1 000 m，在系泊線頂端施加一水平強(qiáng)迫正弦運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，運(yùn)動(dòng)位移關(guān)系：

x(t)=x0+a·sin(ωt)(16)

式中：x0為系泊線頂端初始時(shí)刻坐標(biāo)；a為施加的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)的幅值；ω=2π/T為振蕩圓頻率，T為振蕩周期。

坐標(biāo)系原點(diǎn)在靜水面上，取x0=0，a=10 m，T=15 s，系泊線頂端位于水平面下8 m處。

2.1 單元數(shù)和時(shí)間步長(zhǎng)的影響

現(xiàn)將整個(gè)系泊線分別劃分為10、20、40個(gè)單元，時(shí)間步長(zhǎng)分別取0.1 s、0.2 s、0.3 s，共9種工況進(jìn)行數(shù)值模擬，控制精度取10-2，并將系泊線頂端張力的時(shí)歷曲線與商業(yè)軟件OrcaFlex的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖3～圖5所示。

圖3 單元數(shù)為10的計(jì)算結(jié)果 圖4 單元數(shù)為20的計(jì)算結(jié)果

由圖3～圖5可以看出:劃分不同的單元數(shù)，取不同的時(shí)間步長(zhǎng)，采用Newmark-β迭代法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得出的結(jié)果總體與OrcaFlex模擬結(jié)果是一致的，說(shuō)明本文采用的數(shù)值方法是可靠的。上述比較也說(shuō)明：在相同單元數(shù)目情況下，不同時(shí)間步長(zhǎng)下計(jì)算結(jié)果較為一致，本文采用的Newmark-β迭代法數(shù)值穩(wěn)定性較好，在較大的時(shí)間步長(zhǎng)下纜索動(dòng)力分析也能夠較為穩(wěn)定地進(jìn)行下去。

圖5 單元數(shù)為40計(jì)算結(jié)果

現(xiàn)按以上各工況進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)值模擬時(shí)長(zhǎng)均3 000 s，得到計(jì)算耗時(shí)見表2。

表2 各工況模擬3 000 s的計(jì)算耗時(shí)對(duì)比 s

由表2可以發(fā)現(xiàn)：在固定控制精度為10-2，單元數(shù)相同時(shí)，隨著時(shí)間步長(zhǎng)的增加，計(jì)算耗時(shí)逐漸減小，隨著單元數(shù)的增加，這一趨勢(shì)越明顯。在時(shí)間步長(zhǎng)相同時(shí)，單元數(shù)越多，計(jì)算耗時(shí)越長(zhǎng)，而且隨著單元數(shù)的增加，耗費(fèi)時(shí)間的增加速度越快。從這2點(diǎn)可知，單元數(shù)的劃分對(duì)模擬的耗時(shí)非常敏感，雖然增加單元數(shù)可以提高計(jì)算精度，但是單元數(shù)增加到一定程度時(shí)，數(shù)值計(jì)算的精度已不能提高很多，如在單元數(shù)取20時(shí)計(jì)算精度已經(jīng)很高，增加到40并沒有帶來(lái)太大的精度提升，反而由于分析的單元數(shù)增加了，擴(kuò)大了整個(gè)系泊纜索求解的矩陣，導(dǎo)致計(jì)算耗時(shí)的增加。因此在采用Newmark-β迭代法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，在滿足計(jì)算精度的要求前提下盡量減少單元數(shù)，對(duì)于提高計(jì)算效率有很大的幫助。同時(shí)可以看到，提高時(shí)間步長(zhǎng)也減小了計(jì)算耗時(shí)，這一現(xiàn)象與丁佐鵬等所述情況有所不同，主要是因?yàn)榇颂幙刂凭热〉氖?0-2，比較容易達(dá)到要求，增加時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)迭代次數(shù)的影響并不是很大。而丁佐鵬等在進(jìn)行纜索動(dòng)力分析計(jì)算效率研究時(shí)，由于針對(duì)系泊纜索動(dòng)力分析迭代控制精度比較高，不容易達(dá)到，增加時(shí)間步長(zhǎng)導(dǎo)致迭代次數(shù)明顯增加，導(dǎo)致大時(shí)間步長(zhǎng)反而比小步長(zhǎng)更耗時(shí)。

2.2 控制精度的影響

將纜索劃分為20個(gè)單元，時(shí)間步長(zhǎng)取0.2 s，控制精度分別取10-2、10-3、10-4、10-5、10-6進(jìn)行數(shù)值模擬，計(jì)算得到纜索頂端張力時(shí)歷曲線，如圖6所示。數(shù)值模擬時(shí)間取3 000 s，將各控制精度下每個(gè)時(shí)間步的平均迭代次數(shù)及計(jì)算耗時(shí)進(jìn)行對(duì)比，見表3。

圖6 各控制精度下頂端張力時(shí)歷曲線對(duì)比

表3 各控制精度下每個(gè)時(shí)間步平均迭代次數(shù)及計(jì)算耗時(shí)

從圖6中可以看出，各控制精度下頂端張力的時(shí)歷曲線基本一致，表3顯示每個(gè)時(shí)間步的平均迭代次數(shù)隨著控制精度的提高而迅速增加，迭代次數(shù)的增加必然導(dǎo)致計(jì)算耗時(shí)的增加。因此，一味地提高控制精度并沒有太大的意義，反而會(huì)增加耗時(shí)，得不償失。在計(jì)算精度得到保證的前提下，降低控制精度有利于減少每個(gè)時(shí)間步的迭代次數(shù)，從而減小計(jì)算耗時(shí)，提高計(jì)算效率。

2.3 每個(gè)時(shí)間步迭代次數(shù)的影響

圖7 各迭代次數(shù)下位移的精度 圖8 各迭代次數(shù)下張力的精度

圖9 每個(gè)時(shí)間步迭代次數(shù)為3次和20次時(shí) 頂端張力時(shí)歷曲線(1 000 s)

圖10 每個(gè)時(shí)間步不同迭代次數(shù)計(jì)算耗時(shí)

從圖7和圖8可以看出：各迭代次數(shù)下位移的精度遠(yuǎn)高于張力的精度，可以推斷控制迭代精度時(shí)其實(shí)主要控制的是張力的迭代精度。但無(wú)論是位移還是張力，隨著每個(gè)時(shí)間步迭代次數(shù)的增加，計(jì)算的精度均在不斷提高。在迭代次數(shù)較少的時(shí)候，精度提高的速度很快，但是當(dāng)?shù)螖?shù)增多之后，精度的提高越來(lái)越慢，迭代次數(shù)達(dá)到10次之后精度的提高已不很明顯。即使每個(gè)時(shí)間步的迭代次數(shù)僅為3次，張力的精度相較于張力的幅值已經(jīng)很高了，且模擬時(shí)長(zhǎng)達(dá)到1 000 s計(jì)算的結(jié)果如圖9所示，也能保持良好的穩(wěn)定性，并與迭代20次的結(jié)果吻合得很好。

從圖10可以看出：計(jì)算耗時(shí)隨著每個(gè)時(shí)間步的迭代次數(shù)的增加，基本呈線性增加趨勢(shì)，因此控制每個(gè)時(shí)間步的迭代次數(shù)是提高計(jì)算效率的一種有效方法。

圖11 并行計(jì)算

圖12 并行計(jì)算耗時(shí)

3 并行計(jì)算

系泊浮體的系泊系統(tǒng)通常由多根系泊線組成。在對(duì)系泊浮體動(dòng)力耦合分析開展研究的“弱耦合”方法中，在系泊纜索求解時(shí)各根系泊纜索動(dòng)力分析是獨(dú)立進(jìn)行的，允許對(duì)系泊纜索并行求解提高計(jì)算效率，如圖11所示。本文應(yīng)用Intel Fortran自帶的并行運(yùn)算方法OpenMP實(shí)現(xiàn)多根系泊纜索并行計(jì)算，該方法相對(duì)簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)。

為研究并行計(jì)算的效率，取12根系泊線，簡(jiǎn)便起見，其參數(shù)均與第2節(jié)中的一致，且均做與上節(jié)中同樣的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。將泊線劃分為20個(gè)單元，時(shí)間步長(zhǎng)取0.2 s，模擬時(shí)長(zhǎng)取500 s。運(yùn)行用計(jì)算機(jī)參數(shù)為Intel Core i5-4460，四核。并行計(jì)算時(shí)分別采用2線程、3線程和4線程進(jìn)行計(jì)算，將并行計(jì)算與串行計(jì)算(即線程數(shù)為1)的耗時(shí)進(jìn)行對(duì)比，如圖12所示。

從圖12可以看出：隨著線程數(shù)的增加并行計(jì)算的耗時(shí)顯著減小，說(shuō)明將并行計(jì)算運(yùn)用于系泊纜索的動(dòng)力分析是十分有效的。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文在系泊纜索動(dòng)力分析細(xì)長(zhǎng)桿理論的基礎(chǔ)上，建立系泊纜索有限元模型，采用Newmark-β迭代法求解，編制動(dòng)力分析計(jì)算程序，并利用商業(yè)軟件OrcaFlex驗(yàn)證程序的正確性。以此為前提，本文著重討論了各要素對(duì)計(jì)算效率的影響。其中系泊線單元數(shù)的劃分對(duì)計(jì)算耗時(shí)的影響比較敏感，隨著單元數(shù)的增加，計(jì)算耗時(shí)呈非線性增加趨勢(shì)，適當(dāng)增加時(shí)間步長(zhǎng)有利于減小計(jì)算耗時(shí)。隨著控制精度的提高，每個(gè)時(shí)間步的迭代次數(shù)增加速度越來(lái)越快，一味提高控制精度對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的提高并沒有顯著的作用，反而造成計(jì)算耗時(shí)的大幅增加?？刂泼總€(gè)時(shí)間步的迭代次數(shù)，能有效減小計(jì)算耗時(shí)，而且計(jì)算結(jié)果的精度也并未有太大損失。對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中深水懸鏈?zhǔn)较挡?，系泊纜索的長(zhǎng)度常在千米以上，根據(jù)前文算例分析及筆者經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)力分析的時(shí)間步長(zhǎng)可取0.2 s，單元數(shù)可取20，每個(gè)時(shí)間步的迭代次數(shù)可取3，動(dòng)力分析結(jié)果精度能夠滿足實(shí)際工程的要求。另外，針對(duì)系泊浮體動(dòng)力耦合分析的“弱耦合”方法，在對(duì)多根系泊線進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)可采用并行計(jì)算。本文針對(duì)系泊線動(dòng)力分析開展的并行計(jì)算表明：隨著線程數(shù)的增加，計(jì)算耗時(shí)呈線性減少趨勢(shì)，采用并行計(jì)算能夠有效降低系泊纜索動(dòng)力求解的耗時(shí)。下一步將集成系泊纜索與浮體動(dòng)力耦合分析程序，在此基礎(chǔ)上開展系泊纜索并行計(jì)算下系泊浮體動(dòng)力耦合算法計(jì)算效率研究，以便進(jìn)一步提高計(jì)算效率。