張建軍，呂海燕，喬松珊

(1.河南農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息與管理科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450002；2.中原工學(xué)院 信息商務(wù)學(xué)院，河南 鄭州 450007)

總體參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷中的一個(gè)常見問題，涉及農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)藥以及人口等諸多方面，基本方法是利用獲取到的樣本觀測數(shù)據(jù)估計(jì)總體未知參數(shù)，一般而言觀測數(shù)據(jù)越多估計(jì)效果越好.然而，由于實(shí)驗(yàn)時(shí)間和經(jīng)費(fèi)等因素制約，人們不可能從大量樣本中獲取所需觀測數(shù)據(jù)，這就對樣本的代表性提出了更高要求.1952年,McIntyre[1]在估計(jì)總體均值時(shí)首次引入一種更高效的抽樣方法——排序集抽樣，隨后，一些學(xué)者在理論上進(jìn)行了補(bǔ)充，證明了該抽樣方法下樣本均值仍然是總體均值的無偏估計(jì)量，并且估計(jì)的均方誤差要比簡單隨機(jī)抽樣更小[2].基于排序集樣本的統(tǒng)計(jì)推斷已經(jīng)有不少結(jié)果，內(nèi)容涉及參數(shù)估計(jì)[3]、非參數(shù)檢驗(yàn)[4]，以及在多個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用[5-7].

輔助信息在提高總體參數(shù)估計(jì)精度方面具有十分重要的作用，對于只有一個(gè)輔助變量的情形，已經(jīng)有一些學(xué)者提出了總體均值的比率、乘積和回歸估計(jì)方法[8-10]以及一些改進(jìn)形式[11].在實(shí)際抽樣調(diào)查中，往往會(huì)存在與研究變量相關(guān)的兩個(gè)甚至多個(gè)輔助變量，這些輔助變量有些和研究變量是正相關(guān)，有些是負(fù)相關(guān)，充分利用這些輔助信息，可以建立多種均值估計(jì)形式[12].我們注意到，現(xiàn)有文獻(xiàn)的抽樣基礎(chǔ)都是簡單隨機(jī)抽樣，并沒有在抽樣設(shè)計(jì)階段考慮估計(jì)量的優(yōu)化問題.文中以排序集抽樣代替隨機(jī)抽樣，基于雙輔助變量建立總體均值比率估計(jì)量，并進(jìn)一步對估計(jì)量進(jìn)行優(yōu)化;通過計(jì)算估計(jì)量的估計(jì)偏差和均方誤差，從理論上比較了兩種抽樣方法下比率估計(jì)的均方誤差.結(jié)果表明,在一定條件下，基于排序集樣本和雙輔助變量的比率估計(jì)可以較好地提高估計(jì)量的精度；最后借助數(shù)值計(jì)算，比較了幾種不同估計(jì)量的估計(jì)效果.

1 隨機(jī)抽樣下總體均值的比率估計(jì)

為了提高估計(jì)精度，文獻(xiàn)[12]通過選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)重，提出了基于雙輔助變量的比率估計(jì)方法：

其中w1+w2=1.估計(jì)量的均方誤差為

2 排序集樣本和雙輔助變量的比率估計(jì)

下面利用排序集樣本代替隨機(jī)抽樣，研究采用雙輔助變量的均值比率估計(jì)方法.排序集抽樣過程可按照如下方式進(jìn)行:首先，從三維總體(Y,X,Z)中一次抽出m2個(gè)體，隨機(jī)劃分為m組；接著依據(jù)輔助變量X對每組個(gè)體進(jìn)行排序，從第i組抽取秩為i的個(gè)體作為觀測樣本，記為(y[i],x(i),z[i]),i=1,2,…,m,其中圓括號表示完美排序，方括號代表有偏差排序.類似過程重復(fù)r次，得到容量為mr的三元排序集樣本，記為

(y[i]j,x(i)j,z[i]j),i=1,2,…,m;j=1,2,…,r.

類似地，當(dāng)兩個(gè)輔助變量的總體均值已知時(shí)，排序集抽樣下變量Y的均值比率估計(jì)量為[8]

其中

分別為排序集抽樣下的樣本均值.

類似文獻(xiàn)[12]的構(gòu)造方法，同時(shí)利用兩個(gè)輔助變量，基于排序集樣本也可以建立雙輔助變量的比率估計(jì)：

另外，輔助變量的變異系數(shù)、相關(guān)系數(shù)和中位數(shù)對估計(jì)精度有一定影響[13-16],故當(dāng)輔助變量的這些參數(shù)已知時(shí)，得到如下估計(jì)量的改進(jìn)形式:

估計(jì)量的精度依賴參數(shù)的選取，參數(shù)的不同取值對應(yīng)不同估計(jì)形式，為了比較這些估計(jì)形式的效率，分4種情況討論：

情形1.a1=a2=1,b1=ρxy,b2=ρzy,其中ρxy,ρzy為相關(guān)系數(shù)，即

情形2.a1=a2=1,b1=mx,b2=mz,其中mx,mz為輔助變量中位數(shù)，即

情形3.a1=cx,a2=cz,b1=ρxy,b2=ρzy,其中cx,cz為輔助變量變異系數(shù)，ρxy,ρzy為相關(guān)系數(shù)，即

情形4.a1=cx,a2=cz,b1=mx,b2=mz,其中cx,cz為輔助變量變異系數(shù)，mx,mz為輔助變量中位數(shù)，即

特別地，當(dāng)a1=a2=1,b1=b2=0時(shí)，估計(jì)量ymbr,rss=ybr,rss，故下文僅討論估計(jì)量ymbr,rss的估計(jì)偏差和均方誤差，其他估計(jì)量類似可得.

3 估計(jì)量的性質(zhì)

估計(jì)的偏差和均方誤差是衡量估計(jì)量精度的重要指標(biāo)，為此首先分析估計(jì)量的估計(jì)偏差和均方誤差計(jì)算方法.

利用文獻(xiàn)[8]中的計(jì)算結(jié)果，排序集抽樣下樣本均值的方差計(jì)算公式如下：

其中σx,σy,σz分別為變量的總體方差.協(xié)方差公式為：

定義如下誤差項(xiàng):

根據(jù)樣本均值的無偏性[17]，得到E(e0)=E(e1)=E(e2)=0，利用樣本均值的方差和協(xié)方差公式容易得到

式中

注意到

其中

所以

假定|λ1e1|<1,|λ2e2|<1,則

在一階泰勒近似下，有

估計(jì)量的偏差為

注意到E(ep)=0,p=0,1,2，代入誤差項(xiàng)可得

根據(jù)定理1的結(jié)論容易看出，選擇適當(dāng)參數(shù)α，估計(jì)量ymbr仍為近似無偏估計(jì).特別地，當(dāng)α=1,a1=1,b1=0時(shí)，此時(shí)λ1=1，得到單輔助變量比率估計(jì)量yr1,rss的偏差計(jì)算公式為

同理，當(dāng)α=0,a2=1,b2=0時(shí)，此時(shí)λ2=1，得到比率估計(jì)量yr2,rss的偏差計(jì)算公式為

定理2當(dāng)|λ1e1|<1,|λ2e2|<1時(shí)，在一階泰勒近似下，估計(jì)量ymbr的近似均方誤差為

證明根據(jù)定理1，在一階泰勒近似下，有

定理2的計(jì)算結(jié)果說明，估計(jì)量的精度與參數(shù)α的選取密切相關(guān)，不同取值得到的偏差和估計(jì)誤差都不相同.為了確定最優(yōu)的參數(shù)值，將估計(jì)量均方誤差表達(dá)式視為參數(shù)α的函數(shù)，根據(jù)公式

得到

此時(shí)估計(jì)量的均方誤差達(dá)到最小.

4 估計(jì)效率比較

一般而言，在相同樣本容量下，估計(jì)量的均方誤差越小，效率越高.以下比較排序集抽樣和簡單隨機(jī)抽樣下利用雙輔助變量比率估計(jì)的均方誤差.

證明在MSE(ybr)計(jì)算結(jié)果中，取w1=α,w2=1-α,cxy=ρxycxcy,czy=ρzyczcy,cxz=ρxzcxcz得到

由于a1=a2=1,b1=b2=0時(shí)，估計(jì)量ybr,rss=ymbr,rss，此時(shí)λ1=λ2=1，根據(jù)定理1的計(jì)算結(jié)果，代入υ00,υ11,υ22,υ01,υ02,υ12的具體表達(dá)式，當(dāng)兩種抽樣樣本容量相同,即n=mr時(shí)，容易看出

由于

5 隨機(jī)模擬

選取三維正態(tài)分布為研究總體，相關(guān)系數(shù)分別為ρxy=0.90,ρyz=0.80,ρxz=0.70，不妨取μX=2,μY=4,μZ=6,σX=σY=σZ=1.首先基于R軟件生成5 000個(gè)三維隨機(jī)數(shù)，設(shè)定隨機(jī)數(shù)種子后，采用隨機(jī)抽樣和排序集抽樣兩種抽樣方法進(jìn)行比較，利用R軟件進(jìn)行100次的統(tǒng)計(jì)模擬.令m=3,4，循環(huán)次數(shù)r=10,15,20，樣本量n=mr，分別計(jì)算估計(jì)量的估計(jì)值和均方誤差，誤差計(jì)算公式為

表1 排序集抽樣和隨機(jī)抽樣下比率估計(jì)比較

表2 排序集抽樣下改進(jìn)估計(jì)量比較

表3 單輔助變量和雙輔助變量的比率估計(jì)比較

6 實(shí)例分析

表4 不同比率估計(jì)的相對效率

計(jì)算結(jié)果說明，不論隨機(jī)抽樣還是排序集抽樣，采用雙輔助變量的比率估計(jì)的估計(jì)效果整體高于單輔助變量；從單輔助變量估計(jì)結(jié)果看出，比率估計(jì)精度和輔助變量與研究變量相關(guān)系數(shù)成正比；基于排序集樣本的改進(jìn)比率估計(jì)量估計(jì)效率明顯優(yōu)于簡單隨機(jī)抽樣下的雙輔助變量比率估計(jì)，說明在抽樣設(shè)計(jì)階段采用新的抽樣方法可以有效提高比率估計(jì)精度.

7 結(jié)束語

在排序集抽樣下利用雙輔助變量構(gòu)造了總體均值的比率估計(jì)方法，比較了兩種抽樣方法下估計(jì)量的均方誤差，最后，利用隨機(jī)模擬和實(shí)際例子進(jìn)行數(shù)值分析.計(jì)算結(jié)果表明，排序集抽樣下利用雙輔助變量的比率估計(jì)在精度上高于隨機(jī)抽樣或者單輔助變量.另外，對于兩個(gè)輔助變量相關(guān)系數(shù)有正有負(fù)的情形，讀者可做進(jìn)一步研究.