徐大剛

柯西不等式在不等式證明中占有重要的地位，而二維柯西不等式在高中數(shù)學(xué)競賽中有會(huì)成為“?？汀?，且二維柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的代數(shù)、幾何、三角等各個(gè)方面都有聯(lián)系，熟悉這些聯(lián)系能本質(zhì)地把握不等式，并更自覺地應(yīng)用它，本文將從多個(gè)角度來證明該不等式。

二維柯西不等式：若a、b、c、d∈R，則

[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

證明：若[a2+b2=0]或[c2+d2=0]時(shí)，不等式顯然成立。

現(xiàn)證明[a2+b2≠0]且[c2+d2≠0]的情況。

證法一：向量法：

設(shè)[m=（a]，[b）] [n=（c]，[d）]

[m=a2+b2] [n=c2+d2]

[∴m·n=ac+bd]

[又∵m·n≤m·n]

[∴ac+bd≤a2+b2·] [c2+d2]

兩邊平方得：[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

當(dāng)且僅當(dāng)[m]與[n]共線時(shí)取等號(hào)

證法二：全量不小于部分：

[∵a2+b2c2+d2=（ac+bd）2+（ad-bc）2]

[（ac+bd）2+（ad-bc）2≥（ac+bd）2]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)取等號(hào)。

證法三：復(fù)數(shù)的模不小于實(shí)部（虛部）：

設(shè)[Z1=a-bi] [Z2=c-di]

則[Z1=a2+b2] [Z2=c2+d2]

[Z1·Z2=ac+bd+ad-bci]

[Z1][·][Z2][=][a2+b2·c2+d2][=][（ac+bd）2+（ad-bc）2][=][Z1·Z2]

而[Z1] [·][Z2][=][（ac+bd）2+（ad-bc）2]≥[ac+bd2][=][ac+bd]

[∴a2+b2·c2+d2≥ac+bd]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

證法四：斜線段不小于垂線段：

[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]等價(jià)于[ac+bda2+b2≤c2+d2]

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B（c，d） A（b，-a），直線OA：ax+by=0

設(shè)點(diǎn)B到直線OA的距離為BH，

[BH=ac+bda2+b2]

[∵BH≤OB]

[ac+bda2+b2≤c2+d2]

[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

證法五：余弦定理：

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（a，b） B（c，d）

則在[△AOB]中

[cos∠AOB=OA2+OB2-AB22OA·OB]

=[a2+b2+c2+d2-（a-c）2+（b-d）22a2+b2·c2+d2]

=[ac+bda2+b2·c2+d2]

∵[cos∠AOB≤1]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

證法六：判別式法：

構(gòu)造二次函數(shù)[f（x）=a2+b2x2-2ac+bdx+c2+d2]

∵[f（x）=a2+b2x2-2ac+bdx+c2+d2]

=[（ax-c）2+（bx-d）2≥0]

∴可知判別式不大于0

即：[△=4ac+bd2-4a2+b2c2+d2≤0]

∴[（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）]

參考文獻(xiàn)

[1]羅增儒.高中數(shù)學(xué)奧林匹克.陜西師范大學(xué)出版社.

[2]全日制普通高級(jí)中學(xué)教材書·數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）.