安徽省六安市霍山縣下符橋鎮(zhèn)地稅希望小學(xué) 吳緒益

【問(wèn)題背景】

【歸因探索】

分?jǐn)?shù)的意義的理解是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，當(dāng)然，北師大教材循序漸進(jìn)的編排旨在對(duì)難點(diǎn)的分散，如在《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》中，學(xué)生已經(jīng)結(jié)合情景和直觀操作，經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過(guò)程，初步理解了分?jǐn)?shù)的意義；《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)》又從多角度進(jìn)一步抽象分?jǐn)?shù)的意義。然而即便如此，在教學(xué)中也給我們的一線老師帶來(lái)了很大的困擾，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中最大的思維障礙是對(duì)“量”與“率”的理解。上例就能充分說(shuō)明如果對(duì)“量”與“率”認(rèn)知混淆，將會(huì)給解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題帶來(lái)極大的困難。自然數(shù)是人類對(duì)自然界的第一次抽象，分?jǐn)?shù)與自然數(shù)都是數(shù)，但是分?jǐn)?shù)是“分出來(lái)的數(shù)”，其含義包括：量的含義是分?jǐn)?shù)單位的累積，率表達(dá)的是量與量之間比的關(guān)系。而分?jǐn)?shù)“率”的理解是第二次抽象。因?qū)W生的抽象思維層面沒有達(dá)到一定的高度，致使認(rèn)識(shí)不清，產(chǎn)生錯(cuò)誤。

【對(duì)策探尋】

對(duì)量與率的深度認(rèn)知不充分是二者混亂的根本原因，因而只有從理解二者的含義的角度出發(fā)才是教學(xué)的起點(diǎn)。率的含義：表達(dá)的是兩個(gè)量之間的關(guān)系，如大豆占了這塊地的，表示把這塊地作為“單位1”，并將其平均分成4份，而大豆的面積占其中的1份。同理可知將這塊地重新平均分成2份，棉花的面積占了其中的1份，即，所以這里的和表達(dá)的是棉花、大豆面積與這塊土地面積之間比的關(guān)系。顯然，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)表示的是“率”的含義。而公頃表示的是具體數(shù)量，“量（liàng）”來(lái)自測(cè)量（liáng），測(cè)量需要工具，而這里的測(cè)量工具是將1公頃平均分成8份，其中的1份，即公頃作為度量單位，經(jīng)過(guò)測(cè)量，這塊土地是7個(gè) 公頃的累積，即公頃，表示具體土地面積的大小，也就是具體的數(shù)量?；谏鲜稣J(rèn)知，現(xiàn)采取以下環(huán)節(jié)幫助孩子們理解。

一、直觀認(rèn)識(shí)，明晰關(guān)系

通過(guò)直觀示意圖，讓學(xué)生感受具體量與分?jǐn)?shù)“率”的區(qū)別，實(shí)現(xiàn)對(duì)二者概念的深度理解。

（1）引導(dǎo)觀察 公頃表示的是具體土地面積的大小，它比1公頃要小一些。

（2）大豆面積是將整塊地平均分成4份，而大豆面積占了其中的1份。棉花面積是將整塊地平均分成2份，而棉花面積占了其中的1份。（用不同的顏色進(jìn)行區(qū)分）

（3）對(duì)接問(wèn)題：種玉米的面積占這塊地的幾分之幾？這個(gè)問(wèn)題關(guān)注的是種玉米的土地占整塊土地的份數(shù)，問(wèn)的是二者之間的關(guān)系，表達(dá)的是“率”，所以本題的正確解答是：

（4）將算式與上面的直觀圖進(jìn)行對(duì)接，感受其合理性。

二、對(duì)比練習(xí)，深化認(rèn)知

（1）請(qǐng)根據(jù)下面兩題的題干信息，連接合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考，這兩個(gè)問(wèn)題有什么不同？

題A：所有分?jǐn)?shù)都有單位，表示的是具體的數(shù)量，問(wèn)題是面積的大小。

題B：所有分?jǐn)?shù)沒有單位，表示的是整體與部分的關(guān)系，跟這塊地的大小沒有關(guān)系。

由此看來(lái)，分?jǐn)?shù)有兩個(gè)現(xiàn)實(shí)背景：“量”的含義以一個(gè)事物的量為基準(zhǔn)，對(duì)另一個(gè)事物的量進(jìn)行度量，此時(shí)用分?jǐn)?shù)表達(dá)度量的結(jié)果，本質(zhì)上就是商的含義?！奥省钡暮x則是比較的結(jié)果，表達(dá)是比例關(guān)系。與被分對(duì)象的大小、形狀無(wú)關(guān)，從而得到分?jǐn)?shù)是一種無(wú)量綱的數(shù)，本質(zhì)上是比的含義。只有將二者從本源上區(qū)分開，“量”與“率”的較量才會(huì)休止，否則將始終困擾著孩子們的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)。