畢明凱，何世偉，黎浩東，殷瑋川，景 云

(北京交通大學 城市交通復雜系統(tǒng)理論與技術教育部重點實驗室，北京 100044)

市郊鐵路一般是指站間距在1～5 km，運行速度在120 km/h及以上，主要服務于城市郊區(qū)化和同城化發(fā)展趨勢的、具有公交化和通勤化特征的軌道交通線路，屬于城市軌道交通的一種形式[1]。市郊鐵路主要服務于通勤和旅游客流，是支撐都市圈、城市帶發(fā)展的基礎，也是疏解城市功能、促進區(qū)域合作互動的重要手段，必將推動城市一體化發(fā)展，如京津冀一體化等。

作為市內(nèi)交通方式的有效延伸，乘客服務水平成為市郊鐵路運營組織中不可忽視的因素。制定合理有效的市郊鐵路停站方案，對滿足通勤族和旅客出行需求、提高服務水平有很大意義。同時，不同停站方案對小時通過能力的影響與列車運行速度、停站次數(shù)、停站時間以及運行方式等因素有關[2]。因此，采用快慢車搭配方式制定市郊鐵路停站方案是目前較普遍的方法。以日本東京至成田機場[3]為例，具體見表1。

表1 日本京成線6種快慢車組合運營模式

在停站方案研究方面，國內(nèi)外學者開展了深入研究。文獻[4]考慮成本最小，構(gòu)建了跨站停站方案的線性整數(shù)優(yōu)化模型并求解。文獻[5]以乘客出行等待時間最小為目標，基于客流OD和時間窗，構(gòu)建了列車停站方案的非線性整數(shù)優(yōu)化模型并求解。文獻[6]基于節(jié)點服務頻率構(gòu)建了高速鐵路列車停站方案優(yōu)化模型并求解。文獻[7]研究分析了旅客出行需求變化和列車消耗費用對運營效率的影響。文獻[8]以最小列車牽引能耗和最短旅行時間為優(yōu)化目標，建立了停站方案優(yōu)化模型，發(fā)現(xiàn)中間站停站次數(shù)最多為3次。文獻[9]構(gòu)建了旅客列車停站設置方案優(yōu)化雙層規(guī)劃模型，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后列車平均停靠3.68站。文獻[10]建立了基于列車停站率的高速鐵路旅客列車停站方案優(yōu)化模型，并設計啟發(fā)式算法求解。

相較于鐵路干線客運，市郊鐵路客流量較小但日波動性大，開行的列車對數(shù)和班次較少，停站距離較大，未按公交特點組織，且沒有形成市郊客運網(wǎng)絡[11]。而已有的研究主要以國鐵為研究對象，以列車服務頻率和站點上下車總量作為乘客出行需求進行研究，缺乏對實際客流OD的研究，使得市郊鐵路照搬其停站方案時與實際偏差較大，不具有實用性。為提高優(yōu)化結(jié)果的實用性，借鑒相關研究理論，結(jié)合市郊鐵路客流OD波動大的特點，本文將客流OD看作隨機變量，構(gòu)建包含隨機機會約束的市郊鐵路停站方案優(yōu)化模型，并將隨機機會和非線性約束等價變換為確定的線性約束，采用ILOG CPLEX軟件[12]進行求解。

1 市郊鐵路客流特點分析

旅客根據(jù)出行需要，按照自己的支付能力，選擇一定的運輸方式，并在一定時間和空間范圍內(nèi)做有目的的移動，便形成客流[13]。

相較于國鐵客流，市郊鐵路客流多樣性水平較低，主要分為兩部分：一是通勤客流；二是往返郊區(qū)旅游景點的游客。市郊鐵路客流性質(zhì)決定了其需求具有時空不均衡性。從時間上看，市郊鐵路客流呈現(xiàn)工作日和非工作日差距明顯。以北京S2線2016年周客流情況為例，相較于正常工作日日均發(fā)送旅客969人，周末日均發(fā)送旅客1 755人，增加81.12%；法定假日日均發(fā)送旅客2 382人，增加145.88%。

以工作日和非工作日為例，S2線為滿足客流需求，采取分時段列車開行方案，包含基本開行方案和臨時開行方案兩部分，如圖1所示。由于工作日以通勤客流為主，而非工作日雖通勤客流減少，但增添了大量的旅游客流，因此工作日增開4對列車，而非工作日需增開7對列車。

圖1 北京S2線2016年列車開行情況

從空間上看，市郊鐵路客流呈現(xiàn)區(qū)間客流密度不均衡、客流集中度過高等特點。同樣以北京S2線為例，受主要旅游景點吸引，清華園—清河、南口—八達嶺、八達嶺—延慶等區(qū)段上下行客流分布密集。另外，從2016年的售票情況看，北京北—八達嶺區(qū)段下行客流占79.7%，上行客流占77.9%，其余區(qū)段客流量極少。

客流量和流向既是基于個人旅行活動的需要而自然形成的，又受一系列社會因素的影響，其波動性較大。因此，基于市郊鐵路客流特性，確定適應客流波動的市郊列車停站方案對提升運輸服務質(zhì)量和運輸能力具有重要意義。

2 市郊鐵路列車停站方案優(yōu)化模型

2.1 問題描述

鐵路運輸與城市軌道交通分別屬于中國鐵路總公司和城市交通管理部門的管轄范圍，然而，市郊鐵路作為城市軌道交通的延伸，卻一直按照鐵路相關經(jīng)驗與模式來服務市郊客流，使其發(fā)展長期處于一種“兩不管”的境地，尤其在列車開行組織方面。針對客流量波動(即高峰與非高峰時期)，市郊鐵路照搬國鐵春運和非春運時期經(jīng)驗，采取的分時段列車停站方案如圖1所示。但從停站方案穩(wěn)定性和長遠性來看，國鐵變動較小而市郊鐵路停站方案卻平均每季度均會發(fā)生變動，例如北京S2線被人們形象地稱為“難以捉摸的小火車”。這主要是由于相較鐵路干線客運，市郊鐵路主要服務于市郊客流，日波動性和季節(jié)波動性遠大得多，導致分時段停站方案在執(zhí)行中暴露出很多問題。例如一周內(nèi)非高峰時期列車上座率不足、線路能力浪費，高峰時期運力供不應求、乘客服務水平和舒適度降低，進而造成客流減少的不良后果，如圖2所示。因此，結(jié)合市郊鐵路客流分析，在工作日和非工作日時段，確定合理的列車停站方案對提高客運服務水平和促進運輸資源合理配置有重要影響。

時間圖2 北京S2線2016年某周客流量

在不確定OD客流的問題上，借鑒隨機機會規(guī)劃的相關理論[14]，考慮機會約束規(guī)劃在階段計劃[15]、集裝箱調(diào)運[16]、選址問題[17]、票額分配[18]等各運輸問題中得到廣泛應用，其研究理論與成果成熟，因此采用隨機機會約束對客流隨機性進行刻畫。

需要說明的是，由于難以度量某一站點乘坐某一列車的實際人數(shù)，此處借鑒文獻[6]的站點服務頻率思想，即對于某個車站，其全天的停站次數(shù)(含始發(fā))不得低于節(jié)點等級對服務頻率的要求。因此，需先進行節(jié)點服務劃分(將車站根據(jù)定性(地理位置、行政地位、交通區(qū)位等)和定量(客流量、GDP、城市人口等)兩個方面的屬性劃分為不同等級的節(jié)點，并根據(jù)不同等級的節(jié)點設計列車服務頻率。然后，根據(jù)車站服務頻率和該站OD客流出行需求確定平均每列車上車乘客數(shù)，為下文構(gòu)建數(shù)學優(yōu)化模型奠定基礎。

2.2 模型假設及相關符號

為簡化模型與計算，基于上文分析后假設決策周期內(nèi)：旅客列車運行區(qū)段和客運站點數(shù)量不變；客運站點工作日和非工作日客流量變化為正態(tài)分布。

設列車站點集合為S，以j，k，l和m為索引；市郊列車集合為N，以i為索引；列車i的定員數(shù)和平均運行速度為Capi和vi；列車i在車站j的平均停站時間為wij；站點j到k的運輸距離和最小服務頻率分別為djk和rjk；站點j到k的客流量Qjk，且Qjk～N(μjk，σjk)，其中μjk和σjk為周期內(nèi)客流量正態(tài)變化的期望值和標準差；列車起停附加時間分別為p和q；乘客出行需求被滿足的置信水平為α。

設xij為0-1決策變量，若列車i在車站j停車，xij=1；若不停車，則xij=0。設yijk為0-1決策變量，若列車i在車站j和車站k均停車，yijk=1；若不停車，則yijk=0。

2.3 模型構(gòu)建

(1)目標函數(shù)。在滿足旅客出行需求的前提下，最大限度縮短乘客旅行時間。從整體效益來看，旅客列車是乘客位移的載體，乘客旅行時間最短可以等價為列車旅行時間和列車停站時間最少，如式(1)所示，主要包括列車旅行時間、列車停站時間wij，起停附加時間p和q。式(1)前半部分為列車總旅行時間，后半部分為列車總停站時間以及因停站產(chǎn)生的起停車附加時間。

(1)

Pr{ujk·rjk≥Qjk}≥α?j，k∈Sk>j

(2)

vijk=ujk·yijk?i∈Nj，k∈Sk>j

(3)

(4)

(3)列車運輸能力約束。列車在?？空緯r，在車乘客數(shù)量會發(fā)生變化，如式(5)所示，即j站上車與通過的乘客數(shù)量之和；但列車在運行期間(或從?？空景l(fā)出后)，其在車乘客量保持固定不變，且不超過其額定載客容量，如式(6)所示。

?i∈Nj∈S

(5)

Pij≤Capi?i∈Nj∈S

(6)

(4)列車直達性約束，即yijk與xij關系約束。根據(jù)yijk和xij兩個決策變量的定義可得約束式(7)。

yijk=xij·xik?i∈Nj，k∈Sk>j

(7)

(5)站點OD客流出行換乘約束，即任一站點乘客可以直接或者通過換乘間接到達所有站點。換乘與停站方案聯(lián)系緊密且相互影響，采取停站方案中任意相鄰兩站間必有列車停站，形成換乘接續(xù)關系以滿足出行需求，避免產(chǎn)生旅客出行迂回現(xiàn)象。

?j∈S

(8)

(6)決策變量約束。

xij={0，1}，yijk={0，1} ?i∈Nj，k∈S

(9)

2.4 隨機機會約束及非線性約束處理

(1)隨機機會約束

對于隨機機會約束的處理，一般是將隨機機會約束通過等價轉(zhuǎn)換為相應的確定性約束。假設客流量呈正態(tài)分布，可將式(2)正態(tài)等價轉(zhuǎn)換。

Pr{ujk·rjk≥Qjk}=1-F(ujk·rjk)=

(10)

式中：F(x)為概率分布函數(shù)；Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)。將式(10)中標準正態(tài)分布函數(shù)取反函數(shù)并展開有

?j，k∈Sk>j

(11)

式(11)為確定性約束，且與式(2)等價，從而得到市郊列車停站方案確定型優(yōu)化模型(M1)：目標函數(shù)為式(1)，約束為式(3)～式(9)和式(11)。

(2)非線性約束式

式(3)和式(7)為非線性約束，需要對非線性約束進行等價轉(zhuǎn)換。對于式(3)，若yijk=1，即vijk=ujk；若yijk=0，則vijk=0。設一個足夠大的正整數(shù)M，可得

0≤vijk≤ujk?i∈Nj，k∈Sk>j

(12)

vijk≤M·yijk?i∈Nj，k∈Sk>j

(13)

vijk≥ujk-M·(1-yijk)

?i∈Nj，k∈Sk>j

(14)

同理，可將式(7)等價轉(zhuǎn)化為

yijk≤xij?i∈Nj，k∈Sk>j

(15)

yijk≤xik?i∈Nj，k∈Sk>j

(16)

yijk≥xij+xik-1 ?i∈Nj，k∈Sk>j

(17)

得到市郊鐵路停站方案確定型線性優(yōu)化模型(M2)，包括目標函數(shù)式(1)，約束式(4)～式(6)、式(8)、式(9)和式(11)～式(17)。

3 算例分析

以某市的一條主要用于通勤和旅游的市郊鐵路線為例，如圖3所示?，F(xiàn)有9個站點，開行運營速度為120和160 km/h兩種市郊客運產(chǎn)品10列，站點和列車屬性見表2～表4。其中表2的數(shù)據(jù)為某一周各日客流量處理后的OD數(shù)據(jù)。列車的起停車附加時間分別為1和2 min。

圖3 市郊線路示意圖

站點12345678910(155,10)/1(285,15)/2(105,5)/10(222,10)/1(97,5)/1(121,10)/1(27,5)/12—0(313,10)/2(83,10)/1(130,13)/1(90,5)/1(197,20)/1(80,10)/1(40,10)/13——0(350,20)/2(65,5)/10(86,10)/1(312,15)/204———0(188,5)/10(220,15)/10(69,10)/15————0(153,20)/1(188,10)/1(322,20)/2(45,10)/16—————0(155,5)/1(239,10)/107——————0(160,15)/1(126,15)/18———————0(255,20)/29————————0

表3 不同運營速度客運產(chǎn)品的載客量和開行數(shù)量

表4 不同運用速度客運產(chǎn)品的停站時間

結(jié)合以上數(shù)據(jù)，取客流量的置信水平α為0.90進行計算，查表知Φ(0.90)=1.281 5，按式(11)計算得到表5。

表5 站點間隨機機會客流OD矩陣 人

將以上數(shù)據(jù)代入M2中，并運用ILOG CPLEX軟件進行求解，結(jié)果見表6。

表6 算法求解結(jié)果

優(yōu)化停站方案中，共用5列客運列車完成滿足運輸需求，運行總耗時為413.75 min。將5列車的停站優(yōu)化方案繪制成停站圖，如圖4所示，圖4中列車1、2和3為運營速度160 km/h的旅客列車，列車4和5為運營速度120 km/h的旅客列車。

圖4 快慢車搭配開行模式停站方案優(yōu)化圖

由圖4可知，列車平均停站3.8站，平均跨行2.6站。為更好地凸顯快慢搭配開行模式對優(yōu)化市郊鐵路停站方案、減少乘客出行總時間的顯著作用，在保證所有OD客流出行需求滿足的前提下，分別計算只開行運營速度120 km/h客運產(chǎn)品和增大開行運營速度160 km/h客運產(chǎn)品比例兩種情況下的市郊鐵路停站方案，并進行對比分析，以驗證模型和算法的有效性。

(1)單一開行運營速度120 km/h客運產(chǎn)品

在約束條件不變情況下，將客運產(chǎn)品全部設為運營速度120 km/h的旅客列車，運用CPLEX軟件求得：需開行7列運營速度120 km/h的旅客列車，運行總耗時為500.50 min，具體停站方案如表7和圖5所示。

表7 單一開行運營速度120 km/h客運產(chǎn)品的停站優(yōu)化方案

圖5 單一開行運營速度120 km/h客運產(chǎn)品的停站方案優(yōu)化圖

單一開行運營速度120 km/h客運產(chǎn)品平均停站3.5站，平均跨行2.8站。相比快慢車搭配開行模式，總運行時間增加86.75 min，說明適當開行運營速度160 km/h客運產(chǎn)品對減少旅客列車運行耗時效果明顯，減少約17%。因此，在單一開行運營速度120 km/h客運產(chǎn)品的基礎上，適當開行運營速度160 km/h客運產(chǎn)品是提高市郊鐵路服務水平和乘客舒適度的重要手段之一。

(2)運營速度160 km/h客運產(chǎn)品的開行比例為0.6

在約束條件不變情況下，提高運營速度160 km/h客運產(chǎn)品開行比例至0.6，即將10列旅客列車的品類設為6列運營速度160 km/h和4列運營速度120 km/h旅客列車，運用CPLEX軟件計算求得：僅開行6列運營速度160 km/h列車即可完成全部運輸任務。具體停站方案如表8和圖6所示。

表8 運營速度160 km/h客運產(chǎn)品的開行比例為0.6時停站優(yōu)化方案

圖6 運營速度160 km/h客運產(chǎn)品的開行比例為0.6時停站方案優(yōu)化圖

圖6停站方案中運行總耗時為387.13 min，平均停站3.8站，平均跨行2.2站。相比快慢車搭配開行模式和單一開行運營速度120 km/h客運產(chǎn)品，總運行時間分別降低26.63和113.38 min，降低比例達29%，達到了優(yōu)化效果。

隨著運營速度160 km/h列車開行數(shù)量增加，乘客出行時間大幅度下降，提高了市郊鐵路服務水平；同時，對3種停站方案的列車平均停站數(shù)量、平均跨站數(shù)量以及對線路能力的利用情況進行匯總，見表9。其中，線路能力利用情況以平均區(qū)段列車數(shù)量表示。

表9 客運產(chǎn)品不同開行比例下停站方案指標對比

由于運營速度160 km/h客運產(chǎn)品載客量小于120 km/h列車，使得運營速度160 km/h列車在停站數(shù)量方面略大于120 km/h列車，但平均停站比例相差僅在5%以內(nèi)，同時跨站數(shù)量也僅相差0.2站，說明快慢車搭配開行模式有利于提高列車直達率，提升服務水平和乘客舒適度，擴大運輸市場占比。

另外，基于OD客流優(yōu)化分析市郊鐵路停站方案，快慢車搭配開行模式中各區(qū)段平均減少開行約1.35列，降低了區(qū)段線路能力占用，對節(jié)約線路能力有一定的積極作用。同時，結(jié)合圖4可以發(fā)現(xiàn)，算例中站點1和8接發(fā)車數(shù)量較大，需要布設足夠的到發(fā)線以滿足需求；站點2、3、4、5和6間線路單向開行4列旅客列車，為相對繁忙區(qū)段，可以考慮建設復線和電氣化建設等，為車站和線路等基礎配套設施的建設也提供相應的參考。

4 結(jié)束語

在我國國民經(jīng)濟和社會發(fā)展第十三個五年規(guī)劃綱要中，市郊鐵路將是城市交通發(fā)展的重點之一，也是城市化進程中必不可少的環(huán)節(jié)。作為一種重要的城市軌道交通客運產(chǎn)品，滿足乘客出行需求是市郊鐵路不變的核心任務。采取快慢車搭配形式，借鑒隨機規(guī)劃理論對市郊鐵路停站方案進行優(yōu)化，構(gòu)建基于站點OD客流的包含機會約束的市郊鐵路停站方案優(yōu)化模型。設計算例得到：優(yōu)化后的停站方案中列車平均停站3.8站，平均跨站2.6站，乘客出行總耗時為413.75 min。相較于僅開行運營速度120 km/h客運產(chǎn)品的情況，提高運營速度160 km/h客運產(chǎn)品開行比例，目標函數(shù)值減少27.00 min(約6%)，總運行時間分別降低26.63和113.38 min，降低比例達29%，達到了優(yōu)化效果，有效降低了乘客總出行時間，驗證了模型和算法有效性，提升了市郊鐵路乘客出行服務水平。另外，優(yōu)化后的停站方案平均各區(qū)段減少開行1.35列列車，降低了線路能力占用，對站點和線路基礎設施布設和開行方案制定提供了參考。