文 張宏偉（北京亦莊實驗小學(xué)）

“對稱”的學(xué)習(xí)

“對稱”一般在3月底開始學(xué)習(xí)，但是在寒假，我就對孩子進行浪漫階段的體驗和準備。孩子們在假期當(dāng)中就干三件事情：搜索什么是對稱，可以上網(wǎng)、到圖書館和博物館；搜索對稱有哪幾種情況；找到相應(yīng)的圖片、實物或現(xiàn)象，能帶來實物的就帶來實物，不能帶來實物的就拍照片或者下載圖片。

到了3月底開課，我問孩子們：“在寒假，大家利用周末的時間對對稱進行了研究，那么從對稱的角度來看世間的萬事萬物，你能把它分成哪幾類？”

學(xué)生說分成兩類，一類是不對稱的，一類是對稱的。我追問，那對稱的你找到了哪些？孩子拿來了蝴蝶，展示左右對直重合，上下對直重合，這叫軸對稱；第二個孩子拿來了花的實物模型，“老師，像這樣的花瓣，你轉(zhuǎn)半圈之后就重合，這叫中心對稱”。第三個孩子拿來一張小狗照鏡子的圖片，說這叫鏡面對稱。

我們教材上為什么只學(xué)中心對稱和軸對稱？因為軸對稱和中心對稱是初中和高中之后，學(xué)習(xí)幾何證明題必須使用的工具。鏡面對稱雖然不考，但是它是孩子認知世界的一個重要的工具——這個世界大量存在鏡面對稱。

元代詩人楊敬德的《臨湖亭》說：“魚在山中游，花從天上開?！蔽覇枌W(xué)生，魚為什么會在山中游泳??？這不是胡說嗎？學(xué)生說是倒影，這首詩就不講自明。

元好問的《泛舟大明湖》有一句話：“看山水底山更佳，一堆蒼煙收不起?！蔽覇柡⒆?，為什么說看山水底山更佳？我備課時預(yù)想的是因為朦朧美。結(jié)果沒有一個孩子說出這個答案，他們告訴我，因為水里的山是“活”的，會隨著水波一動一動，而地上的山是“死”的。哎喲，這非常觸動我，你可以發(fā)現(xiàn)，這是鏡面對稱帶給孩子看世界、看語文的別樣視角。

我們再接著往下看。第四個孩子走上講臺，把海星的照片（圖1）往上一拍，說這是輻射對稱。我相信不少人是第一次知道這個對稱。

◎圖1

◎圖2

然后又有孩子拿來了這張圖（圖2），每個人都應(yīng)該見過，你知道它是什么對稱嗎？

當(dāng)孩子拿著這張電風(fēng)扇的照片來告訴我這是旋轉(zhuǎn)對稱時，我百感交集。我當(dāng)時44歲，那一刻才真正明白了以前學(xué)過的所謂的中心對稱，只不過是旋轉(zhuǎn)對稱的一種特殊情況而已。那一次我真正認識到每一個孩子都是老師，每一個孩子也都是課程的建設(shè)者。

還有一個孩子，拿來了四葉草的圖片，他非常興奮地給我介紹：四葉草上下對折是重合，左右對折是重合，它是軸對稱；四葉草也能轉(zhuǎn)一圈重合，它是中心對稱；然后二年級學(xué)過直角，每轉(zhuǎn)一個直角，都能重合，所以它也是旋轉(zhuǎn)對稱，數(shù)學(xué)家就給它取了一個名字：復(fù)合對稱。

孩子從百度上直接就搜來了對稱的含義：物體或者圖形在某種折疊條件下，其相同部分之間有規(guī)律的重復(fù)現(xiàn)象。不用老師講一句話，所有的孩子就明白了，軸對稱只是其中的一種。隨后，我才有這句話：“孩子們，小學(xué)我們主要學(xué)習(xí)軸對稱，到了初中我們研究中心對稱，等你長大了，到大學(xué)，會根據(jù)你的需要再研究其他對稱?！?/p>

大家會發(fā)現(xiàn)，在課前調(diào)查的基礎(chǔ)上，我們的孩子在課堂上花了不到10分鐘的時間，就能用相對完整的對稱眼光去看待對稱本身和世間萬物，但是沒有經(jīng)歷過這個課程的孩子，如果在海邊撿了一顆海星，問他這是對稱的嗎，他可能會斬釘截鐵地告訴你，它不是。我覺得可怕的不是他認為海星不是對稱的，而是他背后的那種堅定。

可能也有人質(zhì)疑：世間萬物多得去了，一個人窮盡畢生也不可能知道所有的東西，不知道輻射對稱有什么了不起的？是的，不知道也沒有妨礙大家成為優(yōu)秀的校長、老師、家長，但美國詩人惠特曼說：一個孩子每天向前走去，他看見最初的東西，他就變成了那東西，那東西就變成了他的一部分?？梢?，經(jīng)歷的路是完整的，對我們的成長是多么重要。

為了數(shù)學(xué)本身的完整性，更為了完整孩子的數(shù)學(xué)成長，我引進了必須的，淺顯易懂的，能夠直觀認識和了解的，又便于學(xué)生動手操作的，而且新奇、有趣、好玩的羅氏集合、黎曼幾何、拓撲（圖論）和分形等內(nèi)容。

“曲面”的理解

“曲面”這個概念，無論在哪種版本的數(shù)學(xué)教材里，都一定是在孩子年滿12周歲，六年級下學(xué)期才會出現(xiàn)，曲線則是五年級學(xué)習(xí)圓的時候出現(xiàn)。但孩子從出生的那一天，一睜開眼看到的媽媽的臉其實就是一個曲面。我也曾做過調(diào)研，一年級有五分之一的孩子能準確地認出曲線，所以實際上孩子早就從別的圖畫書或者非數(shù)學(xué)書上學(xué)到了標準的數(shù)學(xué)概念。

因此，我在三年級一學(xué)“面”就問孩子：這世界萬物的表面，你把它分成哪兩類？孩子說一類是平的，一類是不平的。緊接著我就說平的就叫平面，不平的就叫曲面，孩子一下子就理解了。然后我用紙張來演示平面和曲面互相轉(zhuǎn)化。我們班有一個孩子還打了一個比方：張老師，你的屁股就是一個曲面，但是你坐在那個木椅子上，一壓，它就變成一個平面！全班哄堂大笑。我說你這個比方太棒了，然后我就拿椅子過來演示，椅子上一壓，學(xué)生說平面，一站起來，學(xué)生說彈回來了，又變成了一個曲面！大家樂得不行。

◎關(guān)于直角的組圖

正是因為提前引進了“曲面”這個概念，我們還生出了另外一種精彩。學(xué)習(xí)三年級平面圖長方形和正方形的時候，我引進了曲面的長方形和正方形。

周末布置作業(yè)，我提前跟家長溝通，剪六個正方形和六個長方形，做沙包。往里面灌沙子，一直灌到一顆也不能灌了為止，變成一個球形的沙包。

孩子的任務(wù)是做檢驗工，拿個直角三角板去對著這邊，再看另外一條邊跑哪里去了。周末一個學(xué)生給我打電話：“張老師，好奇怪呀，直角這個邊怎么跑到直角三角板的外面去了？”他驚奇地發(fā)現(xiàn)，原來球面上的正方形的角度已經(jīng)大于了90度。

然后我又放出了下面這組圖片，球面上的是120度，平面上是90度。

這其實就是在做一個浪漫準備。我們也不繼續(xù)學(xué)了，孩子知道就行了。我讓孩子翻開課本，看看課本上關(guān)于正方形的定義：正方形的四條邊長度相等，四個角都是直角。我說這句話有毛病嗎？學(xué)生說有，曲面上就不是這樣了。那怎么改呢？學(xué)生說，它應(yīng)該寫上“平面上的正方形它的四條邊長度相等，四個角才是直角?！?/p>

讓孩子多一個看數(shù)學(xué)和看世界的角度，收獲更多的驚喜，積累更多的經(jīng)驗，我想這遠比掌握了什么是長方形和正方形更重要。