高雅倩

摘 要：當(dāng)今，CT系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于醫(yī)療與工業(yè)生產(chǎn)中。精確的幾何參數(shù)標(biāo)定和準(zhǔn)確的圖像重建方法是CT系統(tǒng)研究課題中的重要任務(wù)。本文以2017年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題為例，依據(jù)Radon變換和最小二乘方法，經(jīng)過坐標(biāo)變換，建立優(yōu)化模型求解出系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中心、初始角度和探測器間距?；谒髤?shù)，采用濾波反投影算法，通過平移及旋轉(zhuǎn)修正完成圖像的重建。

關(guān)鍵詞：CT系統(tǒng) 參數(shù)標(biāo)定 圖像重建 Radon變換 濾波反投影算法

中圖分類號：TP39 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）04（c）-0088-03

1972年Hounsfield研制出第一臺CT機(jī)。40多年來，CT技術(shù)在其掃描方式、成像視野、重建速度、重建圖像質(zhì)量以及應(yīng)用領(lǐng)域等方面都得到了飛速發(fā)展 [1]。

在實(shí)際應(yīng)用中，CT系統(tǒng)的參數(shù)由于安裝不當(dāng)?shù)仍驎?huì)產(chǎn)生一定的誤差，由誤差引入的幾何偽影極大地影響重建圖像的質(zhì)量。本文借助結(jié)構(gòu)已知的模板，依據(jù)CT系統(tǒng)的成像原理，建立數(shù)學(xué)模型求系統(tǒng)參數(shù)的精確值，再將計(jì)算結(jié)果作為已知條件，把“取投影”→“反投影重建”→“重建后的圖像”這一過程看作一個(gè)輸入原像，輸出重建圖像的成像系統(tǒng)[2]，建立反投影圖像重建模型來反演出介質(zhì)的形狀和坐標(biāo)系中的位置。

1 模型的建立與求解

1.1 基本假設(shè)

假設(shè)一：假設(shè)X射線由單一能量的光子組成。

假設(shè)二：假設(shè)X射線源焦點(diǎn)的物理尺度可以忽略，可視為理想的幾何點(diǎn)。

假設(shè)三：假設(shè)探測器單元的物理尺度可以忽略，可視為理想的幾何點(diǎn)。

假設(shè)四：假設(shè)CT系統(tǒng)每次旋轉(zhuǎn)的角度是均勻的。

1.2 CT成像原理與Radon變換

本文給出的CT系統(tǒng)是從初始位置起，掃描完一個(gè)指定層面后，系統(tǒng)轉(zhuǎn)過一個(gè)角度（一般為1°），然后對同一指定層面進(jìn)行掃描，如此進(jìn)行下去直到掃描系統(tǒng)與初始位置成180°的位置。CT系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)示意圖及坐標(biāo)系如圖1、圖2。

由于我們的模型是以正方形托盤來建立坐標(biāo)系的，因此必須對Radon逆變換后的結(jié)果做旋轉(zhuǎn)校正，將介質(zhì)在坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)角度φ0。同時(shí)，依據(jù)坐標(biāo)變換做一逆向變換，也就是將介質(zhì)的幾何中心平移到坐標(biāo)系的中心處。

計(jì)算可得，兩介質(zhì)的幾何特征和坐標(biāo)位置如圖5。

如圖5中，實(shí)心點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心在像素坐標(biāo)下的位置，空心點(diǎn)代表系統(tǒng)的幾何中心。

2 結(jié)語

本文通過最小二乘方法搜索最優(yōu)解，得到精確度較高的旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)和初始旋轉(zhuǎn)角度值，有利于提高重建圖像的質(zhì)量。相比直接反投影算法，濾波反投影算法重構(gòu)圖像會(huì)更加清晰，沒有陰影。這種算法經(jīng)過一定的變換也可以推廣到扇束CT和錐束CT的圖像重建中。

參考文獻(xiàn)

[1] 池明輝.錐束工業(yè)CT系統(tǒng)幾何參數(shù)誤差校正算法研究[D].重慶：重慶大學(xué)，2015.

[2] 范慧赟.CT圖像濾波反投影重建算法的研究[D].西安：西北工業(yè)大學(xué)，2007.

[3] 張曉瑞.基于Radon變換的濾波反投影重建算法研究[J].電腦知識與技術(shù)，2016，27（1）：259-261.

[4] 李想.CT圖像的應(yīng)用研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2004.

[5] 張朝宗，郭志平，張朋，等.工業(yè)CT技術(shù)和原理[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[6] Herman GT.Fundamentals of computerized tomography：image reconstruction from projections[M].New York：Springer Verlag，2009.

[7] 張朋，張慧滔，趙云松.X射線CT成像的數(shù)學(xué)模型及其有關(guān)問題[J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2012，1（1）：1-12.