徐亞超　賈兆棟

摘 要： 本文論述了矩的概念在圖像處理中的意義，首先分析了矩的物理意義，進而分析演算了其數(shù)學意義，最終進一步理解矩的圖像意義。分析表明，矩在數(shù)字圖像處理和模式識別中的普遍應用均有其嚴謹?shù)奈锢砗x和數(shù)學邏輯。

關鍵詞： 矩 物理學 統(tǒng)計學 圖像處理 模式識別

0引言

機器視覺技術的發(fā)展是智能化世界到來的強大推手，而機器視覺研究的重點之一是模式識別，高效的提取圖像中的特征信息是模式識別的重點研究課題。本文首先闡述了矩的物理意義，進而分析演算了其數(shù)學意義，最后論述了矩在圖像處理中的科學意義。

1物理中的矩

在力學中，矩是表示距離和物理量乘積的物理量，表征物體的空間分布。原則上任何物理量和距離相乘都會產(chǎn)生力矩，質(zhì)量，電荷分布等。單個點的力矩：，多個點則是積分的空間密度：，如果點表示質(zhì)量，則第零矩是總質(zhì)量，一階矩是重心，二階矩是轉(zhuǎn)動慣量。

2數(shù)學中的矩

在統(tǒng)計學中，矩表征隨機量的分布。如一個“二階矩”在一維上可測量其“寬度”，在更高階的維度上由于其使用于橢球的空間分布。其他矩用來描述諸如與均值的偏差分布情況（偏態(tài)），或峰值的分布情況（峰態(tài)）。實數(shù)域的實函數(shù)相對于值c的n階矩為：，如果點表示概率密度，則第零階矩表示總概率（即1），1，2，3階矩依次為以下三項。數(shù)學中的概念與物理學中矩的概念密切相關。

隨機變量的期望定義為其一階原點矩。在方差等定義中，期望也成為隨機變量的“中心”。隨機變量的方差定義為其二階中心矩：。

歸一化n階中心矩或者說標準矩，是n階中心矩除以標準差，歸一化n階中心矩：，這些歸一化矩是無量綱值，表示獨立于任何尺度的線性變化的分布。

隨機變量的偏態(tài)定義為其三階中心矩。需要注意，任何對稱分布偏態(tài)為0，歸一化三階矩被成為偏斜度，向左偏斜具有負偏度，向右偏斜分布具有正偏度。一般隨機變量的峰度定義為其四階中心矩與方差平方的比值再減3。峰度表示分布的波峰和尾部與正態(tài)分布的區(qū)別，完全符合正態(tài)分布的數(shù)據(jù)峰度值為0?；旌暇厥嵌鄠€變量的矩，比如協(xié)方差，協(xié)偏度，協(xié)峰度。構建為中心轉(zhuǎn)換。

3圖像的“不變矩”

在圖像處理中，圖像矩是圖像像素強度的某個特定加權平均（矩）。通過圖像矩得到的圖像的簡單屬性包括面積（或總強度），其質(zhì)心和關于其方向信息。中心矩在數(shù)字圖像處理中可以改寫為：

。

矩不變量不變量本身的唯一矩是中心矩。 通過構造，任意階中心矩相對于平移都是不變的。相對平移和尺度的不變量可以通過適當?shù)目s放零階中心矩陣從中心矩構建：，平移不變量僅僅在中心矩時直接跟隨使用。我們經(jīng)常提到的Hu矩七個不變矩的構造即是平移、放縮和旋轉(zhuǎn)不變的。

4結語

一階矩與形狀有關，二階矩顯示曲線圍繞直線平均值的擴展程度，三階矩則是關于平均值的對稱性的測量。不變矩是圖像的統(tǒng)計特性，滿足平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)均不變的不變性。由三階矩以下矩構成的七個矩不變量具有平移、旋轉(zhuǎn)和尺度不變性等等。

參考文獻：

[1] 王耀明.幾何矩及其幾何矩不變量（英文）[J].上海電機學院學報，2006，2：7-10.

[2] 張偉，何金國.Hu不變矩的構造與推廣[J].計算機應用，2010，9：2449-2452.

作者簡介：一作：徐亞超（1992—），漢，籍貫山東泰安，研究生，山東科技大學，研究方向：機器視覺與模式識別。

二作：賈兆棟（1990—），漢，籍貫山東泰安，研究生，山東科技大學，研究方向：機器視覺與模式識別。