紀(jì)丹丹 張劭光

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,西安 710119)

1 引 言

20世紀(jì)70年代,德國物理學(xué)家W.Helfrich提出了生物膜的彈性曲率模型.他在研究紅血球形狀時,提出生物膜是處于液晶態(tài)這一觀點[1],從液晶的Frank彈性自由能出發(fā),推導(dǎo)出膜的曲率能Eb的表達(dá)式為[2]

式中kc為曲面的曲率模量;kG為對應(yīng)的高斯曲率模量;C1和C2分別為曲面上一點處的兩個主曲率;C0為由類脂分子的不對稱或膜泡兩側(cè)環(huán)境的不對稱所引起的自發(fā)曲率;A為膜的總面積.根據(jù)微分幾何中Gauss-Bonnet定理說明高斯曲率對閉合曲面的積分是一個與虧格n有關(guān)的常數(shù).如果曲面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變,那么就無需考慮與kG有關(guān)的那一項.

在一定溫度及離子濃度下,A為常量;由于滲透壓的作用,膜泡所包圍的溶劑的總體積V通常也為常量.考慮這兩個特性,可將閉合膜泡的總自由能F寫為

式中?P和λ分別是約束體積和面積為常數(shù)而引入的拉格朗日乘子.?P可理解為膜泡內(nèi)、外的滲透壓,λ可理解為膜泡的有效表面張力.由于C0的存在,人們將此模型稱為自發(fā)曲率模型.

Ouyang和Helfrich[3,4]通過對方程(2)的總自由能做變分,由總自由能的一階變分δ(1)F=0,導(dǎo)出平衡時膜泡須滿足的方程為

方程(3)是膜泡形狀的普適方程,稱為Ouyang-Helfrich方程.其中?為曲面的拉普拉斯-貝爾特拉米(Laplace-Beltrami)算子,H=C1+C2/2為曲面的平均曲率,K=C1C2為曲面的高斯曲率.

真實的生物膜是由多種類脂分子和膽固醇構(gòu)成(現(xiàn)不考慮蛋白質(zhì)),由此形成膜上富含不同成分的區(qū)域,這些區(qū)域扮演著重要的生物學(xué)功能,此即生物膜的脂筏模型.人們相信脂筏的形成是由不同類脂分子的相分離導(dǎo)致的.關(guān)于球形膜泡相分離的實驗研究已取得重要進(jìn)展,人們發(fā)現(xiàn)由飽和磷脂分子、不飽和磷脂分子及膽固醇形成的巨型膜泡(giant vesicle),由于不同類脂分子之間的相互作用會導(dǎo)致相分離[5,6],形成由飽和磷脂分子和膽固醇構(gòu)成的Lo相(liquid-ordered phase)子區(qū)域和由不飽和磷脂分子構(gòu)成的Ld相(liquid-disordered phase)子區(qū)域.近年來Yanagisawa等[7]在球形膜泡相分離的基礎(chǔ)上,加入山梨糖醇(sorbitol),改變膜泡兩側(cè)的滲透壓,結(jié)果發(fā)現(xiàn)Lo區(qū)域發(fā)生向外或向內(nèi)吐出很多芽(budding)的現(xiàn)象.剩下的球形母泡將發(fā)生進(jìn)一步的相分離,變成三角海星形,最后變成凹盤形.凹盤形的上下兩面進(jìn)一步發(fā)生向外凸出,進(jìn)而發(fā)生發(fā)芽形變.

多組分膜泡的總能量E是由曲率能Eb和邊界的線張力能El兩部分構(gòu)成:

這里i表示多組分膜泡的不同相(Lo相或Ld相),k(i)表示兩相的曲率模量,σ為兩相邊界處的線張力系數(shù).

多組分膜泡相分離行為是由Lo相的曲率模量ko和Ld相的曲率模量kd以及兩相邊界處的線張力系數(shù)σ決定.通常引入ko和kd的比值ε=ko/kd來表示兩相曲率模量的相對強度,其中ko和kd的量級都為1×10?19J,而目前認(rèn)為ε一般為1.25—4[6,8].

多組分膜泡的穩(wěn)定形狀仍然遵守Ouyang-Helfrich方程,只是在兩相邊界處需要加額外的邊界條件.由于(4)式中膜泡的總能量具有標(biāo)度不變性,所以(2)式中描述膜泡大小的參量A和V只有一個是獨立的,通常引入無量綱的約化體積v(或過剩面積ξ)來描述這個量.為此先定義約化半徑

則約化體積v可定義為

可見v6 1,對于球形v=1.過剩面積ξ表達(dá)式為

對于球形ξ=0,隨著ξ的增大,膜泡偏離球形就越遠(yuǎn).對于同一分支解,具有相同的v(或ξ)但大小不同的膜泡總是有相似的形狀和相同的曲率能Eb.因此只需要一個參量v(或ξ)就可以表示A和V這兩個變量.同時v和ξ都可表示膜泡形狀偏離球形的程度,二者之間的關(guān)系為

同時定義約化線張力系數(shù)

2010年,Yanagisawa等[9]在通過實驗發(fā)現(xiàn)了多組分膜泡相分離成兩相三區(qū)域的有趣現(xiàn)象,同一相可能分布在兩個區(qū)域.如果用Ao表示Lo相的面積,Ad表示Ld相的面積,定義面積分?jǐn)?shù)?o表示Lo相的面積占總面積A的比例,則有

實驗發(fā)現(xiàn),對于ξ<0.1(即v>0.75)的管狀巨型膜泡,在經(jīng)歷相分離后能轉(zhuǎn)化成兩種模式的三區(qū)域膜泡:當(dāng)?o>0.5時,膜泡轉(zhuǎn)變?yōu)橹虚g有一個Lo域的長橢球,稱為相分離模式I;當(dāng)?o<0.5時,膜泡轉(zhuǎn)變?yōu)樯舷掠袃蓚€Lo域的扁橢球,稱為相分離模式II(參見圖1).另外實驗還觀測到了Lo和Ld相呈周期性調(diào)制的細(xì)管狀膜泡,本文重點研究三區(qū)域膜泡.為了解釋實驗上觀察到的現(xiàn)象,Yanagisawa等[9]用幾何上橢球的參數(shù)方程近似代表膜泡的形狀,在此基礎(chǔ)上估算出兩種形狀下對應(yīng)膜泡的總能量,計算得到的相變點為=0.27,但這與實驗上的結(jié)果=0.5差別很大.這種差別是由于他們所采用的近似計算方法的缺陷導(dǎo)致的,還是涉及膜泡彈性曲率模型的適用性問題呢?也就是基于Helfrich自由能的曲率彈性模型能否對三區(qū)域膜泡的穩(wěn)定形狀及相分離的實驗結(jié)果給出滿意的解釋,是本文將要研究的問題.

在實驗上,多組分膜泡邊界的σ值大約介于0.01—5 pN之間[7,10?12],膜泡的半徑如取5μm,根據(jù)(11)式估算出介于0.5—250之間.Yanagisawa等[9]估算出實驗環(huán)境對應(yīng)的約化線張力系數(shù)ˉσ≈50.在如此大的約化線張力系數(shù)下,膜泡對應(yīng)的穩(wěn)定形狀是什么,目前還沒有相關(guān)文獻(xiàn)報道.本文基于Helfrich自由能的曲率彈性模型,用直接極小化方法對相關(guān)問題進(jìn)行研究,探究能否給出與實驗符合的相變點.

Yanagisawa等[9]的實驗分為兩個過程.上文討論的相分離模式I和II的穩(wěn)定形狀可以保持幾十分鐘,然后就開始向長橢球轉(zhuǎn)變,經(jīng)過幾十秒后變成發(fā)芽的形狀(頸部很細(xì)的形狀).目前文獻(xiàn)中還沒有對該相變發(fā)生的機制及必要條件進(jìn)行討論,這是本文的另一個研究重點.本文通過直接極小化的計算表明,只有保證膜泡內(nèi)外溶劑可以自由滲透,即約化體積可以自由改變,才可能發(fā)生發(fā)芽形變.至于膜泡內(nèi)外滲透發(fā)生的機制,或是非常大的約化線張力系數(shù)導(dǎo)致的在兩相邊界處的臨時缺陷,因而造成溶劑的臨時通道,該假設(shè)還需要實驗的檢驗.

2 計算方法

對膜泡穩(wěn)定形狀的求解有兩種方法,一種是直接求解Ouyang-Helfrich方程;另一種是在給定約束下,用直接極小化Helfrich曲率能的方法來給出穩(wěn)定形狀.

求解方程(3)可采用解析方法和數(shù)值方法.但由于方程(3)是高階非線性偏微分方程,很難直接求解,目前只知道一些特解,包括克利福德錨環(huán)解[13]、紅血球解[14]以及擴展的Delaunary曲面解[15].因此人們通常使用數(shù)值方法,通過積分形狀方程來研究膜泡形狀.對于具有旋轉(zhuǎn)對稱性的多組分膜泡,Ouyang-Helfrich方程仍然成立,只需要在兩相的邊界上加上相應(yīng)的邊界條件就可以轉(zhuǎn)化為兩點邊值問題[16].Jülicher等[17]曾研究具有旋轉(zhuǎn)對稱性的兩區(qū)域膜泡的相分離.周五斌和張劭光[18]也通過雙向“打靶法”研究了旋轉(zhuǎn)對稱的兩區(qū)域膜泡在不同ε和下的平衡形狀.

當(dāng)所研究的膜泡形狀不一定具有旋轉(zhuǎn)對稱性時,膜泡的形狀方程為高階非線性偏微分方程,目前還沒有數(shù)值積分的方法,因此人們在研究非旋轉(zhuǎn)對稱的膜泡形狀時會根據(jù)實際問題采用一定的近似.但由于Helfrich變分問題的不同分支解的能量經(jīng)常會非常接近,因而這種近似方法往往得不到正確的結(jié)果,正如文獻(xiàn)[9]中把膜泡形狀簡單用橢圓參數(shù)方程表示無法給出與實驗符合的結(jié)果.

目前對一般的(不一定具有旋轉(zhuǎn)對稱性)膜泡較精確的數(shù)值計算是采用有限元法,通過直接極小化自由能來確定膜泡的形狀.這方面的工作多數(shù)采用Surface Evolver軟件,它是由Brakke教授[19]基于C語言開發(fā)的一個交互有限元模擬軟件,可以在網(wǎng)上下載.它可以計算曲面在各種約束條件下,使表面張力能及其他能量極小化時曲面的形狀,有一套編程語言,使用者能根據(jù)計算內(nèi)容自由靈活地編程.并可根據(jù)需要加入要計算的新能量.該軟件自發(fā)布后經(jīng)近20多年的不斷完善,現(xiàn)已被廣泛的用于微分幾何、化學(xué)以及凝聚態(tài)物理中的晶粒生長等諸多領(lǐng)域.

目前關(guān)于相分離的實驗結(jié)果還不多,文獻(xiàn)[9]的實驗結(jié)果是一重要突破,而目前還沒有針對該實驗的滿意的理論解釋.Gutlederer等[20]用Surface Evolver軟件,在一定的參數(shù)區(qū)間內(nèi)對多組分膜泡能形成的模式進(jìn)行了較詳細(xì)的研究,但目前還沒有針對文獻(xiàn)[9]中的實驗條件的計算結(jié)果,特別是較大的ˉσ值時的計算結(jié)果.

根據(jù)實驗上觀察到的三區(qū)域膜泡,本文建立了如圖1所示的兩種模式的初始形狀(本文圖都是用黑色區(qū)域表示Lo相,灰色區(qū)域表示Ld相):1)中間是Lo相的區(qū)域,Ld相分為上下兩個區(qū)域,稱為相分離模式I,對應(yīng)實驗上觀察到的長橢球形;2)Lo相分為上下兩個區(qū)域,中間是Ld相的區(qū)域,稱為相分離模式II,對應(yīng)實驗上觀察到的扁橢球形.

圖1 兩類初始模型 (a)相分離模式I;(b)相分離模式IIFig.1.Two types of initial model(The black and gray regions represent the Lophase and Ldphase respectively):(a)Phase separation pattern I;(b)phase separation pattern II.

在Surface Evolver軟件中,膜泡的曲率能可表示為

在三區(qū)域膜泡的計算中有一個困難,為了解決兩區(qū)域的邊界線的光滑性,在Surface Evolver的計算中要把兩區(qū)域的邊界線固定在一個平面上,而圖1中的三區(qū)域膜泡具有兩個邊界線,因此需要把它們固定在兩個平面上.因為這兩個平面的距離是預(yù)先給定的,如果再對這兩個平面之間的Lo相或Ld相的面積加上約束值,就會產(chǎn)生約束過多的問題,從而得不到實際想要的計算結(jié)果.以往研究的兩相兩區(qū)域膜泡由于只有一個邊界,就不存在該困難.

為了解決上述三區(qū)域膜泡計算中的困難,注意到膜泡的曲率能具有標(biāo)度不變性,即形狀相似但大小不同的膜泡具有相同的曲率能[16,18,21].該關(guān)系雖然是對單組分膜泡得到的,但可證明其對多組分膜泡仍成立,具體細(xì)節(jié)可參見附錄A.第1節(jié)已經(jīng)指出形狀相似但大小不同的膜泡,只要其約化線張力系數(shù)ˉσ是相同的,就具有相同的線張力能.因此,在實際計算中并不分別給定兩相各自的總面積,而是讓其比值滿足設(shè)定值?o(定義見(12)式)即可,這樣就給出了膜泡在相似的形狀之間變化的自由度.在膜泡的演化過程中,不斷對?o施加約束,而Lo或Ld相的實際面積可以變化,因而膜泡的大小可以自由變化,這樣就可得到滿足設(shè)定值?o的結(jié)果,從而解決了約束過多的問題.在計算的每一步都根據(jù)最新的面積值,由(11)式重新設(shè)定σ值,使得ˉσ保持在本文需要計算的值.另外根據(jù)約化體積的定義(10)式,注意到相似形狀的約化體積是相同的,因此可以在改變膜泡的面積和所包圍的體積的情況下,保持約化體積不變.具體可以在Surface Evolver下通過定義一個量(quantity),來對約化體積v施加約束,而不必分別固定膜泡的體積和面積.

總之在計算中是固定兩相的面積比?o和約化體積v,但其計算結(jié)果和分別固定兩相的面積Ao和Ad及所包圍體積V的計算結(jié)果是完全一致的.

三區(qū)域膜泡的總能量可由三個區(qū)域的曲率能和兩個邊界的線張力能的總和得到(見(4)式).在本文計算中,暫取三區(qū)域膜泡的自發(fā)曲率和高斯曲率模量為零,膜泡的總能量以8πkd為單位.

通過實驗觀察到的三區(qū)域膜泡都是具有上下對稱性的,因此只對上下對稱的膜泡(見圖1)進(jìn)行了計算,這大大減小了計算量.

3 有體積約束時的計算結(jié)果

本節(jié)在計算中給定Lo相和Ld相的面積比?o并加上對約化體積v的約束.根據(jù)第2節(jié)討論,這種計算結(jié)果與給定兩相各自的面積,并加上體積約束的計算結(jié)果是一致的.本文重點討論不同ˉσ值,特別是很大時兩種模式的穩(wěn)定形狀.為了與文獻(xiàn)[9]中的計算結(jié)果進(jìn)行對比,本文在進(jìn)行數(shù)值模擬時,取過剩面積ξ=0.02(由(10)式可得對應(yīng)的v≈0.942),彈性模量比ε=1.25.

圖2 當(dāng)=0.5時,在兩種模式(實線表示模式I,虛線表示模式II)下膜泡的歸一化總能量E/(8πkd)與?o的關(guān)系,圖中給出了在?o=0.25,0.4,0.55時模式I和模式II對應(yīng)的穩(wěn)定形狀Fig.2.Normalized total energy curves of pattern I(solid line)and pattern II(dotted line)with=0.5 as functions of ?o.The stable shapes of pattern I and pattern II with ?o=0.25,0.4 and 0.55 are also shown.

3.2 中等值時膜泡的穩(wěn)定形狀

隨著約化線張力系數(shù)的增大,線張力能逐漸對膜泡的形狀起到了重要的支配作用.這時在兩種相分離模式下的穩(wěn)定形狀都是長橢球形.圖3給出了當(dāng)ˉσ=5.0時,兩種模式下膜泡的總能量隨?o的變化,對于一些典型的?o值,還給出了兩種模式下膜泡的穩(wěn)定形狀.可以看出兩種相分離模式的相變點為=0.45. 當(dāng)?o<0.45時,模式II的長橢球能量低,是穩(wěn)定的.當(dāng)?o>0.45時,模式I的長橢球是穩(wěn)定的.

圖4(a)和圖4(b)分別給出在兩種相分離模式下,膜泡的曲率能及線張力能與?o的關(guān)系.實線代表膜泡曲率能,虛線代表膜泡兩相邊界處的線張力能.從圖4可以看出,當(dāng)=5.0時,在兩種模式下膜泡的曲率能都已顯著小于線張力能.這時線張力能對膜泡的形狀已有重要的支配作用,為減小兩相的邊界長度,從而減小線張力能,在相分離模式II下的穩(wěn)定形狀已變?yōu)殚L橢球形.為了保證結(jié)果的可靠性,本文特意選取不同的初始形狀(包括扁橢球),結(jié)果最后都演化到了長橢球.

圖3 當(dāng)=5.0時,在兩種模式(實線表示模式I,虛線表示模式II)下膜泡的總能量E/(8πkd)與?o的關(guān)系,圖中展示了在?o=0.3,0.5,0.7時膜泡的穩(wěn)定形狀Fig.3.Normalized total energy curves of pattern I(solid line)and pattern II(dotted line)with=5.0 as functions of the area fraction of the Lophase ?o.The stable shapes for ?o=0.3,0.5 and 0.7 are also shown.

圖4 兩種模式下,膜泡的歸一化曲率能Eb/(8πkd)(實線)及線張力能El/(8πkd)(虛線)與?o的關(guān)系 (a)模式I;(b)模式IIFig.4.Normalized bending energy Eb/(8πkd)(solid line)and normalized line energy El/(8πkd)(dotted line)curves of two patterns withˉσ=5 as functions of ?o:(a)Pattern I;(b)pattern II.

圖5 =50時,在兩種模式(實線表示模式I,虛線表示模式II)下膜泡的歸一化總能量E/(8πkd)與?o的關(guān)系,圖中也給出了在?o=0.3,0.5,0.7時膜泡的穩(wěn)定形狀Fig.5.Normalized total energy curves of pattern I(solid line)and pattern II(dotted line)with=50 as functions of ?o.The stable shapes for ?o=0.3,0.5 and 0.7 for the two patterns are also shown.

類似圖5呈現(xiàn)的膜泡形狀確實在實驗中也被觀察到(參見文獻(xiàn)[9]中圖1和圖2).另外發(fā)現(xiàn)在有約化體積約束時,即便對應(yīng)ˉσ=50這么大的約化線張力系數(shù)也不會發(fā)生發(fā)芽形變,只是在兩相邊界處發(fā)生一定程度的內(nèi)箍.這是由于膜泡不但受到v的約束,還受到面積分?jǐn)?shù)?o的約束,而線張力能引起的發(fā)芽現(xiàn)象總是發(fā)生在兩組分的交界處,因此對給定?o,只有特定的約化體積v才能使膜泡發(fā)生發(fā)芽形變(詳細(xì)討論見第4節(jié)),同時給定?o和v一般不能發(fā)生發(fā)芽形變.而單組分膜泡由于沒有?o的約束,在給定v的情況下,就能發(fā)生發(fā)芽形變[21].

4 無體積約束的計算結(jié)果

本節(jié)將探討什么條件能使三區(qū)域膜泡發(fā)生發(fā)芽形變.只有去掉了約化體積的約束(這相當(dāng)于允許膜泡兩側(cè)可以自由滲透),且當(dāng)>7.0時,膜泡才會演化到類似實驗上觀察到的發(fā)芽狀態(tài).

在數(shù)值模擬過程中,同樣建立兩種模式,取ε=1.25,?o=0.5,在相同的?o值下研究ˉσ對膜泡穩(wěn)定形狀的影響.圖6(a)和圖6(b)分別給出了在不加體積約束時,在相分離模式I及模式II下對應(yīng)不同ˉσ值的穩(wěn)定形狀.可以看出,在不加體積約束時,對應(yīng)不同的ˉσ值,穩(wěn)定形狀差別很大.隨著ˉσ的增加,兩種模式下穩(wěn)定膜泡的兩相邊界處截面圓的半徑越來越小.

圖6 無約化體積約束且固定?o=0.5時,不同約化線張力系數(shù)下計算的膜泡的穩(wěn)定形狀及對應(yīng)的約化體積(a)相分離模式I;(b)相分離模式IIFig.6.Stable shapes and corresponding reduced volumes of vesicle calculated for several reduced line tension in the case of ?o=0.5 without reduced-volume constraint:(a)Phase separation pattern I;(b)phase separation pattern II.

當(dāng)ˉσ>7.0時,膜泡的穩(wěn)定形狀差別已不大,已接近無窮小頸部的極限形狀,即發(fā)芽形狀.

圖7 去掉約化體積約束且?o=0.5,ˉσ=7.0時,兩種模式下膜泡形狀的演化過程 (a)相分離模式I;(b)相分離模式IIFig.7.Shape evolution process for ?o=0.5 andˉσ=7.0 without the constraint of reduced volume under two patterns:(a)Phase separation pattern I;(b)phase separation pattern II.

對應(yīng)以上演化過程中的任意一步給出了演化過程中間形狀對應(yīng)的約化體積v.在這些中間形狀中,如果對v重新加上約束則膜泡向發(fā)芽過程的相變就會停止.而如果再逐漸地增大約化體積,膜泡還會演化回粗頸的形狀.可見同時施加v和?o的約束,膜泡一般不會出現(xiàn)發(fā)芽形變,除非v的約束值碰巧等于該?o值下發(fā)芽形狀的值,例如v的約束值取0.592時(見圖7(a)N=60000的膜泡形狀).也就是說去掉體積的約束是發(fā)芽形變發(fā)生的關(guān)鍵因素.因此本文認(rèn)為實驗上觀察到的發(fā)芽形變應(yīng)該是在沒有約化體積約束的情況下得到的.

從以上討論可以看出,多組分膜泡的發(fā)芽形變和單組分膜泡的發(fā)芽形變是截然不同的.以往人們對單組分膜泡的研究發(fā)現(xiàn),發(fā)芽可以發(fā)生在固定約化體積的情況下,例如在自發(fā)曲率模型下改變自發(fā)曲率,或在雙層耦合模型下改變雙層面積差[21].

上述對三區(qū)域膜泡的研究得到實驗觀察到發(fā)芽形狀的兩個條件:一是足夠大(>7.0);二是去掉約化體積的約束.單純增大ˉσ值并不能發(fā)生發(fā)芽形變(見圖5),這是因為多組分膜泡有一個兩相面積比?o的約束(合理的假設(shè)是該值不發(fā)生改變),如果在?o的約束下再施加對v的約束,通常是不可能發(fā)生發(fā)芽形變的.計算表明只有允許膜泡內(nèi)外溶劑可以自由滲透,約化體積可以發(fā)生改變時,才能發(fā)生發(fā)芽形變.

5 結(jié) 論

本文研究了有約化體積約束和無約化體積約束兩種情況下,ε=1.25,不同ˉσ值時,三區(qū)域膜泡的兩種相分離模式的穩(wěn)定形狀,及其之間的相變.

在有約化體積的約束時計算發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論.

2)相分離模式I的膜泡的穩(wěn)定形狀總是長橢球形,而相分離模式II的膜泡的穩(wěn)定形狀并不一定是扁橢球形.當(dāng)ε=1.25,ξ=0.02(對應(yīng)v=0.942)時,計算表明,當(dāng)較小時,在相分離模式II下的穩(wěn)定形狀是扁橢球形.隨著的增大,當(dāng)=5.0時,在相分離模式II下的穩(wěn)定形狀已變?yōu)殚L橢球形,當(dāng)達(dá)到50時,線張力能遠(yuǎn)大于曲率能,這時相分離模式II下的穩(wěn)定形狀一定是長橢球形.這不同于Yanagisawa等[9]認(rèn)為模式I一定對應(yīng)長橢球形,模式II一定對應(yīng)扁橢球形的觀點.

為了說明實驗觀察到的發(fā)芽現(xiàn)象,本文在不加約化體積約束的情況下進(jìn)行了計算,得到發(fā)生發(fā)芽的兩個必要條件:較大的約化線張力系數(shù)(>7.0)和無約化體積約束(即允許膜泡內(nèi)外溶劑可以自由滲透).通過對實驗上的發(fā)芽形變過程進(jìn)行分析,也可發(fā)現(xiàn)與本文計算結(jié)果類似的形狀變化過程.目前已有文獻(xiàn)中并沒有注意到發(fā)芽過程中約化體積發(fā)生了改變,也沒有關(guān)注該自由滲透的產(chǎn)生機制.我們猜測是非常大的約化線張力系數(shù)導(dǎo)致的兩相邊界處的臨時缺陷,因而造成溶劑的臨時通道.當(dāng)然這只是一種可能性,該假設(shè)還需要實驗的檢驗.

最后還須指出,實驗觀察到的三區(qū)域膜泡都是具有上下對稱性的,因此只對上下對稱的膜泡進(jìn)行了計算,這大大減小了計算量.文獻(xiàn)[9]用橢球參數(shù)化膜泡時也預(yù)先假定了膜泡的上下對稱性.至于上下不對稱的膜泡以及兩區(qū)域膜泡為何在實驗中沒有被發(fā)現(xiàn),目前原因還不清楚.

附錄A 兩個相似形狀的膜泡的曲率能和線張力能相等的條件

考慮一個曲面r(u,v),其中黑色區(qū)域代表Lo相,灰色區(qū)域代表Ld相,共有三個區(qū)域:D1,D2,D3,這些區(qū)域有兩個邊界B1和B2.

對該曲面做相似變換,其中α為一實數(shù).則是相似形狀.也有三個區(qū)域:,這些區(qū)域有也兩個邊界

設(shè)r(u,v)各點處的平均曲率為H,面積元為dA,總面積為A,約化半徑為邊界處線元為dl.曲面r′(u,v)各點處的平均曲率為H′,面積元為dA′,總面積為A′,約化半徑為邊界處線元為 dl′.則有

圖A1 曲面r(u,v)及其相似形r′(u,v)=αr(u,v)Fig.A1. Surface r(u,v)and its similar figures r′(u,v)= αr(u,v)

曲面r(u,v)的曲率能為

這里是對每一個兩相的邊界積分,并對所有的邊界求和.例如圖A1中有兩個邊界,則k取1和2.設(shè)曲面r′(u,v)的自發(fā)曲率為,則其曲率能為

這里用到了dl′(k)=αdl(k).要使

即(A2)和(A5)式的右邊相等,只需

通常定義無量綱的約化自發(fā)曲率

則相似形r′(u,v)的約化自發(fā)曲率為

由(A1)式知,可見只要兩個相似膜泡的約化自發(fā)曲率滿足條件

即可滿足條件(A8)式.因此兩個膜泡只要是相似形,并且對應(yīng)的約化自發(fā)曲率相等,其曲率能就是相等的.

要使

即(A3)和(A6)式的右邊相等,只需

可以定義約化線張力系數(shù)為

則相似形r′(u,v)的約化線張力系數(shù)為

可以看出只要

即可滿足(A12)式.因此如果兩個相似形的約化線張力系數(shù)相等,則其線張力能相等.