黃珊 劉妮 梁九卿

(山西大學(xué),理論物理研究所,量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

1 引 言

Dicke模型描述的是N個(gè)二能級(jí)原子整體與一個(gè)單模量子化電磁場(chǎng)的相互作用[1].該自旋-玻色模型展示了在光與物質(zhì)相互作用系統(tǒng)中的集體現(xiàn)象[2,3],并且可以發(fā)生從正常相到超輻射相的二階相變[4?8].雖然標(biāo)準(zhǔn)Dicke模型形式簡(jiǎn)單,但是體現(xiàn)了豐富而獨(dú)特的多體量子理論,且在量子信息等方面有廣泛的研究[9],尤其在冷原子系統(tǒng)中討論自旋軌道耦合的工作中也有很多豐富的研究結(jié)果[10?13].

經(jīng)典相變是指由于熱漲落的影響導(dǎo)致物理系統(tǒng)突然發(fā)生態(tài)的改變,例如由液態(tài)到固態(tài)的變化.而Dicke模型中的量子相變描述的是在絕對(duì)零度下,當(dāng)改變多粒子系統(tǒng)的某一序參數(shù)時(shí),系統(tǒng)將從一種無(wú)序的狀態(tài)連續(xù)變化到一種有序的狀態(tài).為了在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)Dicke模型的量子相變,集體原子與光子的耦合強(qiáng)度應(yīng)該與原子共振頻率的數(shù)量級(jí)大小相同,這個(gè)條件很難得到滿足[14?17].最近,在一個(gè)玻色-愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)-光學(xué)腔系統(tǒng)中成功地觀測(cè)到超輻射量子相變,實(shí)驗(yàn)中引入了獨(dú)立的動(dòng)量自旋態(tài)[3,18].因此,BEC-光學(xué)腔系統(tǒng)常被用來(lái)探索奇異的多體現(xiàn)象.

近年來(lái),利用半經(jīng)典近似法對(duì)雙組分BEC中量子相變進(jìn)行了研究,揭示了原子對(duì)隧穿誘發(fā)的動(dòng)力學(xué)[19?21].相關(guān)文獻(xiàn)已證明:光學(xué)腔中耦合的雙組分BEC具有光學(xué)、流體、多穩(wěn)定性[22,23];在具有自旋自由度的雙組分BEC中也可產(chǎn)生大量的多粒子糾纏,并且可觀察到兩組BEC之間的干擾[23?25].

很多文獻(xiàn)是基于Holstein-Primako ff變換,即在熱力學(xué)極限(N→∞)下,將贗自旋算符轉(zhuǎn)化為單模玻色算符,然后利用變分的方法研究Dicke模型的量子相變[13].本文通過(guò)玻色子算符取平均場(chǎng)近似后,得到一個(gè)等效贗自旋哈密頓算符,并利用自旋相干態(tài)變換將其對(duì)角化得到能量泛函,然后將求得的能量泛函對(duì)其經(jīng)典場(chǎng)變量(復(fù)參數(shù))變分并取極小值,從而給出基態(tài)能量和波函數(shù)的表達(dá)式.自旋相干態(tài)變分的方法可以方便地揭示多體物理系統(tǒng)的基態(tài)特性,既可以考慮正常贗自旋,又可以考慮反轉(zhuǎn)贗自旋,同時(shí)能產(chǎn)生多穩(wěn)的宏觀量子態(tài).在自旋為N且N→∞時(shí),我們看到的宏觀量子態(tài)就是自旋相干態(tài).本文采用自旋相干態(tài)變分的方法,展示了兩組分BECs在單模光學(xué)腔中豐富的基態(tài)相圖和量子相變特性.

2 模 型

我們考慮兩團(tuán)超冷原子同時(shí)與頻率為ω光學(xué)腔模耦合,但兩團(tuán)原子之間并沒(méi)有相互作用(如圖1),則兩組分超冷原子與光腔相互作用的有效哈密頓量[26](用自然單位~=1)可表示為

式中a?,a分別表示有效光場(chǎng)的產(chǎn)生算符和湮滅算符;Sjz,Sj+,Sj?是集體贗自旋算符,自旋量子數(shù)Sj=Nj/2(j=1,2),其中Nj代表第j個(gè)組分原子數(shù);ωj是第j個(gè)組分的原子頻率;gj為第j個(gè)組分的原子與光場(chǎng)的耦合強(qiáng)度.

設(shè)變分的基態(tài)波函數(shù)為玻色場(chǎng)的相干態(tài)|α?,即玻色子湮滅算符的本征態(tài)為a|α?=α|α?.在玻色場(chǎng)相干態(tài)表象中,方程(1)對(duì)應(yīng)的哈密頓算符的期待值是一個(gè)等效的贗自旋哈密頓,即

這意味著等效贗自旋哈密頓量可以通過(guò)將玻色場(chǎng)算符取平均場(chǎng)近似得到,這里經(jīng)典場(chǎng)的變量(復(fù)數(shù))為變分參數(shù),因此求能量泛函的關(guān)鍵是通過(guò)自旋相干態(tài)變換將贗自旋哈密頓進(jìn)行對(duì)角化,從而得到系統(tǒng)相應(yīng)的本征值和本征態(tài).本征方程為

整體的態(tài)直接用兩組分的自旋態(tài)直積產(chǎn)生本征態(tài)分別為自旋算符在n方向投影的北、南極規(guī)范自旋相干態(tài),其中是用分量極角ξj和方位角ηj描述的單位矢量.自旋相干態(tài)也可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)算符由Sz的本征態(tài)生成, 即是待定參數(shù).

圖1 頻率為ω的高精細(xì)光腔中具有頻率為ω1和ω2的兩組分超冷原子(白色和藍(lán)色)的示意圖Fig.1.Schematic diagram for two ensembles of ultracold atoms(white and blue)with transition frequencies ω1, ω2in an optical cavity of frequency ω.

在自旋相干態(tài)變化下,原來(lái)的集體贗自旋算符

Sjz,Sj+,Sj?變?yōu)閇20]

其中(5)式成立的條件是

通過(guò)條件(7)式求得ξj和ηj,并代入到Aj(α,ξj,ηj)中,得到能量泛函為

從(9)式可以發(fā)現(xiàn):正常和反常的贗自旋態(tài)都將影響體系的多重穩(wěn)定態(tài).有四種自旋情況:兩個(gè)反方向自旋(↑↑);第一個(gè)反向自旋,第二個(gè)正常自旋(↑↓);第一個(gè)正常自旋,第二個(gè)反向自旋(↓↑);兩個(gè)正常自旋(↓↓).首先考慮第一種情況:兩個(gè)反向自旋(↑↑),此時(shí)能量泛函為

且我們假設(shè)兩組分原子數(shù)目相等,為N1=N2=N/2,則基態(tài)的平均能量是

對(duì)基態(tài)的平均能量對(duì)光子數(shù)γ變分,能量的極值條件為

接下來(lái)考慮第二種情況:第一個(gè)反向自旋,第二個(gè)正常自旋(↑↓),無(wú)量綱的基態(tài)能量為

下面考慮第三種情況:第一個(gè)正常自旋,第二個(gè)反向自旋(↓↑). 能量泛函為能量的極值條件為此時(shí)穩(wěn)定零解的區(qū)域用N↓↑表示,范圍為

最后一種情況:兩個(gè)正常自旋↓↓.無(wú)量綱基態(tài)能量為能量的極值條件為穩(wěn)定零解的區(qū)域用N↓↓表示,區(qū)域?yàn)?/p>

接下來(lái),討論以上四種情況的非零光子數(shù)的解,統(tǒng)一表示為

圖2 極值方程Pk(γsk)=0(a1)—(a4)和平均能量曲線ε(b1)—(b4)隨平均光子數(shù)γ2/N 的變化 (給定的條件是:第一組分原子與場(chǎng)的耦合強(qiáng)度為g1/ω=0.55和g2/ω=0.1,0.3,0.6,0.9,其中k=↓↓(黑線),k=↓↑(紅線),k=↑↓(藍(lán)線))Fig.2.Graphical solutions of the extremum equation Pk(γsk)=0(a1)–(a4)and the corresponding average energy curves ε (b1)–(b4)as the function of the mean photon number γ2/N for k=↓↓ (black line)and k=↓↑ (red line)(or k=↑↓ (blue line)).The plotted parameters are given by g1/ω =0.55 and g2/ω =0.1,0.3,0.6,0.9.

其中k=↓↓,↑↓,↓↑,↑↑. 可以通過(guò)(17)式來(lái)數(shù)值求解光子數(shù).在圖2(a)中給出了穩(wěn)定的非零光子解γsk,被稱為超輻射態(tài),其中k=↓↓(黑線),↓↑(紅線),↑↓(藍(lán)線),圖2(b)為相對(duì)應(yīng)的能量εsk.對(duì)于第二組分原子與場(chǎng)的耦合強(qiáng)度g2/ω=0.1時(shí),從圖2(a1)和圖2(b1)可以看出只有兩種情況下極值方程的解γs↓↓和γs↓↑是穩(wěn)定的,即相對(duì)應(yīng)的關(guān)于參數(shù)γ的基態(tài)能量函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為正,此時(shí)對(duì)應(yīng)的能量為局域的最小值.γs↓↑表示第二組分原子整體反轉(zhuǎn)的非零光子數(shù)的穩(wěn)定解.將第二組分原子與場(chǎng)的耦合強(qiáng)度提高到g2/ω=0.3(圖2(a2)以及圖2(b2))和g2/ω=0.6(圖2(a3)和圖2(b3))時(shí),發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)穩(wěn)定解γs↓↓.但是當(dāng)耦合強(qiáng)度提高到g2/ω=0.9時(shí)出現(xiàn)了兩個(gè)穩(wěn)定的解γs↓↓和γs↑↓(圖2(a4)和圖2(b4)),γs↑↓表示來(lái)自第一組分原子反轉(zhuǎn)的受激輻射解.根據(jù)圖2(a4)和圖2(b4),發(fā)現(xiàn)原子數(shù)反轉(zhuǎn)的集體輻射變成了第一組分的原子反轉(zhuǎn)這一有趣的現(xiàn)象.自旋相干態(tài)變分法的觀測(cè)結(jié)果表明:除了基態(tài)可以獲得穩(wěn)定的宏觀量子態(tài)之外,同時(shí)也獲得了較高能量的穩(wěn)定宏觀量子態(tài).

3 討 論

我們考慮不同組分原子與場(chǎng)的失諧分別為

其中?∈[?0.9,0.9],而原子與場(chǎng)的耦合不平衡參數(shù)δ表示為

將(18)和(19)式代入到相對(duì)應(yīng)的能量泛函,并根據(jù)極值條件可以得到正常態(tài)N↓↓和反轉(zhuǎn)態(tài)N↓↑,N↑↓的相邊界:

正常態(tài)N↓↓和超輻射態(tài)S↓↓的平均光子數(shù)可以由相關(guān)的波函數(shù)直接求得,根據(jù)給出的自旋態(tài),得到光子數(shù)為

對(duì)于?na(↓↓)=?1/2類似于標(biāo)準(zhǔn)Dicke模型,此時(shí)為正常相.在臨界耦合強(qiáng)度gc↓↓前后,正常態(tài)N↓↓和超輻射態(tài)S↓↓的平均能量分別為

對(duì)于另外兩種態(tài)Nk,Sk,其中相對(duì)應(yīng)的自旋極化k=↓↑,↑↓,它們的平均光子數(shù)為

正常態(tài)的非平衡原子數(shù)為

而對(duì)于超輻射態(tài)的非平衡原子數(shù)可整理為

根據(jù)Pk(γsk)=0求出非零光子數(shù)γsk,將其代入到能量泛函內(nèi)可以得到平均能量εk(Sk).正常態(tài)時(shí),平均能量εk(Nk)=0.而對(duì)應(yīng)零光子數(shù)解的反轉(zhuǎn)自旋態(tài)的非平衡原子數(shù)?na(↑↑)=0.5,平均能量為在N↑↑這種情況下反轉(zhuǎn)自旋對(duì)應(yīng)的零光子數(shù)解都是不穩(wěn)定的.

圖3 平均光子數(shù)np和非平衡原子數(shù)?na隨原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度的變化(其中原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度g1=g2=1) (a)對(duì)應(yīng)第二組分原子不存在,即ω2=0情況;(b)和(c)分別對(duì)應(yīng)原子與場(chǎng)的失諧頻率?/ω=0.5,?0.5情況Fig.3.Variations of the average photon number npand atom population imbalance?nawith respect to the coupling constant g1=g2=1 in the absence of the second-component atom frequency,i.e.,ω2=0(a),and atom- field frequency detuning?/ω=0.5(b)and?/ω=?0.5(c).

圖3的(a1)和(a2)為第二組分原子不存在(ω2=0)時(shí)的平均光子數(shù)np和非平衡原子數(shù)?na,且圖3的不平衡參數(shù)δ=0.當(dāng)ω2=0時(shí),(1)式的哈密頓量可簡(jiǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的Dicke模型,當(dāng)耦合強(qiáng)度達(dá)到臨界條件gc=0.5會(huì)發(fā)生從正常相N↓到超輻射相S↓的量子相變,是典型的Dicke量子相變. 圖3(b)和圖3(c)給出了在紅失諧(?=0.5)和藍(lán)失諧(?=?0.5)時(shí)的平均光子數(shù)np和非平衡原子數(shù)?na.在原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度g低于邊界條件gc↓↓時(shí),系統(tǒng)有穩(wěn)定的零光子態(tài),能量為最小值,即基態(tài);在臨界條件gc↓↓和gc↓↑圖3(b)(或gc↑↓(圖3(c))之間時(shí),超輻射態(tài)S↓↓(黑線)和N↓↑(或N↑↓)(紅線)以及N↑↑(藍(lán)線)共存;在原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度g高于臨界條件gc↓↑(圖3(b))或gc↑↓(圖3(c))時(shí),超輻射態(tài)S↓↓(黑線)和S↓↑(或S↑↓)(紅線)以及N↑↑(藍(lán)線)共存. 從正常相N↓↓到超輻射相S↓↓的量子相變是典型的Dicke量子相變,在臨界點(diǎn)gc↓↓發(fā)生相變.從圖3(b)可以看到,當(dāng)?/ω=0.5,出現(xiàn)了反轉(zhuǎn)自旋極化的態(tài)N↓↑和S↓↑的情況,這是第一激發(fā)態(tài).而在圖3(c)中,對(duì)于負(fù)失諧?/ω=?0.5,兩組分發(fā)生交換,兩個(gè)組分之間的自旋極化由N↓↑和S↓↑態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)镹↑↓和S↑↓,仍為第一激發(fā)態(tài).我們觀察到:當(dāng)耦合強(qiáng)度達(dá)到臨界點(diǎn)gc↓↑(或gc↑↓)時(shí),系統(tǒng)發(fā)生正常態(tài)N↓↑(或N↑↓)到超輻射狀態(tài)S↓↑(或S↑↓)的相變,這是圖3呈現(xiàn)的一個(gè)新奇的量子相變,這是一組分BEC集體反演的整體受激輻射態(tài).在正常態(tài)N↓↑(或N↑↓)和超輻射態(tài)S↓↑(或S↑↓)的臨界點(diǎn)gc↓↑(或gc↑↓)并沒(méi)有改變基態(tài),且這兩個(gè)態(tài)N↓↑(或N↑↓)和S↓↑(或S↑↓)是系統(tǒng)的集體激發(fā)態(tài).對(duì)于給定的頻率失諧?/ω=±0.5,臨界點(diǎn)可以根據(jù)(20)式精確地計(jì)算出gc↓↓=0.306,gc↓↑=gc↑↓=0.433. 值得一提的是,兩組分的原子集體反演的正常態(tài)N↑↑(藍(lán)線)并未參與超輻射過(guò)程.

圖4為g-δ平面的相圖.相變邊界可以根據(jù)方程(20)準(zhǔn)確求得.在NPts(由臨界線gc↓↓限定)的區(qū)域中,存在三重零光子態(tài),其中具有最低能量的N↓↓為基態(tài), 該區(qū)域分為NPts(N↓↓,N↑↓,N↑↑)(I)和NPts(N↓↓,N↓↑,N↑↑)(II)兩個(gè)區(qū)域, 由水平線(δ=0(a),δ=0.723(b),δ=?0.423(c))分離開(kāi).I區(qū)和II區(qū)只有一個(gè)狀態(tài)不同,I區(qū)域中的狀態(tài)N↑↓在II區(qū)域被替換為N↓↑.通過(guò)調(diào)整原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度g和原子-場(chǎng)耦合不平衡參數(shù)δ,可以看到從N↓↑到N↑↓同時(shí)轉(zhuǎn)變(II→I和IV→III).區(qū)域III(或區(qū)域IV)對(duì)應(yīng)的態(tài)SPco(S↓↓,N↑↓,N↑↑)(或態(tài)SPco(S↓↓,N↓↑,N↑↑))是指態(tài)N↑↓(或態(tài)N↓↑)與超輻射態(tài)S↓↓共存的超輻射區(qū)域(N↑↑態(tài)指零光子的激發(fā)態(tài)),其中水平線(δ=0(a),δ=0.723(b),δ=?0.423(c))將SP超輻射區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域(區(qū)域III和區(qū)域IV).在水平線的上面,只有第一激發(fā)態(tài)從N↓↑變化到N↑↓態(tài),這主要是通過(guò)耦合變化引起自旋反轉(zhuǎn).在臨界線gc↓↑下(區(qū)域VI),除了超輻射基態(tài)S↓↓,還有一個(gè)受激輻射態(tài)S↓↑,這是由正常態(tài)N↓↑(區(qū)域IV)變?yōu)槌椛湎郤↓↑. 而在臨界線gc↑↓上面的區(qū)域內(nèi)(區(qū)域V),同樣有第一激發(fā)態(tài)正常態(tài)N↑↓(區(qū)域III)變?yōu)槌椛湎郤↑↓. 兩個(gè)超輻射態(tài)S↑↓和S↓↑是雙組分BEC中的新觀測(cè),被認(rèn)為是來(lái)自較高能量原子能級(jí)的受激輻射.兩個(gè)分量的穩(wěn)定布居數(shù)反演態(tài)N↑↑存在于整個(gè)區(qū)域.原子與場(chǎng)頻率的失諧僅會(huì)改變不同量子區(qū)的范圍,但原子與場(chǎng)頻率失諧和原子與場(chǎng)不平衡參數(shù)共同調(diào)控新的宏觀多穩(wěn)態(tài).本文觀察到的多穩(wěn)的宏觀量子態(tài)與非平衡量子相變的動(dòng)力學(xué)研究一致[27,28].

圖4 g-δ空間的相圖,其中原子與光場(chǎng)的頻率失諧?/ω =0(a),?/ω =0.5(b),?/ω = ?0.5(c)Fig.4.Phase diagram in g-δ space with the atomfield frequency detuning?/ω =0(a),?/ω =0.5(b),?/ω=?0.5(c).

圖5分別給出了平均光子數(shù)((a1)和(a2))、非平衡原子數(shù)((b1)和(b2))、平均能量((c1)和(c2))在共振條件?=0下隨原子-場(chǎng)耦合常數(shù)的變化,其中非平衡參數(shù)為δ=±0.6.在非平衡參數(shù)δ=?0.6時(shí),且當(dāng)原子-場(chǎng)耦合強(qiáng)度達(dá)到臨界條件gc↓↓=0.46,系統(tǒng)發(fā)生從正常相N↓↓到超輻射相S↓↓的量子相變.從圖5(a1)—5(c1)可以看到:相比于臨界值gc↓↓=0.46,第二組分具有較高的耦合值,即在臨界點(diǎn)gc↓↑=0.55處,此時(shí)出現(xiàn)新的量子相變,即從集體激發(fā)態(tài)N↓↑到集體激發(fā)態(tài)S↓↑之間的相變.這種從原子數(shù)反轉(zhuǎn)的正常態(tài)到超輻射態(tài)相變是由于第二組分原子的存在導(dǎo)致的,可通過(guò)觀測(cè)非平衡原子布居數(shù)和平均能量來(lái)理解該相變.當(dāng)將不平衡參數(shù)調(diào)整為δ=0.6時(shí),在達(dá)到臨界條件gc↓↓=0.26時(shí),系統(tǒng)發(fā)生從正常相N↓↓到超輻射相S↓↓的量子相變,如圖5(a2)—5(c2)所示.新的相變是第一個(gè)分量發(fā)生改變,在臨界耦合gc↑↓=0.401時(shí)發(fā)生從N↑↓到S↑↓的量子相變,此時(shí)集體受激輻射轉(zhuǎn)移到了第一組分.負(fù)的不平衡參數(shù)δ使臨界相變點(diǎn)gc↓↓和gc↓↑右移,而正的不平衡參數(shù)δ使臨界相變點(diǎn)gc↓↓和gc↑↓左移,此結(jié)論與相圖4中的結(jié)論是一致的.

圖5 在原子與場(chǎng)的失諧?=0,原子-場(chǎng)耦合非平衡常數(shù)δ=?0.6和δ=0.6時(shí)的平均光子數(shù)np(a)、非平衡原子布居數(shù)?na(b)和平均能量ε(c)Fig.5.Variations of the average photon number np(a),atom population imbalance?na(b),and average energy ε(c)with respect to the atom- field frequency detuning?=0 in the the atom- field coupling imbalance parameter δ= ?0.6 and δ=0.6.

4 結(jié) 論

利用自旋相干態(tài)變分方法分析了單模腔中雙組分BEC的多穩(wěn)宏觀量子態(tài).當(dāng)調(diào)控兩個(gè)組分之間的原子與場(chǎng)耦合不平衡參數(shù)和原子與場(chǎng)頻率失諧時(shí),體系出現(xiàn)了豐富的相圖.實(shí)際上,當(dāng)兩個(gè)分量在正常自旋狀態(tài)下時(shí),基態(tài)顯示了從正常相到超輻射相的量子相變,這是典型的Dicke模型的量子相變.當(dāng)兩個(gè)分量之間的原子-場(chǎng)耦合不平衡參數(shù)增加時(shí),在相對(duì)較低的耦合值時(shí),正常的自旋狀態(tài)變到反轉(zhuǎn)的自旋態(tài),該狀態(tài)的輻射是來(lái)自原子集體反演的受激輻射.受激輻射還可以通過(guò)操縱原子與場(chǎng)頻率失諧產(chǎn)生.在特定情況下,當(dāng)兩組分原子與場(chǎng)的耦合常數(shù)消失一個(gè)或兩個(gè)耦合相等時(shí),基態(tài)和相關(guān)量子相變退回到標(biāo)準(zhǔn)Dicke模型.自旋相干態(tài)變分方法是研究原子整體與腔場(chǎng)相互作用系統(tǒng)宏觀量子特性的有力工具,因?yàn)樗紤]了正常和反轉(zhuǎn)的贗自旋(導(dǎo)致多個(gè)宏觀量子態(tài)),這與Dicke模型中非平衡量子相變的半經(jīng)典動(dòng)力學(xué)一致[29].