豆貝貝， 許雪梅， 彭航航， 孫克輝

(中南大學 物理與電子學院， 湖南 長沙 410083)

0 引 言

微弱信號檢測技術無論是在物理學、生物醫(yī)學，還是雷達、通信、聲吶、振動測量、故障診斷等領域都得到了廣泛的應用[1]。傳統(tǒng)的信號檢測方法在檢測強噪聲背景下的微弱信號時具有一定的局限性，因此,探索更好的微弱信號檢測方法成為了現(xiàn)階段信號處理研究的熱點。

近年來，隨著非線性科學理論研究的日趨深入和成熟[2，3]，混沌理論已逐漸應用于微弱信號的檢測。在利用混沌系統(tǒng)進行弱信號檢測的領域中，經典的Holmes型Duffing混沌系統(tǒng)已經得到廣泛的研究。由于該混沌系統(tǒng)對特定頻率的待測信號敏感且對噪聲具有一定的免疫性，因此，利用該特性可以進行微弱信號檢測[4，5]?；贒uffing振子的微弱信號檢測方法取得了一些較好的成果，但基于該混沌振子的檢測方法仍有不足之處[6]，因此，改進檢測方法或者尋找新的混沌振子模型具有重要意義。

本文提出了一個新穎的高階Duffing振子，通過對該振子系統(tǒng)相圖、Lyapunov指數(shù)等研究，介紹了其非線性動力學行為。另外闡述了該混沌振子對弱信號進行檢測的系統(tǒng)原理，以及比較強的抗噪性能。在此基礎上，還構建了雙耦合高階Duffing系統(tǒng)，通過對其時間尺度上進行變換，實現(xiàn)了對任意未知頻率信號的檢測，抗噪聲能力也得到了進一步的增強，為實際工程中的應用提供了一種可以借鑒的方法。

1 高階Duffing振子

1.1 基本原理

高階Duffing系統(tǒng)方程為

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混沌系統(tǒng)具有對初始條件敏感的特性，即系統(tǒng)初始條件的微小改變都會使系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生顯著變化。對于高階Duffing振子，k值一定時，初值敏感性等于對參數(shù)f值的敏感性。隨著策動力幅值f的不斷變化，系統(tǒng)也會依次出現(xiàn)吸引子、同宿軌道、倍周期分叉、混沌、大尺度周期等狀態(tài)。利用系統(tǒng)相位的變化，可以檢測到微弱信號。

1.2 高階Duffing振子的檢測性能分析

Lyapunov指數(shù)是目前描述混沌的一個很重要的標準,通過判斷最大指數(shù)是否大于0來判斷系統(tǒng)的狀態(tài)[7]。對于高階Duffing系統(tǒng)其最大Lyapunov指數(shù)如圖1所示。

圖1 最大Lyapunov指數(shù)

由最大Lyapunov指數(shù)隨f的變化曲線分布可知，系統(tǒng)的臨界閾值大小為fd=0.773 624 2，且其將處于混沌臨界狀態(tài)。當向高階Duffing系統(tǒng)中加入外界擾動項時，混沌檢測系統(tǒng)為

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式中acos(ω1t)為待測信號;n(t)～N(0,σ2)為高斯白噪聲。隨著f值的不斷增加，當f>fd,時，系統(tǒng)將會從混沌運動狀態(tài)轉換到周期運動狀態(tài)。設定系統(tǒng)參數(shù)f≤fd，此時混沌振子剛好處于臨界閾值狀態(tài)，如圖2(a)所示。當向系統(tǒng)中加入一個同頻的弱信號,f=0.773,a=0.01,ω1=1 rad/s,即滿足f>fd時,系統(tǒng)將轉化為大尺度周期狀態(tài)，如圖2(b)所示。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)轉換

2 存在的問題

以高階Duffing振子作為研究模型。其中，設定策動力幅值f=fd，此時該系統(tǒng)處于臨界閾值狀態(tài)。當一個外界微弱信號加入到該系統(tǒng)中時，得到基于高階Duffing振子弱信號檢測模型為

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2.1 不同頻率的影響

普遍來說，為保證高階Duffing系統(tǒng)適用于微弱信號檢測的混沌特性，通常設定待測信號的頻率與系統(tǒng)內部驅動力頻率保持一致。然而在實際工程中，待測信號的頻率通常是可變的，一旦待測信號的頻率與周期驅動力頻率不一致時，混沌系統(tǒng)的動態(tài)響應也會受到影響。在式(4)中，若外界信號與參考信號頻率不同，即s(t)=0.01cos(ω1t)，其中ω1為3,7 rad/s，仿真結果如圖3所示。可知，由于待測信號的頻率與驅動信號的頻率不相等，系統(tǒng)狀態(tài)無法呈現(xiàn)大尺度周期狀態(tài)，進而無法實現(xiàn)對微弱信號的檢測。

圖3 不同參考頻率仿真結果

2.2 噪聲影響

研究表明：高階Duffing振子系統(tǒng)處于強噪聲背景下時，可能會喪失弱信號檢測的能力。設定系統(tǒng)處于臨界混沌狀態(tài)且初值為x(0)=y(0)=0，假設待測信號為s(t)=0.01cos(t)+n(t)，且n(t)～(0,σ2)。隨著噪聲方差σ2的不斷增加，當σ2>0.037時，混沌振子在噪聲誘導下，運行軌跡將變得雜亂無章，因此，喪失了微弱信號的檢測能力。根據(jù)信噪比的定義[8](式(5))，可求得該系統(tǒng)在噪聲強度為σ2=0.037時的最大信噪比為-28.69 dB

(5)

3 雙耦合高階Duffing振子

3.1 模型構建

為了解決高階Duffing振子只能檢測特定頻率信號的限制，本文基于頻率轉換和變尺度方法提出適用于高階Duffing振子的尺度變換方法[9]，設定t=ω0τ，則有

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定義ω0=k1，代入到式(3)整理得

(7)

式中k1為尺度系數(shù)，高階Duffing振子能保持其檢測特性僅當待測信號的頻率滿足k1=ω1。對式(7)設定系數(shù)f=0.773,a=0.01,ω1=3 rad/s 且n(t)=0，運用四階Runge-Kutta法在初值為x(0)=y(0)=0條件下求解，其軌跡相圖如圖4所示。

圖4 不同尺度系數(shù)下振子軌跡相圖

從圖中可知，當變尺度系數(shù)滿足k1=1，此時待測信號的頻率與周期策動力頻率大小不等，振子的狀態(tài)不會發(fā)生變化仍然處于混沌狀態(tài)(圖4(a))。當向系統(tǒng)引入一個變尺度系數(shù)k1=4，由于k1不等于待測信號的頻率ω1，此時系統(tǒng)狀態(tài)仍然未發(fā)生改變(圖4(b))。只有當變尺度系數(shù)滿足k1=3，即待測信號頻率大小與周期策動力頻率相同時，系統(tǒng)才從混沌狀態(tài)變化到大尺度周期狀態(tài)(圖4(c))。

為了進一步增強高階Duffing系統(tǒng)的抗噪性和穩(wěn)定性,利用兩個高階Duffing振子進行相互耦合，既提高了信噪比，也實現(xiàn)了對任意頻率信號的檢測，耦合系統(tǒng)為

(8)

式中x，u分別為系統(tǒng)的兩個變量，c為耦合系數(shù)。

3.2 模型分析

通常情況下系統(tǒng)的耦合強度越高，則振子間的同步性越強。當c=0時，雙振子間的耦合作用將會消失，此時雙系統(tǒng)的動力學行為與單個振子系統(tǒng)的完全相同。當c≠0時，系統(tǒng)的變量將在耦合作用影響下隨時間逐漸達到同步。為了進一步比較不同耦合系數(shù)對應的耦合系統(tǒng)的抗噪性以及穩(wěn)定性，說明耦合系統(tǒng)的選取，引入標準差概念，如式(9)所示，計算在噪音與非噪音背景下的不同c條件下的標準差值,如表1所示

(9)

表1 雙系統(tǒng)在不同強度高斯白噪聲下不同c對應的標準差

由表1可知，隨著噪聲強度的增大，不同耦合系數(shù)下的系統(tǒng)標準差也逐漸變大。對于任意系統(tǒng)而言，標準差越小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越強。因此,通過上述研究可知，當耦合系數(shù)(c=2)時雙耦合檢測系統(tǒng)實現(xiàn)了最優(yōu)性能。

3.3 雙系統(tǒng)與單系統(tǒng)檢測性能的比較

為了證明雙耦合高階Duffing系統(tǒng)在微弱信號檢測中的可行性，需對其抗噪性以及檢測特性進一步的分析。利用四階Runge-Kutta法求解式(8)，設定初始條件為x(0)=y(0)=0，f=0.77，a=0.01，n(t)=0，得到其相軌跡如圖5所示。

圖5 不同尺度系數(shù)k1下雙耦合高階Duffing系統(tǒng)的相軌跡

由圖可知，僅僅當待測信號頻率與變尺度系數(shù)滿足ω1=k1時，雙耦合系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生了轉變，否則，始終處于混沌狀態(tài)。為了進一步證明雙耦合系統(tǒng)的抗噪能力，采用四階Runge-Kutta法求解式(8)，設定系統(tǒng)處于臨界混沌狀態(tài)且初值x(0)=y(0)=0，加入待測信號為s(t)=0.01cos(t)+n(t)，n(t)～(0,σ2)。仿真結果顯示，隨著噪聲方差不斷增加，當σ2>0.16時，系統(tǒng)將從周期狀態(tài)轉換為混沌狀態(tài)，此時雙耦合系統(tǒng)的最大信噪比為-34.88 dB。對比單振子系統(tǒng)在同等條件下的最大信噪比-28.69 dB，雙耦合系統(tǒng)抗噪性能提高明顯。為了進一步解釋雙耦合系統(tǒng)的魯棒性以及穩(wěn)定性，在同等條件下，分別仿真計算單振子系統(tǒng)和雙耦合系統(tǒng)的最大信噪比，如表2。

表2 2種系統(tǒng)最大信噪比 dB

從表2可知，隨著高斯白噪聲強度的增加，單系統(tǒng)和雙系統(tǒng)的最大信噪比都隨之降低。在相同噪聲強度下，雙耦合系統(tǒng)的最大信噪比皆優(yōu)于單系統(tǒng)，且在噪聲聲背景下(σ2=10-1時)的最大信噪比比單系統(tǒng)高達1.76倍。故此，證明基于雙耦合高階Duffing振子的微弱信號檢測系統(tǒng)有著更強的抗噪性能。

4 結 論

本文提出了一個新穎的基于高階Duffing振子的微弱信號檢測方法。仿真結果證明了利用該系統(tǒng)進行弱信號檢測的的有效性和可行性。另外，針對頻率限制以及信噪比較低問題，利用尺度變換的頻率模型和耦合同步構建了雙耦合高階Duffing振子，實現(xiàn)了對任意未知頻率信號的檢測，同時信噪比也得到了有效地改善，對實現(xiàn)實際工程中的弱信號檢測意義重大。