丁澤楠

（上海師范大學(xué)附屬中學(xué)，上海）

一、教材解讀

教材由細(xì)節(jié)構(gòu)成，每一個(gè)細(xì)節(jié)都是教材發(fā)展的一個(gè)生長點(diǎn)，我們認(rèn)為這些生長點(diǎn)是解讀教材好的出發(fā)點(diǎn)。尋求合理化、智慧化和精確化的教學(xué)當(dāng)然可以推出精彩的課堂教學(xué)。

1.注意教材的插圖細(xì)節(jié)，分析教材內(nèi)容

細(xì)節(jié)是什么？教材的每一個(gè)插圖都有其內(nèi)涵。一般來說，圖形直觀形象，其通常是在教學(xué)中教材的文字語言往往不能正確形容某種意義或過程的時(shí)候所使用。

2.探究教材本質(zhì)，挖掘教材細(xì)節(jié)

數(shù)學(xué)探究能力在日常的教學(xué)過程中為學(xué)生學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)保障，利用一切可能的機(jī)會(huì)和素材，使學(xué)生的探究能力得到發(fā)展。本文以滬教版高中數(shù)學(xué)教材中“正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為例，通過類比數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系來培養(yǎng)學(xué)生探究能力。本文的教學(xué)內(nèi)容是由教師的問題和指導(dǎo)來決定的，通過學(xué)生對(duì)現(xiàn)有學(xué)習(xí)探究的體會(huì)，學(xué)生會(huì)探究正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并利用探究過程形成學(xué)習(xí)函數(shù)的一般方法。

二、教學(xué)過程

1.激發(fā)學(xué)生原有的認(rèn)知水平，從結(jié)構(gòu)和整體入手

【教學(xué)過程片段之一】

師：我們有同學(xué)類比正弦函數(shù)的定義，定義一個(gè)正切函數(shù)：對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)x都有唯一確定的值tanx與它對(duì)應(yīng)。按照這個(gè)對(duì)應(yīng)法則建立的函數(shù)關(guān)系，表示為y=tanx，叫做正切函數(shù)。請(qǐng)問大家，這個(gè)定義合理嗎？

師：今天，我們就來研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，那么，作函數(shù)圖象的常用方法是什么？

生：描點(diǎn)法。

師：描點(diǎn)法是我們作函數(shù)圖象的最基本方法，還有其他方法嗎？

生：單位圓，借助正切線，類比正弦函數(shù)的方法。

師：大家想，我們?cè)诋媦=cosx圖象時(shí)利用了平移，目前平移也是我們作圖象的方法之一。那么，正切函數(shù)的圖象，你會(huì)選擇哪一個(gè)方法畫？（描點(diǎn)法）因?yàn)樗鼪]有辦法通過我們熟悉的函數(shù)平移來得到。

師展示學(xué)生畫的正切函數(shù)圖象。

師：老師借助單位圓畫出y=tanx的圖象，讓學(xué)生觀看。

【思考】主要是讓學(xué)生體會(huì)研究函數(shù)的一般思想方法（數(shù)形結(jié)合），讓學(xué)生自主畫圖，尋找思維沖突源，為本節(jié)課優(yōu)先研究性質(zhì)做思想基礎(chǔ)。先探究正切函數(shù)的性質(zhì)，再作圖驗(yàn)證，這與前面研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)恰好相反。教師要深刻挖掘教材這樣編寫的意圖，加強(qiáng)學(xué)生的理性思考，使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得更加全面。

【教學(xué)過程片段之二】

師：我們從正切函數(shù)y=tanx的圖象上看它是否也具有正弦函數(shù)y=sinx的一些性質(zhì)呢？我們一起來探究總結(jié)歸納正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)。首先，我們來看定義域、值域、周期。

師：理由呢？

師：說得對(duì)，根據(jù)你所說的T=π，也可證明π是y=tanx的最小正周期。

生：假設(shè) 0＜T0＜π 是正切函數(shù)的周期，則 tan（x+T0）=tanx恒成立，取x=0

∴0＜k＜1與 k∈Z 矛盾，T=π 是 y=tanx的最小正周期。

師小結(jié)：要證明π是最小正周期，需要證明任何一個(gè)比0大、比π小的數(shù)不可能是它的周期，從正的方面去證，這不可能的，有無數(shù)多個(gè)數(shù)，所以我們想到反證法。

【思考】正切函數(shù)的定義域如何反映圖象的特征，對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)難點(diǎn)。我通過引導(dǎo)學(xué)生類比正弦函數(shù)的圖象特征，利用已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來加以理解。在課堂教學(xué)中，教師需要挖掘教材的細(xì)節(jié)，嘗試挖掘教材細(xì)節(jié)中的豐富內(nèi)涵，這是學(xué)生獲取知識(shí)的主要來源，教師應(yīng)有效探索和開拓發(fā)掘，有效生成，并將其作為課堂上的亮點(diǎn)。

【教學(xué)過程片段之三】

師：那么正切函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性如何？

師：說得對(duì)，根據(jù)你說的也可證明，即

師：那么對(duì)稱中心呢？

生 2：（kπ，0），k∈Z

師：對(duì)稱軸、漸近線方程呢？

【思考】從正切函數(shù)的性質(zhì)可以比較容易地得到周期性和奇偶性，這樣能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。研究正切函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生容易形成“思維定式”。通過問題引領(lǐng)學(xué)生類比正弦函數(shù)及余弦函數(shù)，建構(gòu)概念。教師在課堂上需要給學(xué)生思考留點(diǎn)時(shí)間，再引導(dǎo)其用三角函數(shù)線解決問題，從特殊的一個(gè)周期到一般的區(qū)間，讓知識(shí)在學(xué)生不斷的思考中自然生成并且在思維的基礎(chǔ)上有較大突破和理解。研究圖象的性質(zhì)是高中學(xué)生必須具備的一種能力，學(xué)生應(yīng)深度把握教材細(xì)節(jié)。

【教學(xué)過程片段之四】

師：總結(jié)歸納正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)內(nèi)是增函數(shù)，

正切函數(shù) y=tanx定義域 ｛x|x≠kπ+π值 域 R（無最大值，無最小值）2 ，k∈Z｝周 期 T=π奇偶性 奇函數(shù)2 ，kπ+π2），k∈Z對(duì)稱中心 （kπ單調(diào)性 增函數(shù)，增區(qū)間為（kπ-π 2 ，0），k∈Z 對(duì)稱軸 無漸近線方程 x=kπ+π 2 ，k∈Z

師：我們?cè)诋嬚液瘮?shù)和余弦函數(shù)的圖象時(shí)，用描五個(gè)點(diǎn)的簡單方法，那么在畫正切函數(shù)的圖象時(shí)，我們也有簡單的方法，可以畫出大致圖象，怎么畫呢？

【思考】引導(dǎo)學(xué)生歸納出研究函數(shù)的一般方法，為以后研究新的函數(shù)積累經(jīng)驗(yàn)與方法。

回顧探究過程，掃描知識(shí)漏洞，形成知識(shí)體系，深刻體會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的一般方法和思路，培養(yǎng)學(xué)生的綜合概括能力和語言文字的表達(dá)能力。

2.在探索中將隱含學(xué)生理解的滯后，還原課堂學(xué)習(xí)反饋效果，體驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用

【教學(xué)過程片段之五】

在同學(xué)們已經(jīng)掌握了正切函數(shù)y=tanx的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱中心和圖象的性質(zhì)后，現(xiàn)在可以做一些練習(xí)：

課堂練習(xí)1：（1）根據(jù)正切函數(shù)的圖象，分別寫出滿足下列條件的集合：

①tanx=-1_______________________；

②tanx＞0________________________

例2：求證：函數(shù)f（x）=Atan（wx+φ）的最小正周期

【思考】通過課堂練習(xí)和例題的講解，進(jìn)一步鞏固知識(shí)，強(qiáng)化對(duì)學(xué)生基本技能的訓(xùn)練和解題的規(guī)范化訓(xùn)練，提高學(xué)生課堂及時(shí)應(yīng)用新知和解決問題的能力，體現(xiàn)了因材施教的方法，也挖掘了細(xì)節(jié)的內(nèi)涵，研究了教材的本質(zhì)。

三、教學(xué)思考

本課探索了正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，將知識(shí)、方法和能力融合為“三位一體”的性質(zhì)研究教學(xué)，突顯探究教學(xué)的開放性。教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)性質(zhì)形成過程、性質(zhì)的探究過程中，用研究正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)類比，再利用數(shù)形結(jié)合思想，通常由數(shù)（性質(zhì)）—形（圖象）—數(shù)（性質(zhì)）來探索正切函數(shù)的圖象及其性質(zhì)。師生共同構(gòu)建函數(shù)圖象性質(zhì)的研究過程，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的重要思想和方法。在探究過程中，教師要把握性質(zhì)的生成機(jī)會(huì)，如何把握？把握的程度如何？筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，形成了如下認(rèn)識(shí)：

1.研究教材細(xì)節(jié)，透過現(xiàn)象看本質(zhì)。創(chuàng)設(shè)認(rèn)知情境，并對(duì)已給的教材進(jìn)行適當(dāng)整合，并且類比正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究。在研究正切函數(shù)圖象與性質(zhì)類比中發(fā)現(xiàn)，正切函數(shù)的研究順序卻恰恰相反，教材是從一個(gè)新的角度來研究正切函數(shù)的性質(zhì)，因此在課堂上設(shè)計(jì)了讓學(xué)生先小組分別畫圖的環(huán)節(jié)，使學(xué)生在教學(xué)的疑惑中，思考要解決問題的方法，這樣本節(jié)課的研究思路就自然展開。

2.教學(xué)中將探索性質(zhì)的探究方法作為鋪墊。教師引導(dǎo)學(xué)生作圖，立即引起師生共鳴。通過這種方式，研究代數(shù)方法的性質(zhì)，正切函數(shù)的圖象與正弦曲線類似，然后通過觀察圖象來驗(yàn)證性質(zhì)，并且獲得了函數(shù)的對(duì)稱性，加深學(xué)生對(duì)代數(shù)形式的理解，并緊密聯(lián)系課堂研究的主線、引導(dǎo)的數(shù)量和形式的數(shù)量。

3.教師也應(yīng)該為學(xué)生探究和挖掘教材的細(xì)節(jié)，吃透教材，得到函數(shù)圖象與性質(zhì)研究結(jié)果，提供結(jié)果反思和驗(yàn)證的空間，要讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成提供反思和研究經(jīng)驗(yàn)，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)以及深刻的比較。在教學(xué)過程中，教師不能急于求得數(shù)學(xué)性質(zhì)結(jié)果，而應(yīng)盡可能讓學(xué)生有更充足的時(shí)間對(duì)數(shù)學(xué)概念形成“自然生長”。只有尊重教材，將教材的作用充分展現(xiàn)，并發(fā)揮到極致，才能體現(xiàn)教材的價(jià)值。

4.在準(zhǔn)備這樣一堂課的過程中，筆者也花了很多時(shí)間，并且思考了很多問題，如：如何讓教師“教”得更多，同時(shí)讓每一位學(xué)生“學(xué)”得更多？教師問題引領(lǐng)、滲透教材與學(xué)生自主探究教材的“度”如何處理？如何處理“部分”和“整體”的關(guān)系與區(qū)別？學(xué)生只有會(huì)思考，掌握解題的技巧與方法，才能從題海中走出來，希望能得到各位同行的不吝指導(dǎo)。