呂騰，呂躍勇，李傳江，郭延寧

哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001

隨著反導(dǎo)技術(shù)的快速發(fā)展，面對敵方目標(biāo)配備的密集導(dǎo)彈防御系統(tǒng)，單一導(dǎo)彈突防變得愈發(fā)困難，而多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)借助通信系統(tǒng)將多枚導(dǎo)彈構(gòu)成一個作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)，通過信息共享實(shí)現(xiàn)配合與協(xié)作，共同完成打擊任務(wù)，這極大提高了導(dǎo)彈的突防概率[1-3]。作為多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的關(guān)鍵技術(shù)之一，多導(dǎo)彈的協(xié)同制導(dǎo)技術(shù)具有重要的實(shí)用價值，特別是在時間協(xié)同、空間協(xié)同和有限時間內(nèi)協(xié)同這3個方面具有重要的研究意義。

時間協(xié)同通常指的是多導(dǎo)彈通過彈間通信，相互協(xié)調(diào)各自相對目標(biāo)的距離和速度，以使得各枚導(dǎo)彈到目標(biāo)的打擊時刻趨于一致。時間協(xié)同可以實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈對目標(biāo)的飽和攻擊，有利于導(dǎo)彈突破敵方密集反導(dǎo)系統(tǒng)，提高導(dǎo)彈作戰(zhàn)效能。目前，時間協(xié)同制導(dǎo)律的國內(nèi)外研究成果較多，但基本未同時考慮空間協(xié)同問題。傳統(tǒng)的帶視線角約束的時間協(xié)同制導(dǎo)律[4-8]雖然可使多導(dǎo)彈從期望的視線方向同時擊中目標(biāo)，但它的視線角約束項(xiàng)是針對各枚導(dǎo)彈單獨(dú)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，無法進(jìn)行空間協(xié)同，且還需要在導(dǎo)彈發(fā)射前為各枚導(dǎo)彈設(shè)定合理的期望視線角。

空間協(xié)同通常指的是多導(dǎo)彈通過彈間通信，相互協(xié)調(diào)各自到目標(biāo)的視線，從而使得多導(dǎo)彈從期望的視線相對方向?qū)δ繕?biāo)進(jìn)行打擊。現(xiàn)有的大多數(shù)協(xié)同制導(dǎo)方法是關(guān)于時間協(xié)同的研究成果，但多導(dǎo)彈的協(xié)同攻擊策略絕不僅僅局限于時間上的協(xié)同，還可以在空間上實(shí)現(xiàn)協(xié)同以提高攻擊效率[1]?？臻g協(xié)同的研究意義在于：① 使彈群能夠散開飛行，避免多導(dǎo)彈的相互碰撞；② 可使得多導(dǎo)彈從多個方向進(jìn)行攻擊，從而分散目標(biāo)近程防御武器系統(tǒng)的火力；③ 可使得多導(dǎo)彈對目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同探測，進(jìn)而提高探測精度；④ 相比于傳統(tǒng)的帶視線角約束的制導(dǎo)律，帶空間協(xié)同的制導(dǎo)律所需的總控制能量更小[9-10]。綜上所述，空間協(xié)同可以顯著增強(qiáng)導(dǎo)彈的突防能力，提高導(dǎo)彈的命中概率和作戰(zhàn)效能。目前，國內(nèi)外針對空間協(xié)同的制導(dǎo)律研究成果較少。文獻(xiàn)[9-10]針對平面內(nèi)的目標(biāo)基于最優(yōu)控制設(shè)計(jì)了一種制導(dǎo)律，雖然可以實(shí)現(xiàn)空間協(xié)同，但其不是在有限時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)的，且未考慮時間協(xié)同問題。

導(dǎo)彈的打擊時刻需要在擊中目標(biāo)前達(dá)到一致，相對視線角也需要在擊中目標(biāo)前收斂到期望值。由于有限時間制導(dǎo)律具有響應(yīng)速度快和魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，因而需要設(shè)計(jì)有限時間內(nèi)協(xié)同的制導(dǎo)律，以保證上述兩個性能指標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。傳統(tǒng)的時間協(xié)同制導(dǎo)律往往只能使得多導(dǎo)彈的打擊時刻漸近而非有限時間內(nèi)達(dá)到一致[5-6,11-12]，有限時間內(nèi)的時間協(xié)同制導(dǎo)律國內(nèi)外研究成果比較有限[7-8,13-14]，而有限時間內(nèi)的空間協(xié)同制導(dǎo)律研究成果則更少。文獻(xiàn)[7]在視線方向基于有限時間理論設(shè)計(jì)了一種時間協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[8]在視線方向基于二階多智能體有限時間協(xié)同控制理論設(shè)計(jì)了一種時間協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[13]基于時變比例導(dǎo)引法提出了一種時間協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[14]基于一階多智能體協(xié)同控制理論提出了一種時間協(xié)同制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7-8,13-14]雖能實(shí)現(xiàn)打擊時刻有限時間達(dá)到一致，但未考慮空間協(xié)同問題。

由于同時考慮上述3個方面的協(xié)同制導(dǎo)問題具有重要的研究價值，而目前國內(nèi)外學(xué)者的相關(guān)研究成果相對較少，受文獻(xiàn)[1-22]啟發(fā)，本文對其進(jìn)行研究。首先，在視線方向設(shè)計(jì)了分布式時間協(xié)同制導(dǎo)律，可在有限時間內(nèi)使多導(dǎo)彈打擊時刻達(dá)到一致，并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性證明。然后，在視線法向設(shè)計(jì)了分布式空間協(xié)同制導(dǎo)律，可在有限時間內(nèi)使多導(dǎo)彈的相對視線角收斂于期望值，并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性證明。最后，通過仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的協(xié)同制導(dǎo)律可使多導(dǎo)彈從期望的視線相對方向同時擊中目標(biāo)。

現(xiàn)對本文所提方法的主要創(chuàng)新之處進(jìn)行概述。首先，與文獻(xiàn)[4-14]相比，本文所提方法同時考慮了上述空間協(xié)同和有限時間內(nèi)協(xié)同這2個 方面的問題，可以滿足新的作戰(zhàn)需求。其次，與文獻(xiàn)[13,17-18]中的集中式通信方式相比，本文采用的是分布式通信方式，使得每枚導(dǎo)彈只需知道其相鄰導(dǎo)彈的信息，從而降低了對彈間通信距離的要求。最后，與文獻(xiàn)[4,12]相比，本文采用了無領(lǐng)彈拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，避免了有領(lǐng)彈拓?fù)渌龅降膯吸c(diǎn)失效問題，即使彈群中部分導(dǎo)彈被擊毀，只要剩余導(dǎo)彈通信拓?fù)淙匀皇菬o向且連通的，則其相對視線角依然可以收斂到期望值，打擊時刻依然可以達(dá)到一致，因而有效提高了彈群的作戰(zhàn)效能。

1 協(xié)同制導(dǎo)模型

為了便于研究，本文采用運(yùn)動學(xué)分析方法并基于以下假設(shè)[19]：

假設(shè)1導(dǎo)彈和目標(biāo)均視為二維平面內(nèi)質(zhì)點(diǎn)。

假設(shè)2導(dǎo)彈的導(dǎo)引頭和自動駕駛儀動力學(xué)與制導(dǎo)回路相比響應(yīng)足夠快。

針對多導(dǎo)彈在平面內(nèi)從期望的彈目視線相對方向同時打擊固定目標(biāo)問題，給出導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運(yùn)動幾何關(guān)系如圖1所示，其中Mi和Target分別代表第i枚導(dǎo)彈和目標(biāo)，ri為Mi與Target之間的相對距離，qi為Mi到Target的視線角，vmi、θmi、amyi和amxi分別為Mi的速度、彈道角、法向加速度和切向加速度，i=1,2,…,n，n為導(dǎo)彈總枚數(shù)。

由圖1得到Mi與Target的相對運(yùn)動方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

將式(1)和式(2)分別對時間進(jìn)行求導(dǎo)，并與式(3)和式(4)相結(jié)合可得

(5)

圖1 多導(dǎo)彈與目標(biāo)攔截幾何示意圖Fig.1 Geometry of multiple missile-target engagement

(6)

式中：uri和uqi分別為Mi加速度在視線方向和視線法向上的分量。

導(dǎo)彈Mi的打擊時刻tfi可表示為

tfi=tgoi+t

(7)

式中：tgoi為Mi的剩余飛行時間。

由式(7)可得

tfi-tfj=tgoi-tgoj

(8)

由式(8)可知，如果能控制多導(dǎo)彈的tgoi達(dá)到一致，就可使其tfi達(dá)到一致，從而實(shí)現(xiàn)同時擊中目標(biāo)。tgoi由式(9)估計(jì)可得

(9)

(10)

來使得在有限時間內(nèi)所有導(dǎo)彈的tgoi達(dá)到一致，ri逐漸減小，最終實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的飽和攻擊。

選擇視線角最小的導(dǎo)彈作為M1，定義Mi與M1的彈目視線間的夾角(即相對視線角)為γi，則有

γi=qi-q1

(11)

γi與其期望值γid間的誤差為

γie=γi-γid

(12)

式中：γ1d=0，γ2d，γ3d,…,γnd∈(0,π]。為防止導(dǎo)彈間相互碰撞，γid均不能相等。

(13)

來使導(dǎo)彈能以期望的相對視線角擊中目標(biāo)。

將式(11)代入式(12)可得

γie=qi-γid-q1

(14)

由式(13)和式(14)可知，若能控制

(15)

則式(13)即可成立。因此，可令

(16)

由于γ1d=0，由式(16)可得x31=q1，則由式(10)、式(15)和式(16)可知，本文視線方向和視線法向的制導(dǎo)律uri和uqi的設(shè)計(jì)目標(biāo)可分別轉(zhuǎn)化為

(17)

(18)

因此，由式(5)～式(6)和式(16)～式(18)可得，帶空間協(xié)同的多導(dǎo)彈時間協(xié)同制導(dǎo)模型為

(19)

多導(dǎo)彈相互間的通信拓?fù)潢P(guān)系可由無向圖G(A)=(v,ξ,A)來描述，其中v為描述節(jié)點(diǎn)組成的集合，ξ代表節(jié)點(diǎn)之間的連線，矩陣A=[aij]∈Rn×n為權(quán)系數(shù)矩陣，若導(dǎo)彈i和導(dǎo)彈j之間能夠進(jìn)行信息交換，則aij=1，否則aij=0，特別的aii=0，i∈{1,2,…,n}。由于G(A)是無向圖，因而有aij=aji。如果G(A)中任意兩個節(jié)點(diǎn)間都存在至少一條通路，則整個圖是連通的。定義多導(dǎo)彈間無向圖G(A)對應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L=[lij]∈Rn×n，矩陣的元素為

(20)

定義1[20]對n維系統(tǒng)

(21)

fi(εδ1x1,εδ2x2,…,εδnxn)=εκ+δifi(x)

i=1,2,…,n

(22)

如果f(x)是齊次的，則系統(tǒng)(21)稱作齊次系統(tǒng)。

引理1[21]設(shè)系統(tǒng)(21)是齊次系統(tǒng)且齊次度為κ，函數(shù)f(x)是連續(xù)的，如果系統(tǒng)(21)是漸近穩(wěn)定的且κ<0，則系統(tǒng)(21)是有限時間穩(wěn)定的。

2 協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 視線方向制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本節(jié)針對視線方向制導(dǎo)律uri進(jìn)行設(shè)計(jì)。

由式(19)可得Mi視線方向協(xié)同制導(dǎo)模型為

(23)

針對式(17)所示制導(dǎo)律設(shè)計(jì)目標(biāo)和式(23)所示的制導(dǎo)模型，下面以定理1方式給出視線方向協(xié)同制導(dǎo)律及其穩(wěn)定性證明。

定理1針對系統(tǒng)(23)，如果通信拓?fù)鋱DG(A)無向且連通，則設(shè)計(jì)如式(24)所示的視線方向分布式協(xié)同制導(dǎo)律，可在有限時間內(nèi)使得系統(tǒng)狀態(tài)x1i達(dá)到一致且逐漸減小到0，并使得x2i達(dá)到一致。

(24)

式中：k1r>0，k2r>0，0<αr<1。

證明將式(24)代入式(23)可得

(25)

選取Lyapunov函數(shù)如下:

(26)

將式(26)對時間求導(dǎo)可得

(27)

(28)

由于G(A)始終是無向圖，因而aij=aji，故由式(25)可知對任意t≥0，都有

(29)

(30)

由式(30)可得

(31)

由式(31)進(jìn)而可得

(32)

(33)

因此，可定義

(34)

由式(33)～式(34)可得

(35)

由式(34)可知，系統(tǒng)(25)可轉(zhuǎn)化成如下形式

(36)

(37)

(38)

由式(37)和式(38)可得

(39)

可令δi=2，則由式(39)可解得系統(tǒng)齊次度κr=αr-1，因此系統(tǒng)為一個齊次系統(tǒng)，由于0<αr<1，故κr<0。因此由引理1和式(35)可得

(40)

將式(34)代入式(40)可得

(41)

由式(41)可知

(42)

(43)

由式(43)可知，t≥Tr時有

(44)

因而將式(43)代入式(44)可得

(45)

(46)

由式(42)和式(46)可知，定理1中的協(xié)同制導(dǎo)律可在有限時間內(nèi)，使得系統(tǒng)狀態(tài)x1i達(dá)到一致且逐漸減小到0，并使得x2i達(dá)到一致，定理1證畢。

注2定理1中uri的第1項(xiàng)為系統(tǒng)非線性補(bǔ)償項(xiàng)，第2項(xiàng)為剩余飛行時間協(xié)同項(xiàng)。第1項(xiàng)可以使得補(bǔ)償后的系統(tǒng)為一個2階多智能體系統(tǒng)，進(jìn)而可采用2階多智能體協(xié)同控制理論對第2項(xiàng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，第2項(xiàng)用于在有限時間內(nèi)使得系統(tǒng)狀態(tài)x1i達(dá)到一致且逐漸減小到0，并使得x2i達(dá)到一致。

2.2 視線法向制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

協(xié)同制導(dǎo)律由其在視線法向分量uqi和視線方向分量uri組成，本節(jié)針對視線法向uqi進(jìn)行設(shè)計(jì)。

由式(19)可得Mi視線法向制導(dǎo)模型為

(47)

針對式(18)所示制導(dǎo)律設(shè)計(jì)目標(biāo)和式(47)所示的制導(dǎo)模型，接下來以定理2的方式給出視線法向制導(dǎo)律及其穩(wěn)定性證明。

定理2針對系統(tǒng)(47)，如果通信拓?fù)鋱DG(A)無向且連通，則設(shè)計(jì)如式(48)所示的視線法向分布式協(xié)同制導(dǎo)律，可在有限時間內(nèi)使系統(tǒng)狀態(tài)x3i達(dá)到一致且x4i收斂到0。

(48)

式中：k1q>0，k2q>0，0<αq<1。

證明將式(48)代入式(47)可得

(49)

選取Lyapunov函數(shù)如下：

(50)

將式(50)對時間求導(dǎo)可得

(51)

(52)

由式(52)可得

(53)

進(jìn)而由式(53)可知

(54)

(55)

因此，可定義

(56)

由式(55)和式(56)可得

(57)

由式(57)可知，系統(tǒng)(49)可轉(zhuǎn)化成如下形式

(58)

注3定理2中uqi的第1項(xiàng)用于補(bǔ)償系統(tǒng)非線性項(xiàng)，第2項(xiàng)為空間協(xié)同項(xiàng)。第1項(xiàng)可以使得補(bǔ)償后的系統(tǒng)為一個2階多智能體系統(tǒng)，進(jìn)而可采用2階多智能體協(xié)同控制理論對第2項(xiàng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，第2項(xiàng)用于在有限時間內(nèi)使導(dǎo)彈的x3i達(dá)到一致且x4i收斂到0。

3 仿真分析

為驗(yàn)證本文所提出的協(xié)同制導(dǎo)律的有效性，下面以4枚巡航導(dǎo)彈在地平面內(nèi)同時攻擊一個固定目標(biāo)的情形為例，分2種工況進(jìn)行仿真。工況1采用本文所提方法，工況2采用文獻(xiàn)[8]中的方法，然后將2種工況仿真結(jié)果進(jìn)行對比，以體現(xiàn)本文方法的優(yōu)勢。各導(dǎo)彈與目標(biāo)間的初始距離均在13 km以內(nèi)，均在導(dǎo)彈彈載雷達(dá)的最大探測范圍之內(nèi)。仿真步長取為定步長5 ms，固定目標(biāo)的位置為(8 200,0) m，導(dǎo)彈初始條件如表1所 示。

工況14枚導(dǎo)彈均采用本文所提的協(xié)同制導(dǎo)方法進(jìn)行導(dǎo)引。

表1 4枚導(dǎo)彈初始條件Table 1 Initial conditions of four missiles

視線方向制導(dǎo)律參數(shù)取為k1r=5，k2r=5，αr=0.5，視線法向制導(dǎo)律參數(shù)取為k1q=2，k2q=3，αq=0.95，i=1,2,3,4。

圖2 4枚導(dǎo)彈間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 Communication topology of four missiles

快速減小并收斂到0，uqi的幅值為30g，由于一般導(dǎo)彈可用過載可達(dá)到幾十個g以內(nèi)[12-13]，因而其在工程中具有一定的可實(shí)現(xiàn)性。

4枚導(dǎo)彈的脫靶量、打擊時刻和相對視線角誤差由表2給出?？梢?，它們的脫靶量均在1.420 m以內(nèi)，打擊時刻均達(dá)到一致，相對視線角誤差均保持在6×10-6(°)范圍之內(nèi)，滿足對脫靶量小于2 m，打擊時刻最大偏差小于0.1 s，相對視線角誤差小于0.1°的要求。

由圖3和表2的仿真結(jié)果可知，本文方法可以使得多導(dǎo)彈從期望的相對視線方向同時擊中目標(biāo)，且過載在可用過載之內(nèi)，因而具有一定的有效性。

工況24枚導(dǎo)彈均采用文獻(xiàn)[8]中的方法進(jìn)行導(dǎo)引。

由以上仿真結(jié)果可知，本文方法中相關(guān)量的收斂時間更短，所需過載更小。另外，由于本文方法飛行時間更長，因而如果按照收斂時間所占總飛行時間的比值進(jìn)行對比的話，本文算法收斂時間短的優(yōu)勢將更加明顯。

表2 協(xié)同制導(dǎo)仿真結(jié)果(工況1)

圖3 協(xié)同制導(dǎo)仿真曲線(工況1)Fig.3 Simulation curves of cooperative guidance (Case 1)

圖4 協(xié)同制導(dǎo)仿真曲線(工況2)Fig.4 Simulation curves of cooperative guidance (Case 2)

4枚導(dǎo)彈的脫靶量、打擊時刻和相對視線角誤差由表3給出。對比表3和表2的仿真結(jié)果可以看出，雖然表3打擊時刻也能達(dá)到一致，但此時其最大脫靶量為2.22 m，而在表2中為1.416 m，表2比表3小了0.804 m；表3最大相對視線角誤差為6×10-5(°)，而在表2中為6×10-6(°)，表2是表3中的1/10。

表3 協(xié)同制導(dǎo)仿真結(jié)果(工況2)

綜上所述，相較于文獻(xiàn)[8]，本文所提方法不僅可使得所有導(dǎo)彈都能擊中目標(biāo)，而且脫靶量更??；不僅可使其打擊時刻更快達(dá)到一致，且所需視線方向過載更??；不僅可使其相對視線角誤差更快收斂到0，且所需視線法向過載更小。因此，本文方法具有一定的優(yōu)勢和有效性。

4 結(jié) 論

1) 針對多導(dǎo)彈以期望的相對視線角協(xié)同打擊固定目標(biāo)問題，設(shè)計(jì)了一種帶空間協(xié)同的時間協(xié)同制導(dǎo)律。

2) 該制導(dǎo)律可在有限時間內(nèi)使所有導(dǎo)彈的打擊時刻達(dá)到一致且相對視線角收斂到期望值。

未來將結(jié)合期望相對視線角可行域分析和視線角測量存在噪聲等問題設(shè)計(jì)協(xié)同制導(dǎo)律。