高鋒陽，喬 垚，杜 強，強國棟

(1.蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅交達工程檢測有限公司，甘肅 蘭州 730070)

高速鐵路牽引負荷因行車密度、線路行駛環(huán)境等因素顯示出較強的隨機性，為有效評估高速鐵路牽引負荷接入后對電網(wǎng)各節(jié)點電壓以及接入點電能質(zhì)量的影響，建立概率模型是一種行之有效的方法。主要思路為：測取較長時間段內(nèi)的牽引負荷數(shù)據(jù)，并將其以概率密度曲線的形式進行表示，進而構建牽引負荷的概率模型描述牽引負荷的隨機性和波動性。文獻[1-2]即通過這種思路，使用對數(shù)正態(tài)分布、貝塔分布對測得的牽引負荷饋線電流數(shù)據(jù)進行擬合。文獻[3-4]在已經(jīng)獲得饋線電流樣本的基礎上，將諧波電流處理為各次諧波幅值和相角相互獨立的二維隨機變量。為了利用概率潮流算法掌握系統(tǒng)宏觀信息，需以牽引變電所為主體構建功率模型。文獻[5]從列車運行圖的角度出發(fā)，使用概率統(tǒng)計原理分析使用概率分布描述牽引變電所功率需求的合理性。在此基礎上，利用單列動車組有功功率需求的概率分布和行車密度的概率分布聯(lián)合對牽引變電所有功功率進行概率建模，并通過功率因數(shù)特性對機車進行適當分類，建立牽引變電所無功功率概率模型。為提升概率模型的實用性，還應對參數(shù)辨識算法進行研究。文獻[6]提出使用蟻群算法進行尋優(yōu)，并設計網(wǎng)格劃分策略使該算法適用于連續(xù)域?qū)?yōu)問題，在建立目標函數(shù)方面利用實測數(shù)據(jù)概率密度函數(shù)的取值與通過蒙特卡洛模擬所得結果的差值建立算法尋優(yōu)模型。相比于蟻群算法，粒子群算法更加適用于連續(xù)域參數(shù)的尋優(yōu)問題，圍繞粒子群算法的改進方法多集中在改進權重系數(shù)迭代方法以及粒子的發(fā)散行為上[7-8]。

為評估網(wǎng)絡中各種隨機因素對電力系統(tǒng)的影響，文獻[9]提出使用概率潮流算法PLF(Probabilistic Load Flow)將系統(tǒng)中的不確定性進行量化，以概率統(tǒng)計的形式進行表示。目前常用的概率潮流算法主要有模擬法、解析法以及近似法。其中，模擬法的操作過程最為簡便，但只有在大規(guī)模抽樣時，其精度才能得到保證。文獻[10]提出基于拉丁超立方算法的蒙特卡洛潮流算法，該方法主要包括采樣和排序兩個步驟。其中采樣環(huán)節(jié)實現(xiàn)在樣本區(qū)間均勻采集計算樣本；排序步驟則利用了Gram-Schmidt序列正交化方法降低輸入變量之間的相關性，以保證計算結果的正確性。但實際系統(tǒng)中并不能保證負荷節(jié)點輸入隨機變量相互獨立，有時還會呈現(xiàn)出較強的相關性，這就需要對輸入隨機變量的控制方法進行研究。文獻[11-12]從這個角度出發(fā)，提出一種基于Nataf逆變化的概率潮流算法，該方法不僅能夠有效控制輸入變量之間的相關性，而且在相同精度下，相比于隨機采樣的蒙特卡洛方法具有耗時少等優(yōu)點。然而該方法要求隨機變量具備明確的概率密度表達式，因此并不適用于牽引變電所概率模型。文獻[13]通過智能算法構建相應的目標函數(shù)值來控制輸入變量的相關性，為樣本相關性控制提供了新的思路，但其僅僅是從降低輸入變量相關性的角度出發(fā)。

綜上所述，通過構建牽引變電所概率負荷模型，并使用非線性遞減慣性權重與混沌優(yōu)化相結合的粒子群算法對該模型進行參數(shù)辨識。同時，針對牽引負荷之間的相關性控制問題提出一種基于模擬退火算法的相關性控制算法，通過仿真模擬對比在不同相關性條件下牽引負荷接入后系統(tǒng)的運行狀態(tài)。

1 牽引變電所概率負荷模型及參數(shù)辨識算法

1.1 牽引變電所概率負荷模型

牽引變電所負荷是指在其供電范圍內(nèi)運行的各類機車共同汲取的有功功率或無功功率。相比于常規(guī)負荷，牽引負荷具有沖擊性和強隨機性。本節(jié)通過概率統(tǒng)計方式建立牽引負荷有功、無功功率的概率模型。

從列車運行圖的角度分析可以得出，運行圖的制定即行車區(qū)段列車數(shù)量可以看作眾多運行方案中的一次抽樣事件，即在一定時間內(nèi)在所研究區(qū)間內(nèi)的行車數(shù)量服從二項分布，記作B(n，p)，可以表示為

(1)

(2)

式中：Ai為單車有功功率；B為確定時段牽引變電站供電區(qū)段內(nèi)的機車數(shù)量。當Ai和B均服從正態(tài)分布時，總的有功功率即用單車功率的和來表示。因此，牽引負荷的概率模型共有4個待辨識的參數(shù)：有功功率的期望值μp和標準差σp以及機車數(shù)量的期望μn和標準差σn。不管使用何種算法辨識模型參數(shù)，都會在參數(shù)搜索區(qū)間內(nèi)模擬生成數(shù)據(jù)。具體步驟如下：

步驟1首先確定行車密度所服從正態(tài)分布的參數(shù)μn、σn。

步驟3生成列車數(shù)量數(shù)據(jù)，仿真時間設定為12 h，抽樣間隔時間為10 s。

步驟4每取到一個列車數(shù)量樣本均按照均勻抽樣抽取服從式(2)中概率分布的列車功率樣本數(shù)據(jù)，將其求和作為所取列車數(shù)量樣本下的功率樣本，完成一次抽樣。

步驟5以列車數(shù)量樣本為控制算法進程，重復步驟2～步驟4，直至完成概率分布抽樣。

1.2 參數(shù)辨識算法

粒子群算法在電力系統(tǒng)優(yōu)化領域中已經(jīng)得到了廣泛應用。粒子的速度向量和位置向量更新規(guī)則為

(3)

Xk+1=Xk+Vk+1

(4)

式中：ω為慣性權重，其取值大小決定著粒子當前的運動狀態(tài)能否輕易改變，當ω值較大時，粒子將具有大范圍尋優(yōu)能力，反之則可以提升在小范圍內(nèi)尋優(yōu)的精確性；c1和c2為粒子速度迭代過程中的加速因子；r1和r2均為0～1間的隨機數(shù)；Pi為當次迭代過程每個粒子自身的最優(yōu)值；Pg為所有參與優(yōu)化的粒子中的最優(yōu)值。由于本文所用牽引負荷概率模型共有4個待辨識參數(shù)。式(3)、式(4)中Xi、Vi均為4維向量，其中Xi中每個元素均代表待辨識參數(shù)的取值；Vi中每個元素代表對應Xi中的元素該次迭代過程中的移動距離。

為了使算法在尋優(yōu)前期能夠較大范圍地進行搜索，同時避免在算法后期陷入局部最優(yōu)解，首先引入非線性遞減慣性權重，即根據(jù)迭代次數(shù)更新權重系數(shù)。

ωk+1=ωfirst-(ωfirst-ωlast)(k/Tmax)2

(5)

其次，在算法初始化控制變量和迭代后期引入混沌算法，進一步提升算法的尋優(yōu)能力，相應的混沌優(yōu)化規(guī)則可以參考文獻[7]。

算法的適應度函數(shù)將利用模擬所得數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)對應概率密度曲線之間的差值進行定義，即

(6)

式中：Δx為擬合點橫坐標xi之間的間隔；Li為使用蒙特卡洛模擬所得的數(shù)據(jù)落在區(qū)間[xi-Δx，xi+Δx]內(nèi)的樣本數(shù)量；LΣ為模擬數(shù)據(jù)的總量；yi為所選實測牽引負荷有功概率密度曲線上擬合值的縱坐標；I為x軸區(qū)間總數(shù)。統(tǒng)計多個功率區(qū)間內(nèi)模擬數(shù)據(jù)整體的概率密度值，并與實測功率數(shù)據(jù)對應的yi值進行比較。

2 考慮相關性的隨機潮流算法

2.1 基于LHS采樣的隨機潮流算法

基于LHS采樣的蒙特卡洛模擬算法，其核心思想是以較低的采樣規(guī)模對輸出變量進行估計。抽樣方法包括中值拉丁超立方、隨機序列拉丁超立方等；排序方法即相關性控制方法則主要有Cholesky分解、Gram-Schmidt算法以及使用智能算法進行排序的方法。設有K維獨立隨機變量時X=[X1X2…XK]是待求問題中的K個輸入隨機變量，其中Xk(k=1，2，…，K)的累積分布函數(shù)為F(Xk)。即Yk=F(Xk)。將Yk進行N等分，并選擇每個區(qū)間的中點作為Yk采樣值，并由上式累積概率分布函數(shù)的反函數(shù)求得Xk采樣值，即

(7)

采用牽引負荷概率模型式(2)，由于設定行車密度和單車功率均服從正態(tài)分布，且該模型不具備明確的概率密度函數(shù)，現(xiàn)對該模型進行分層抽樣，具體采樣步驟如下：

步驟1機車數(shù)量的抽樣：由式(1)求得機車數(shù)量并取整得到樣本陣Xn。

步驟2從矩陣Xn第1個元素開始抽取其與具體數(shù)值相等的功率樣本，并按照式(2)功率疊加的原理將所取功率樣本求和作為有功功率樣本值之一。

步驟3將Xn中剩余元素均按照步驟2求得功率樣本矩陣Yn。

2.2 改進的負荷相關性控制算法

基于Nataf變換的相關性控制方法進行Cholesky分解時要求其相關系數(shù)矩陣為正定陣，且受控隨機變量需具有明確的概率密度函數(shù)表達式，但牽引負荷的概率模型式(2)并不具備這一點。因此，針對牽引負荷提出相應的樣本相關性控制方法十分必要。

借鑒文獻[13]的思路，提出一種改進模擬退火算法和拉丁超立方抽樣的相關性控制方法SALHS(Simulation Annealing-Latin Hypercube Sampling)。

模擬退火算法在搜索過程引入Metropolis準則，即系統(tǒng)狀態(tài)在初始狀態(tài)xold受到擾動而變?yōu)閤new時，所定義的系統(tǒng)能量值E隨即由E(xold)變?yōu)镋(xnew)，并以一定的概率P接受比當前系統(tǒng)能量更高的狀態(tài)。P可定義為

(8)

式中：T為迭代求解過程中的“系統(tǒng)溫度”。通過LHS采樣技術得到從小到大順序排列的樣本數(shù)據(jù)。因此，初始系統(tǒng)能量值較高，通過算法迭代降低系統(tǒng)能量值至預設值即可控制樣本之間的相關性。改進的相關性控制算法的核心是在得到牽引負荷樣本數(shù)據(jù)后，在初始牽引負荷樣本矩陣引入擾動，以降低整個系統(tǒng)能量值，并由系統(tǒng)的整體“能量”狀態(tài)判斷樣本矩陣的相關性是否得到控制。但是，隨著控制變量數(shù)目增多，僅用相關系數(shù)矩陣的均方根值作為“系統(tǒng)能量”值已經(jīng)不能滿足算法尋優(yōu)的要求。定義“系統(tǒng)能量”E(x)，包含相關系數(shù)矩陣的均方根值ρrms和其與目標相關系數(shù)矩陣對應元素的差值之和兩部分，即

(9)

步驟1初始化：確定初始溫度T；通過LHS采樣獲得牽引負荷的初始樣本矩陣X；確定整個系統(tǒng)在“等溫狀態(tài)”下的迭代次數(shù)L。

步驟2“等溫狀態(tài)”下的粗調(diào)節(jié)：在樣本位置可變化范圍內(nèi)任意生成兩個隨機數(shù)代表樣本矩陣對應行xold的位置，并交換其對應位置得到xnew；按照式(9)計算E(xnew)，當E(xnew)

步驟3“等溫狀態(tài)”下的細調(diào)節(jié)：此時系統(tǒng)“能量值”已與設定的評價函數(shù)值較為接近，舍棄Metropolis準則，按照式(10)決定是否接受此次擾動得到的新解。

(10)

步驟4若滿足算法終止條件則輸出當前解作為最優(yōu)解，并轉(zhuǎn)向步驟6，否則轉(zhuǎn)向步驟5。

步驟5逐漸減小T，轉(zhuǎn)步驟2。

步驟6滿足外部循環(huán)結束條件，輸出經(jīng)過排序后的樣本矩陣。

依照上述步驟所得牽引負荷樣本矩陣后即可將其投入概率潮流計算。

3 算例分析

3.1 參數(shù)辨識結果及改進算法性能分析

圖1為改進PSO算法與基本PSO算法的對比圖。從圖1可以看出，改進后的粒子群算法能夠以更快的收斂速度完成迭代，且最終解優(yōu)于普通粒子群算法，證明所提改進方法能夠提升算法效率。圖2為參數(shù)辨識結果模擬的牽引負荷數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)之間的對比，可以看出，算法辨識結果對實測數(shù)據(jù)的概率密度曲線擬合良好，進一步驗證了基于改進參數(shù)辨識算法的有效性。表1為通過算法得到的兩組模型參數(shù)。

圖1 兩種算法的適應度函數(shù)取值曲線

圖2 參數(shù)辨識結果

牽引負荷μp/MWσpμnσn節(jié)點103.231.343.120.53節(jié)點124.211.254.100.76

3.2 改進的相關性控制算法結果分析

為了方便檢驗樣本矩陣行之間的相關性程度，引入相關性系數(shù)矩陣均方根為

(11)

式中：n為矩陣的階數(shù)。

圖3給出了當ρrms分別取值為0.9、0.5、0.1時，由3.1節(jié)所得兩組牽引負荷數(shù)據(jù)的相關性控制結果。

(a)ρrms=0.9粗調(diào)節(jié) (b)ρrms=0.9細調(diào)節(jié)

(c)ρrms=0.5粗調(diào)節(jié) (d)ρrms=0.5細調(diào)節(jié)

(e)ρrms=0.1粗調(diào)節(jié) (f)ρrms=0.1細調(diào)節(jié)圖3 牽引負荷相關性控制結果

由圖3可知，所用的SALHS算法可有效控制牽引負荷樣本之間的相關性，該算法計算速度較快，需要的迭代次數(shù)較少，3種相關性條件下經(jīng)細調(diào)節(jié)后的“系統(tǒng)能量值”均達到了目標均方根系數(shù)值，控制精度較高。

3.3 牽引負荷接入對系統(tǒng)的影響

在IEEE14節(jié)點測試系統(tǒng)中分析牽引負荷接入前后對系統(tǒng)節(jié)點電壓的影響。節(jié)點1為平衡節(jié)點，其余電源節(jié)點均視為PV節(jié)點。系統(tǒng)容量基準值為100 MV·A。在節(jié)點10與節(jié)點12處接入牽引負荷模擬數(shù)據(jù)，假設剩余的普通負荷節(jié)點均服從正態(tài)分布，發(fā)電機出力均按照二項分布進行采樣，其輸出功率對應概率為

(12)

式中：P為發(fā)電機組非故障概率；Sn為發(fā)電機組額定出力。所接兩組牽引負荷各參數(shù)見表1。

統(tǒng)計圖4中各節(jié)點電壓的概率信息，本文設定參考電壓區(qū)間為[0.95，1.05]。圖4(a)、4(b)分別為牽引負荷接入前后節(jié)點4電壓的概率密度曲線和累積概率分布曲線?？梢钥闯?，牽引負荷接入后，在曲線整體高度相近的情況下向右側(cè)偏移。節(jié)點4、10在牽引負荷接入后的電壓總體越限概率分別從7.2%、17.8%上升至16.1%、41.4%；節(jié)點12電壓越限概率為4.28%，較之未接入前的6.5%有所下降，主要是因為牽引負荷未接入前，節(jié)點12的電壓波動區(qū)間越過下限的部分較多，即概率密度曲線整體仍有向橫坐標的右側(cè)移動的趨勢，減小了電壓波動范圍越過下限的部分。

(a)節(jié)點4概率密度 (b)節(jié)點4累積概率分布

(c)節(jié)點10概率密度 (d)節(jié)點10累積概率分布

(e)節(jié)點12概率密度 (f)節(jié)點12累積概率分布圖4 牽引負荷接前后計算結果

3.4 計及負荷相關性對系統(tǒng)的影響分析

在IEEE 30標準測試系統(tǒng)中計及牽引負荷和普通負荷之間的相關性。將系統(tǒng)內(nèi)部按照節(jié)點3～15、節(jié)點16～20、節(jié)點21～30劃分為3個負荷區(qū)域分別控制各負荷節(jié)點之間的相關性，并在節(jié)點16、17處接入牽引負荷，牽引負荷參數(shù)見表1。圖5給出了保持負荷節(jié)點相關性不變時，牽引負荷相關系數(shù)分別取0.1、0.5和0.9時的節(jié)點電壓概率密度曲線對比圖。

首先統(tǒng)計各負荷節(jié)點的電壓越限概率信息：節(jié)點12的整體越限概率值較低，3種情況下節(jié)點電壓越限平均值僅為20%。隨著相關系數(shù)均方根由0.1變化至0.9，節(jié)點12電壓總體越限概率由19.4%上升至21%；當ρrms=0.5時，電壓波動區(qū)間越過上限的概率為0.4%。其次，遠離牽引負荷接入點的節(jié)點28電壓波動區(qū)間受不同相關性的牽引負荷影響也較小，3種情況下越限概率的最大相對變化率僅為3%，可見牽引負荷之間相關性對系統(tǒng)的影響與其接入位置有著密不可分的聯(lián)系。圖6給出了當保持牽引負荷相關性不變，依次改變普通負荷節(jié)點18～20的相關系數(shù)所得電壓概率密度曲線。

(a)節(jié)點16概率密度 (b)節(jié)點17概率密度

(c)節(jié)點18概率密度 (d)節(jié)點19概率密度

(e)節(jié)點20概率密度 (f)節(jié)點12概率密度圖5 考慮牽引荷相關性的概率潮流結果

(a)節(jié)點16概率密度 (b)節(jié)點17概率密度

(c)節(jié)點18概率密度 (d)節(jié)點19概率密度

(e)節(jié)點20概率密度 (f)節(jié)點28概率密度圖6 考慮普通負荷相關性的概率潮流結果

結合圖6可以得出與前文相似的結論：牽引負荷接入?yún)^(qū)域附近的節(jié)點16～20電壓越限概率遠大于距離該區(qū)域較遠的負荷節(jié)點。而考慮普通負荷之間相關性時，節(jié)點12以及節(jié)點28的電壓越限概率較之考慮牽引負荷之間相關性時在ρrms=0.1和ρrms=0.5兩種情況下的越限概率較小。以節(jié)點12為例，當ρrms=0.1時，前者所得結果為17%，后者則為19.4%；當ρrms=0.5時，前者所得結果為19.4%，后者則為19.8%。對比圖5及圖6可以看出，無論是考慮牽引負荷還是普通負荷之間的相關性，不同相關系數(shù)對牽引負荷接入的節(jié)點16、17的影響更加明顯。區(qū)別之處在于，考慮普通負荷相關性時因不同相關系數(shù)導致牽引負荷接入節(jié)點的電壓越限概率的變化率較小：節(jié)點16在考慮牽引負荷相關性時在不同相關系數(shù)下的越限概率分別為50.8%、48.2%、59.8%，這一數(shù)據(jù)在考慮負荷相關性時則變?yōu)?9.2%、50.8%以及50.2%，即考慮牽引負荷之間相關性時對系統(tǒng)節(jié)點電壓越限概率影響更大。

圖7給出了計及牽引負荷相關性時支路12～16以及支路16～17潮流累積概率分布對比圖。

(a)支路12～16有功功率

(b)支路16～17有功功率圖7 不同相關性條件下支路有功功率

模擬結果表明，不同的相關系數(shù)會影響所選支路的有功功率及無功功率，而且圖7顯示出當支路功率對應的累積概率較大時更容易受到相關系數(shù)的影響。

4 結論

(1)針對概率模型參數(shù)辨識問題，提出一種非線性遞減慣性權重和混沌優(yōu)化相結合的粒子群算法，該算法收斂性能以及最終的尋優(yōu)結果均優(yōu)于普通粒子群算法。

(2)針對輸入變量相關性控制問題提出一種基于模擬退火算法的LHS采樣方法(SALHS)，該方法可控制多個輸入變量的相關性。相比于基于Nataf逆變換的相關性控制方法更為方便，且有效解決了使用傳統(tǒng)方法無法控制不具備顯式概率密度函數(shù)的概率模型的相關性控制問題。

(3)兩個算例的仿真模擬結果表現(xiàn)為：距離牽引負荷接入點較近的系統(tǒng)節(jié)點電壓受到牽引負荷接入的影響更大；計及牽引負荷樣本之間的相關性對節(jié)點電壓越限概率、支路功率影響較為明顯。

利用本文所獲概率信息可以指導整個系統(tǒng)進行概率潮流優(yōu)化，具有一定的應用前景。