谷紅明 黃永清 王歡歡 武剛 段曉峰 劉凱 任曉敏

(北京郵電大學(xué),信息光子學(xué)與光通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100876)

(2018年1月10日收到;2018年3月21日收到修改稿)

應(yīng)用波動(dòng)光學(xué)理論,分析了一種新型錐頂柱狀光學(xué)微腔的本征模式,得到了諧振腔的諧振波長(zhǎng)表達(dá)式.在諧振波長(zhǎng)1550 nm附近進(jìn)行了設(shè)計(jì)與仿真優(yōu)化,優(yōu)化結(jié)果顯示新型諧振腔與傳統(tǒng)平行腔相比,在腔長(zhǎng)為4512.5 nm,直徑為3134.4 nm時(shí),其品質(zhì)因數(shù)可以提高22.4%,達(dá)到了49928.5,同時(shí)諧振腔的有效模式體積減小了47.8%.

1 引 言

隨著激光技術(shù)的不斷發(fā)展,高品質(zhì)因數(shù)(Q)光學(xué)微腔受到了廣泛關(guān)注,其應(yīng)用不僅適用于傳統(tǒng)光學(xué)領(lǐng)域,在量子信息和集成光電子芯片方面更是有著廣闊的應(yīng)用前景[1].單光子源是量子通信系統(tǒng)中的關(guān)鍵性器件,其可以通過(guò)量子點(diǎn)與光學(xué)微腔強(qiáng)耦合的方式得到.高Q值與小模式體積光學(xué)微腔的Purcell效應(yīng)因子[2]較大,可以實(shí)現(xiàn)量子點(diǎn)與光學(xué)微腔的強(qiáng)耦合.

光學(xué)微腔結(jié)構(gòu)多種多樣,法布里-珀羅(F-P)型微腔是光學(xué)微腔的一種,其由兩個(gè)平行放置的高反射鏡組成,結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單,在光學(xué)濾波器[3]、諧振腔增強(qiáng)型(RCE)光探測(cè)器等[4]光電子器件中已經(jīng)得到了較為廣泛的應(yīng)用.柱狀F-P型微腔有著較小的模式體積,可以應(yīng)用于電抽運(yùn)單光子發(fā)射[5].1999年,Yamamoto研究組的Kim等[6]采用柱狀F-P型微腔,在溫度50 mK下,首先實(shí)現(xiàn)了GaAs/AlGaAs量子阱三明治結(jié)構(gòu)的單光子發(fā)射.近年來(lái),國(guó)內(nèi)在單光子發(fā)射方面也取得了較大進(jìn)展.2013年,陸朝陽(yáng)等[7]利用頂部5周期與底部24周期分布布拉格反射鏡(DBR)結(jié)構(gòu)的柱狀微腔,提高了共振熒光的收集效率,實(shí)現(xiàn)了近似不可區(qū)分全同單光子源,其測(cè)量得到光子的相似度為0.97.為了提高F-P型柱狀微腔的Q值,科研人員進(jìn)行了深入研究.2005年,Forchel研究組L?ffler等[8]在960 nm附近諧振波長(zhǎng)處,實(shí)現(xiàn)了直徑為4μm,Q值高達(dá)27700的微柱.2007年,Strauf等[9]采用預(yù)插入鋁氧化物層的方法,對(duì)大尺寸DBR諧振腔進(jìn)行挖孔,利用該孔洞對(duì)DBR中光場(chǎng)的限制,減少了普通柱狀微腔表面的散射損耗,從而形成了高Q值(Q=50000)的微腔.與微盤諧振腔[10?12]類似,在F-P型柱狀微腔中引入回音壁模式(WGMs)也可以增加柱狀光學(xué)微腔的Q值,2012年,Albert等[13]采用直徑為4.5μm,品質(zhì)因數(shù)為40000的柱狀微腔實(shí)現(xiàn)了量子點(diǎn)激光器WGMs的定向激射.

本文設(shè)計(jì)了一種新型非平行的錐頂柱狀光學(xué)微腔,其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是諧振腔頂部為錐面反射鏡,底部為平面反射鏡,頂部反射鏡與底部反射鏡之間構(gòu)成腔體.理論分析表明,這種結(jié)構(gòu)的光學(xué)諧振腔能夠產(chǎn)生穩(wěn)定的振蕩,且能將光場(chǎng)有效地控制在腔內(nèi)較窄的區(qū)域從而增加諧振腔的Q值并減小諧振腔的模式體積.本文分析了此種新型諧振腔的本征模式,采用COMSOL軟件對(duì)腔體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了仿真,仿真結(jié)果顯示此種諧振腔與同等尺寸的F-P型微腔相比具有較高的Q值與較小的模式體積.

2 錐頂柱狀諧振腔結(jié)構(gòu)與基本原理

2.1 錐頂柱狀諧振腔結(jié)構(gòu)

圖1為新型錐頂柱狀諧振腔結(jié)構(gòu)示意圖及其軸線剖面圖,由圖1可見(jiàn),新型諧振腔底鏡是高反平面鏡,記為M1;頂鏡為高反錐面鏡,記為M2;圓錐底角為α;腔長(zhǎng)為H;腔內(nèi)填充介質(zhì)的折射率為n1;腔外介質(zhì)的折射率為n2.

圖1 (a)新型諧振腔結(jié)構(gòu)示意圖和(b)軸線剖面圖Fig.1.(a)Schematic of a new asymmetric resonator structure and(b)resonator axial section.

2.2 錐頂柱狀諧振腔諧振的基本原理

圖2為新型諧振腔內(nèi)光線傳播示意圖,圖中A點(diǎn)處垂直于底部反射鏡的入射光線經(jīng)路徑AB—BC—CD—DE(紅色箭頭所示),在頂部反射鏡與底部反射鏡各發(fā)生兩次反射之后,再經(jīng)ED—DC—CB—BA到達(dá)A點(diǎn);類似地,任選一條由底部入射的光線(藍(lán)色實(shí)線)在頂部反射鏡的左側(cè)和右側(cè)各反射一次之后,垂直入射到底部反射鏡,再由原路返回至初始位置,容易證明藍(lán)色和紅色實(shí)線所示的光束在折射率為n1的腔體中往返的總路程L0是相等的,均為L(zhǎng)0=8H cos2α.因此,由反射鏡M1與M2構(gòu)成的腔體可以形成穩(wěn)定的諧振.紅色虛線所示為光線在頂部反射鏡左側(cè)和右側(cè)各有一個(gè)交點(diǎn)的極限情況.經(jīng)幾何證明,線段可取得的最大值為2H sin(2α),此時(shí)A′點(diǎn)與E點(diǎn)重合于O點(diǎn),令其為圓柱底面的半徑,即b=2H sin(2α).

圖2 諧振腔內(nèi)光線傳播示意圖Fig.2.Schematic of light propagation in the resonant cavity.

3 理論分析

圖1(a)所示的新型錐頂柱狀諧振腔由圖1(b)的剖面圖沿軸線旋轉(zhuǎn)得到,因此其諧振的場(chǎng)分布等特征與二維平面下的情況相類似.

在二維平面內(nèi)諧振腔的偏振模式可以分為兩類TE模與TM模,TE模(H波)非零向量為Ey,Hx和Hz,TM模(E波)非零向量為Hy,Ex和Ez.假定腔內(nèi)填充各向同性的理想介質(zhì),其折射率為n1,諧振腔外圍介質(zhì)折射率為n2.將TE模(TM模)的電場(chǎng)(磁場(chǎng))Ey(Hy)用Fy(x,z)表示,則光場(chǎng)的波動(dòng)方程為

式中k0為真空中的傳播常數(shù).將諧振腔中折疊傳播的光線展開(kāi),可以發(fā)現(xiàn)這種諧振腔可以等效為一個(gè)變形的介質(zhì)矩形腔,其條寬為2b,等效腔長(zhǎng)為L(zhǎng)=L0/2.新型諧振腔的模式特征可以通過(guò)分析等效后的介質(zhì)矩形諧振腔來(lái)得到.

介質(zhì)矩形諧振腔即在介質(zhì)波導(dǎo)的兩端分別添加高反射率的反射鏡,則在自然坐標(biāo)系下沿光線傳輸方向的模場(chǎng)分布的一般形式為

式中km與βl分別為橫向和縱向的傳播常數(shù),且有

其橫向可以看作對(duì)稱的平板波導(dǎo),其模式的本征值方程為

式中m為等效介質(zhì)腔的橫模數(shù),φ12為邊界的全反射位相角,大小為[14]

縱模方向主要受到高反射率鏡的限制,可以得到縱模的本征值方程為

式中l(wèi)為等效介質(zhì)腔的縱模數(shù);2φ為光線往返一周經(jīng)過(guò)反射鏡時(shí)總的反射相位角.設(shè)反射鏡M1,M2反射相移為φj(θ),(j=1,2),其中θ為入射光線與反射鏡的夾角.則總反射相位角大小為

由(3)式、(4)式與(6)式可得諧振腔的諧振波長(zhǎng)為

式中2b為諧振腔的寬度4Hsin(2α);L為等效介質(zhì)腔的長(zhǎng)度4Hcos2(α).

由(8)式可以看出,諧振腔的二維剖面下諧振波長(zhǎng)表達(dá)式的形式與理想介質(zhì)矩形腔的形式相同,因此新型錐頂柱狀諧振腔可以等效為一個(gè)半徑為b,腔長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓柱形諧振腔.其諧振波長(zhǎng)為

式中

其中μmn為m階貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的第n個(gè)根,νmn為m階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)根.

4 計(jì)算仿真

4.1 仿真結(jié)構(gòu)參數(shù)

仿真時(shí)高反鏡M1,M2采用DBR,反射率譜譜寬約為1μm,中心波長(zhǎng)為λ0=1550 nm,其由4對(duì)Si/SiO2材料薄膜[15,16]構(gòu)成,折射率分別為3.47與1.47,各單層膜的光學(xué)厚度分別為λ0/4.腔內(nèi)的填充介質(zhì)為硅,折射率為3.47,即n1=3.47,腔外為空氣,折射率為1,即n2=1.選取諧振腔的橫向與縱向尺寸均在微米量級(jí),此時(shí)橫向界面對(duì)諧振腔有較強(qiáng)的限制作用,因此2φ12=π.沿光傳播方向的反射相移,可以由矩陣光學(xué)的方法來(lái)計(jì)算,令DBR的等效光學(xué)導(dǎo)納γ=a(θ)+ib(θ),于是當(dāng)襯底的光學(xué)導(dǎo)納為實(shí)數(shù),即襯底對(duì)入射光無(wú)吸收時(shí),DBR反射鏡的M1,M2的反射相移[17]為

式中η0為斜入射時(shí)入射介質(zhì)的光學(xué)導(dǎo)納.對(duì)于λ0/4無(wú)吸收材料的光學(xué)薄膜,波長(zhǎng)λ0處的等效導(dǎo)納為實(shí)數(shù),由(10)式可以計(jì)算出,在波長(zhǎng)λ0處φj(θ)=0.在波長(zhǎng)λ0附近諧振時(shí),可以忽略DBR反射相移的影響,從而(8)式可以簡(jiǎn)化為

因此,要使諧振腔在中心波長(zhǎng)處諧振,則簡(jiǎn)化后的腔長(zhǎng)表達(dá)式為

取m=0,l=80,α =3?,當(dāng)諧振腔在波長(zhǎng)λ0處諧振,即λm,l=λ0時(shí),通過(guò)(12)式可以計(jì)算出腔長(zhǎng)H=4510.9 nm,2b=1886.1 nm.同理,可以計(jì)算出不同傾角α?xí)r,諧振腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所列.

表1 不同傾角下諧振腔的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table1. Structural parameters of resonators with Different angles.

4.2 仿真結(jié)果

4.2.1 寬譜掃描

對(duì)角度為3?的仿真結(jié)構(gòu)進(jìn)行了寬譜掃描,掃描的能量譜如圖3所示.

諧振腔Q值的計(jì)算公式為

式中f0為諧振中心波長(zhǎng);?f為諧振峰的半高全寬(FWHM).通過(guò)(13)式計(jì)算TE偏振下,傾角為3?諧振腔的Q值如表2所列.

圖3 不同入射波長(zhǎng)時(shí)諧振腔的能量譜(α=3?)Fig.3.Energy spectra of resonators with Different incident wavelengths(α =3?).

表2 傾角為3?時(shí),TE偏振光下諧振腔的Q值Table2.Q values of asymmetric resonator under TE polarized light at an angle of 3?.

4.2.2 不同角度α下的掃描

對(duì)于諧振波長(zhǎng)為1550 nm的TE0,80諧振模式,通過(guò)改變頂鏡圓錐底角α (α =2?,3?,4?,5?,6?,7?),探究了頂鏡傾角變化對(duì)諧振腔Q值的影響.圖4為不同圓錐底角下諧振腔TE0,80模的諧振能量譜.圖5為TE0,80諧振模式的Q值隨圓錐底角α變化的折線圖.

圖4 不同圓錐底角下諧振腔TE0,80模的諧振能量譜Fig.4.Resonance energy spectra of TE0,80mode in Different cavity with Different angle.

圖5 TE0,80諧振模式的Q值隨頂鏡圓錐底角的變化Fig.5.Q value of TE0,80mode changes with the cone bottom angle.

4.2.3 有效模式體積與場(chǎng)分布

有效模式體積是微型諧振腔的重要參數(shù)之一.有效模式體積的定義為

式中ε(r)為介電常數(shù);E(r)為腔內(nèi)光場(chǎng)的電場(chǎng)分布.

圖6 傾角5?,諧振波長(zhǎng)1547.781 nm時(shí),諧振腔內(nèi)的電場(chǎng)分布(a)和能量密度分布(b);同尺寸下諧振波長(zhǎng)1549.763 nm時(shí),平行諧振腔內(nèi)的電場(chǎng)分布(c)和能量密度分布(d)Fig.6.Electric field distribution(a)and energy density distribution(b)when inclination angle is 5?and resonance wavelength is 1547.781 nm;electric field distribution(c)and energy density distribution(d)for the same size of the parallel resonant when wavelength is 1549.763 nm.

針對(duì)角度優(yōu)化的結(jié)構(gòu),將傾角為5?時(shí)新型諧振腔的模式體積與相同尺寸矩形腔的作對(duì)比.設(shè)諧振腔的厚度為?d0.對(duì)于填充各項(xiàng)同性介質(zhì)的諧振腔,(14)式可以變形為

圖6展示了傾角為5?與同等尺寸平腔時(shí),腔內(nèi)的電場(chǎng)分布與能量密度分布.

5 討論分析

由圖3可以看出新型諧振腔在短波長(zhǎng)處的自由譜域比長(zhǎng)波長(zhǎng)處的要窄,這主要是由提出的錐頂柱狀微腔為介質(zhì)諧振腔存在頻譜濃縮[18]導(dǎo)致的.對(duì)比表1與圖3中的諧振波長(zhǎng)可以發(fā)現(xiàn),通過(guò)(11)式計(jì)算TE0,80與TM0,80模式處的諧振波長(zhǎng)與仿真的諧振波長(zhǎng)較為符合分別為1550.2 nm和1547.4 nm.而且可以看出TE0,80與TM0,80的諧振波長(zhǎng)并不完全重合,這是由于簡(jiǎn)化后的(11)式未考慮橫向邊界對(duì)偏振的影響而導(dǎo)致的.由于通過(guò)(11)式計(jì)算時(shí)也未考慮DBR色散的影響,因此計(jì)算其他遠(yuǎn)離中心波長(zhǎng)模式的諧振波長(zhǎng)與仿真的諧振波長(zhǎng)有略微的偏差,DBR的色散偏差導(dǎo)致邊模諧振波長(zhǎng)偏移8 nm左右.

圖5為TE0,80諧振模式的Q值隨圓錐底角α變化的折線圖,由圖5可以看出對(duì)于DBR中心波長(zhǎng)1550 nm的諧振腔,在傾角α為5?附近TE0,80諧振模式的Q值取得掃描范圍內(nèi)的最大值.此時(shí)線寬為0.031 nm,通過(guò)(13)式計(jì)算的Q值為49928.5,同尺寸的介質(zhì)矩形腔的線寬為0.038 nm,Q值為40783.2,由此可以看出Q值提高了22.4%.而且,可以看到當(dāng)圓錐底角增大到7?時(shí),主要由于DBR的傾角較大造成其反射率下降[19],從而諧振腔的Q值出現(xiàn)了較大的下降.

圖6為傾角5?的新型諧振腔與同等尺寸平腔腔內(nèi)的電場(chǎng)分布與能量密度分布,對(duì)比圖6(b)與圖6(d)可以定性看出圖6(b)的能量分布較為集中.通過(guò)(15)式計(jì)算可得圖6(b)的模式體積為3.5μm2·?d0,圖6(d)的模式體積為6.7μm2·?d0.也就是說(shuō),傾角為5?的新型諧振腔的模式體積與傳統(tǒng)平腔的模式體積減小了47.8%.

高Q值與小模式體積的微腔在單光子發(fā)射方面有著廣泛的應(yīng)用.另外,在微粒探測(cè)以及生物大分子檢測(cè)等方面,高Q值微腔同樣發(fā)揮著較大的作用.在以往利用動(dòng)態(tài)掩膜濕法腐蝕制作一鏡斜置三鏡腔光探測(cè)器[20,21]的過(guò)程中,曾對(duì)不同角度斜面鏡的制作有著較為深入的研究,因此新型錐頂柱狀光學(xué)微腔在制備方面有著較好的可行性.

6 結(jié) 論

應(yīng)用波動(dòng)光學(xué)理論,分析了錐頂柱狀光學(xué)微腔的本征模式,得到了諧振腔的諧振波長(zhǎng)表達(dá)式.并應(yīng)用COMSOL軟件采用有限元的方法,對(duì)不同傾角DBR反射鏡構(gòu)成的諧振腔結(jié)構(gòu)進(jìn)行了仿真,仿真的諧振波長(zhǎng)與求解出的基本符合.另外,對(duì)諧振腔的傾角進(jìn)行了仿真優(yōu)化,優(yōu)化結(jié)果顯示在掃描范圍內(nèi)對(duì)于諧振腔的TE0,80模式,當(dāng)傾角為5?,即腔長(zhǎng)為4512.5 nm,直徑為3134.4 nm時(shí),諧振腔的品質(zhì)因數(shù)最大,達(dá)到49928.5.最后,將新型諧振腔在5?傾角時(shí)的結(jié)構(gòu)與同等尺寸下平腔進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果顯示新型諧振腔的Q值提高了22.4%,同時(shí)模式體積減小了47.8%.