杭 俊， 張 燕

(安徽大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院， 安徽 合肥 230601)

0 引言

“復(fù)變函數(shù)”不僅是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要專(zhuān)業(yè)課，更是電氣、自動(dòng)化、通信等工科專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，這些專(zhuān)業(yè)很多的成果都以復(fù)變函數(shù)理論為基礎(chǔ)。近幾十年來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，復(fù)變函數(shù)的理論與方法也不斷得到擴(kuò)充與完善，復(fù)變函數(shù)的理論與方法也越來(lái)越多地應(yīng)用到工程實(shí)踐中去，如流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)和彈性理論等[1]。因此，學(xué)好“復(fù)變函數(shù)”課程對(duì)于在校大學(xué)生和科學(xué)技術(shù)工作者是十分重要的。教學(xué)質(zhì)量的高低、教學(xué)效果的好壞直接影響到學(xué)生對(duì)這門(mén)課程以及后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。因此，這就對(duì)“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)提出了新的要求。

復(fù)變函數(shù)是在實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)上延伸出來(lái)的，它們的聯(lián)系是很緊密的。復(fù)變函數(shù)中的許多理論、概念和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域的推廣，所以它的許多概念和性質(zhì)與實(shí)變函數(shù)內(nèi)容既有相同之處也有不同之處，它們的區(qū)別就在于前者是研究復(fù)數(shù)域上的函數(shù)，后者是研究實(shí)數(shù)域上的函數(shù)[2-5]。因此，這就要求在講授“復(fù)變函數(shù)”課程時(shí)要充分利用“高等數(shù)學(xué)”課程中實(shí)變函數(shù)的思想和方法來(lái)進(jìn)行教學(xué)。這樣不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的速度，而且能讓學(xué)生把握復(fù)變函數(shù)課程的核心思想。這對(duì)學(xué)生系統(tǒng)地掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論有很大的幫助，對(duì)提高“復(fù)變函數(shù)”的教學(xué)效果有著深遠(yuǎn)的影響。

筆者通過(guò)對(duì)電氣工程專(zhuān)業(yè)學(xué)講授復(fù)變函數(shù)這門(mén)課程，總結(jié)出一些有益的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生始終在大腦中有一個(gè)將學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)變函數(shù)的思想(簡(jiǎn)稱(chēng)“化復(fù)為實(shí)”思想)，可有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。本文的后續(xù)內(nèi)容將結(jié)合復(fù)變函數(shù)具體內(nèi)容和案例說(shuō)明如何將“化復(fù)為實(shí)”思想貫穿于整個(gè)“復(fù)變函數(shù)”教學(xué)和學(xué)習(xí)過(guò)程中去。

1 復(fù)變函數(shù)定義

設(shè)有一復(fù)數(shù)z=x+iy的集合G，如果有一個(gè)確定的法則存在：對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，就有一個(gè)或幾個(gè)相應(yīng)的復(fù)數(shù)w=u+iv隨之而定，那么稱(chēng)復(fù)數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)變函數(shù)，記作w=f(z)[6]。

由于給定了一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy就相當(dāng)于給定了兩個(gè)實(shí)數(shù)x和y，而復(fù)數(shù)w=u+iv也同樣對(duì)應(yīng)著一對(duì)實(shí)數(shù)u和v，所以復(fù)變函數(shù)w和自變量z之間一定存在某種關(guān)系。w=f(z)相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式為

(1)

從式(1)中可以看出u和v皆伴隨x和y而定。此時(shí)

w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

(2)

式中：u(x,y)和v(x,y)為二元實(shí)變函數(shù)。

為了加深對(duì)復(fù)變函數(shù)和自變量?jī)烧哧P(guān)系的理解，舉“復(fù)變函數(shù)”授課中常用的一個(gè)函數(shù)w=f(z)=z2為例說(shuō)明。令z=x+iy，w=u+iv，那么

w=u+iv=f(z)=(x+iy)2

(3)

根據(jù)恒等式原理，等式兩邊實(shí)部與虛部分別相等，因此，根據(jù)式(3)可得

(4)

從式(4)可以看出，函數(shù)w=z2對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)。從這個(gè)結(jié)果可以初步地看出，研究復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)就轉(zhuǎn)換到研究復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部的性質(zhì)，而實(shí)部和虛部都是二元實(shí)變函數(shù)。因此，歸結(jié)為就是利用實(shí)變函數(shù)來(lái)研究復(fù)變函數(shù)。下面將就復(fù)變函數(shù)研究的內(nèi)容來(lái)更進(jìn)一步闡述這一思想(將復(fù)變函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)變函數(shù)問(wèn)題)，由于復(fù)變函數(shù)涉及的內(nèi)容很多，本文就選取幾個(gè)方面來(lái)闡述這種思想，主要包括復(fù)變函數(shù)的極限、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分和級(jí)數(shù)。

2 復(fù)變函數(shù)極限

關(guān)于極限有如下定理：

定理設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z0=x0+iy0，那么limf(z)=A的充要條件是

x→x0x→x0

y→y0y→y0

可以清楚地看出，這個(gè)定理將求復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u=u(x,y)和v=v(x,y)的極限問(wèn)題。為了加深對(duì)這個(gè)定理的理解和應(yīng)用，舉例說(shuō)明。

證令z=x+iy，則

3 解析函數(shù)

關(guān)于解析函數(shù)有如下定理：

定理函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微，并且滿(mǎn)足柯西-黎曼方程

(5)

從定理可以清楚地看出，這個(gè)定理將求復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的解析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u=u(x,y)和v=v(x,y)的可微問(wèn)題并且微分滿(mǎn)足一定的關(guān)系。為了進(jìn)一步說(shuō)明這個(gè)定理，舉例說(shuō)明。

例設(shè)函數(shù)f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2)。問(wèn)常數(shù)a, b, c, d取何值時(shí)，f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析？

解由題可知

u=x2+axy+by2v= cx2+dxy+y2

根據(jù)實(shí)變函數(shù)的理論可知，u和v在整個(gè)平面內(nèi)處處解析，所以

從而，要使f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，還需要滿(mǎn)足柯西-黎曼方程，即

只需要2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by。因此，當(dāng)a=2, b=-1, c=-1, d=2時(shí)，此函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析。

從定理和例子可以看出，在研究復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的解析問(wèn)題時(shí)，其實(shí)就是轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u=u(x,y)和v=v(x,y)的可微問(wèn)題，然后再利用實(shí)變函數(shù)理論進(jìn)行解決。

4 復(fù)變函數(shù)積分

1. 用兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線(xiàn)積分來(lái)計(jì)算

(6)

2. 當(dāng)光滑曲線(xiàn)C由參數(shù)方程

z=z(t)=x(t)+iy(t)ta≤t≤tβ

(7)

給出時(shí)(正方向?yàn)閰?shù)增加的方向，參數(shù)tα及tβ對(duì)應(yīng)光滑曲線(xiàn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，并且)，復(fù)變函數(shù)的積分可計(jì)算為

(8)

由式(6)和(8)可以看出，不管用哪種方式求復(fù)變函數(shù)的積分，歸根到底都要轉(zhuǎn)化到求實(shí)變函數(shù)積分的問(wèn)題。下面舉例進(jìn)一步說(shuō)明這種思想。

解此例題采用第二種方式，采用第一種方式同樣可以求解。

直線(xiàn)段C的方程可寫(xiě)作：

x=3t,y=4t,0≤t≤1

在C上，z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt。于是

從上述計(jì)算過(guò)程可以看出，求復(fù)變函數(shù)的積分就是轉(zhuǎn)化到實(shí)變函數(shù)求積分的問(wèn)題。

5 級(jí)數(shù)

5.1 級(jí)數(shù)

設(shè){αn}={an+ibn}(n=1, 2…)為一復(fù)數(shù)列，表達(dá)式為

稱(chēng)為無(wú)窮級(jí)數(shù)。

關(guān)于級(jí)數(shù)收斂有如下定理：

可以看出該定理將復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題。下面通過(guò)例題進(jìn)一步說(shuō)明這種思想。

解由級(jí)數(shù)可知

發(fā)散

收斂

故原級(jí)數(shù)發(fā)散。

5.2 冪級(jí)數(shù)

從上述兩個(gè)定理可以明顯地看出，求解冪級(jí)數(shù)的收斂半徑其實(shí)還是求實(shí)變函數(shù)極限的問(wèn)題。下面通過(guò)例題進(jìn)一步說(shuō)明這種思想。

解1)用比值法計(jì)算

所以收斂半徑R=1，也就是原級(jí)數(shù)在圓|z|=1內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散。

2)用根值法計(jì)算

所以收斂半徑R=1，也就是原級(jí)數(shù)在圓|z|=1內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散。

可見(jiàn)，用兩種方式求的收斂半徑是相等，并且在求解過(guò)程中其實(shí)都是在求實(shí)變函數(shù)的極限問(wèn)題。

因此，綜述上述內(nèi)容，從復(fù)變函數(shù)定義、復(fù)變函數(shù)極限、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)積分和級(jí)數(shù)可以充分地看出，在解決復(fù)變函數(shù)問(wèn)題都是將其轉(zhuǎn)化到實(shí)變函數(shù)問(wèn)題，再利用實(shí)現(xiàn)函數(shù)的理論進(jìn)行解決。

6 結(jié)語(yǔ)

“復(fù)變函數(shù)”是“高等數(shù)學(xué)”的后續(xù)課程，是在實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)上延伸出來(lái)的一門(mén)課程。筆者根據(jù)講授“復(fù)變函數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)，探索了將“化復(fù)為實(shí)”思想融入到復(fù)變函數(shù)的整個(gè)教學(xué)過(guò)程。本文從復(fù)變函數(shù)定義、復(fù)變函數(shù)極限、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分和級(jí)數(shù)等角度闡述“化復(fù)為實(shí)”思想其實(shí)是貫穿于整個(gè)復(fù)變函數(shù)教學(xué)和學(xué)習(xí)過(guò)程中的。在“復(fù)變函數(shù)”教學(xué)過(guò)程中，傳遞這種思想，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)速度，能讓學(xué)生把握復(fù)變函數(shù)的核心思想以及與實(shí)變函數(shù)的關(guān)聯(lián)性。從而培養(yǎng)學(xué)生利用已有知識(shí)學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。