郭楠楠

（安康學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 安康 725000）

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中，大數(shù)定律又稱(chēng)大數(shù)定理，是一種描述當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)所呈現(xiàn)的概率性質(zhì)的定律。大數(shù)定律并不是經(jīng)驗(yàn)規(guī)律，而是已嚴(yán)格證明了的定理，大數(shù)定律有廣泛的實(shí)用價(jià)值。確切的說(shuō)，大數(shù)定律是以確切的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了大量重復(fù)出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性和平均結(jié)果的穩(wěn)定性，并討論了它們成立的條件。但是由于直覺(jué)認(rèn)識(shí)上的一些誤區(qū)，許多人對(duì)大數(shù)定律有直覺(jué)上的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，本文主要給出了大數(shù)定律直覺(jué)認(rèn)識(shí)的一些誤區(qū)，同時(shí)通過(guò)列舉反例進(jìn)行說(shuō)明。

1 馬爾科夫條件成立時(shí)，切貝謝夫大數(shù)定律不一定成立

若｛ξk｝服從切貝謝夫大數(shù)定律（此時(shí)Dξk≤c，ξ1,ξ2,…,ξk,…相互獨(dú)立），則它一定服從馬爾科大數(shù)定律，因?yàn)檫@時(shí)恒有從而

即切貝謝夫大數(shù)定律是馬爾科夫定律的特例。但是，反之不一定成立。例如，設(shè)ξ1，ξ2，…，ξk,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，ξk的分布列為

從而｛ξk｝滿足馬爾科夫條件。但是，由于Dξk=Ink不恒小于某個(gè)常數(shù)，故｛ξk｝不服從切貝謝夫大數(shù)定律。

2 馬爾科夫條件并非大數(shù)定律成立的必要條件

結(jié)合切比雪夫不等式有

3 不滿足馬爾科夫條件不一定不服從強(qiáng)大數(shù)定律

下面證明其服從強(qiáng)大數(shù)定律。在此例中作

4 獨(dú)立同分布不一定服從強(qiáng)大數(shù)定律