徐 琦，羅路平，夏 力

(浙江工業(yè)大學 浙江省特種裝備制造與先進加工技術重點實驗室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

數(shù)控機床為先進制造行業(yè)的基礎裝備，其加工精度及可靠性決定了我國機床制造業(yè)的水平。數(shù)控機床實際加工過程中，存在許多類型各異、產(chǎn)生原因復雜的不確定性誤差，常常導致數(shù)控機床精度低、可靠性差等問題。常見機床誤差主要分為幾何誤差、熱誤差、切削力誤差、運動誤差、夾具誤差、伺服誤差等。其中，當溫度變化較穩(wěn)定時，幾何誤差是最重要的誤差因素之一，約占總誤差的40%[1-2]，因此在機床研制過程中，優(yōu)化幾何誤差能有效提高機床精度可靠性。

近年來，數(shù)控機床精度可靠性優(yōu)化受到了國內(nèi)學者的廣泛關注，如鄭財、黃賢振等[3]基于多體系統(tǒng)理論建立的數(shù)控機床空間幾何誤差模型，運用改進的一次二階矩法和蒙特卡洛法，進行了三軸數(shù)控機床空間加工精度可靠性計算；李翠玲[4]、賈丹丹[5]等基于多體系統(tǒng)理論，建立了數(shù)控機床的誤差模型，結(jié)合隨機輸入誤差，進行了機構運動精度可靠性計算；田文杰[6]、劉恩[7]等利用激光干涉儀基于九線法檢測，通過幾何誤差辨識模型，對數(shù)控機床運動軸幾何誤差進行了溯源，為機床精度優(yōu)化提供了理論指導；韓飛飛[8]借助球桿儀對平面綜合誤差進行圓檢驗，分析了工件坐標系下綜合誤差分量與球桿儀半徑變化之間的關系，獲得了圓偏差產(chǎn)生的各項因素及所占比例，通過機床硬件調(diào)整、修理、更換，快速提高機床的精度性能。

綜上所述，目前學者們大多是基于建立的數(shù)控機床空間誤差模型及儀器測量的方式，確定較簡單的數(shù)控機床的幾何誤差值，并未根據(jù)數(shù)控機床傳動機構的結(jié)構，進行幾何誤差的深層溯源確定。

本文以某數(shù)控機床傳動機構為研究對象，在機床空間誤差建模的基礎上，根據(jù)影響因素誤差多層映射模型，得到X、Y、Z軸3個方向上的傳動機構主要零部件參數(shù)與機床空間幾何誤差的傳遞模型；利用一次二階矩法進行混合幾何誤差精度可靠度分析，結(jié)合可靠度靈敏度分析，實施數(shù)控機床傳動機構精度可靠性優(yōu)化，確定機床傳動機構幾何誤差的精度參數(shù)。

1 某數(shù)控機床幾何誤差建模

1.1 基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機床幾何誤差建模

某數(shù)控機床為三軸伺服直聯(lián)控制半閉環(huán)立式加工中心。三軸均為鋼球滾動直線導軌，采用高精度高強度的內(nèi)循環(huán)雙螺母預壓大導程滾珠絲杠，且主軸通過同步帶驅(qū)動伺服電機，其機構簡圖如圖1所示。

圖1 某數(shù)控機床機構簡圖

以數(shù)控機床床身為參考體進行標定的拓撲結(jié)構圖如圖2所示。

圖2 拓撲結(jié)構圖0—床身;1—X向滑臺;2—Y向工作臺;3—Z向?qū)к?4—主軸;5—刀具

結(jié)構包括床身—工作臺運動鏈和床身—刀具運動鏈，在此基礎上建立基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機床幾何誤差模型[9]。

導軌X軸方向的6項誤差如圖3所示。

圖3 導軌X軸方向的6項誤差

由位姿變化矩陣傳遞法則可知[11]，點Ki在相鄰低序體G坐標系中的位置坐標可以表示為：

(1)

式中：TSG—高序體S與相鄰低序體G之間的位姿變換矩陣；TKS—高序體K與相鄰低序體S之間的位姿變換矩陣；PKi—點Ki在體K坐標系中的位置坐標。

因此，數(shù)控機床移動軸在經(jīng)過微小移動和轉(zhuǎn)動后，位姿誤差變換矩陣和垂直度誤差變換矩陣分別為：

(4)

式中：Δx,Δy,Δz—變換過程中沿X、Y、Z軸的微小移動量。

根據(jù)幾何誤差變化方法，相鄰序體間實際(有誤差)運動的變換矩陣可表示為：

Tij=TijpΔTijpTijsΔTijs

(6)

式中：Tijp—序體相對靜止的理想位置變換矩陣;ΔTijp—序體相對靜止的實際位置變換矩陣;Tijs—序體相對運動的理想位置變換矩陣;ΔTijs—序體相對運動的實際位置變換矩陣。

故數(shù)控機床的各序體之間的空間位置誤差轉(zhuǎn)換矩陣可以表示為：T01=RyzT(x)，T12=RxyT(y)，T03=RzxT(z)，T34=I4×4，T45=I4×4。

設刀具上的成型點在刀具坐標系中的齊次坐標為Pt=(ptx,pty,ptz,1)T，在工件坐標系內(nèi)理論位置變化曲線為Pw=(pwx,pwy,pwz,1)T，因此數(shù)控機床空間位置誤差可是表示如下：

E=T01T12Pw-T03T34T45Pt=(Ex,Ey,Ez,1)T

(7)

式中：Ex,Ey,Ez—數(shù)控機床X、Y和Z軸3個方向位置誤差。

1.2 數(shù)控機床傳動機構幾何誤差建模

本研究根據(jù)數(shù)控機床誤差傳遞結(jié)構，建立能直觀反映數(shù)控機床零部件與數(shù)控機床末端位姿精度耦合和遞進影響關系的影響因素多層映射模型圖，如圖4所示。

圖4 數(shù)控機床傳動機構精度可靠性影響因素多層映射模型

本研究根據(jù)該模型圖確定數(shù)控機床傳動機構主要零部件參數(shù)與數(shù)控機床空間幾何誤差項的傳遞關系，建立更為具體、精確的數(shù)控機床傳動機構的空間幾何誤差傳遞模型，為精度可靠性優(yōu)化打下基礎。

針對影響因素層1和2，將數(shù)控機床傳動機構簡化為控制電機—齒輪減速機構—滾珠絲杠—工作臺/刀具，數(shù)控機床傳動機構結(jié)構示意圖如圖5所示。

圖5 數(shù)控機床傳動機構結(jié)構示意圖

由圖可知：滾珠絲杠的幾何誤差將最直接影響工作臺或者刀具的幾何誤差。為了適當簡化分析模型，本研究通過對X、Y、Z軸3個方向上的滾珠絲杠副進行具體分析，確定滾珠絲杠幾何誤差與數(shù)控機床21項幾何誤差的對應關系。

以X軸朝向的滾珠絲杠為例進行分析，根據(jù)國家標準和現(xiàn)有研究可得如下公式：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

已知數(shù)控機床傳動機構的滾珠絲杠幾何參數(shù)如表1所示。

表1 滾珠絲杠幾何參數(shù)

根據(jù)式(8～12)中各誤差參數(shù)計算公式可得數(shù)控機床X軸誤差參數(shù)分布情況，如表2所示。

表2 誤差參數(shù)分布(直線誤差：μm，角度誤差：弧秒)

將表2中各誤差參數(shù)代入式(8～12)，確定數(shù)控機床X軸傳動機構的幾何誤差分布情況，同理可得數(shù)控機床Y軸和Z軸傳動機構的幾何誤差及對應的垂直度誤差。

數(shù)控機床傳動機構21項幾何誤差參數(shù)及編號如表3所示。

表3 數(shù)控機床傳動機構21項幾何誤差參數(shù)及編號(直線誤差：μm，角度誤差：弧秒)

將表3數(shù)值代入公式(7)可得到數(shù)控機床在X、Y、Z軸3個方向的總誤差Ex、Ey和Ez。

2 數(shù)控機床傳動機構精度可靠性分析

2.1 傳動機構幾何誤差精度極限狀態(tài)函數(shù)

設I為數(shù)控機床傳動機構的最大幾何誤差，則數(shù)控機床傳動機構幾何誤差精度可靠性極限狀態(tài)函數(shù)為：

(13)

式中：*—誤差方向(“+”—沿運動方向；“-”—沿運動反方向)，同方向誤差值進行判斷；i=x，y，z；X—隨機變量向量；Y—區(qū)間變量向量。

由式(7)可知：當數(shù)控機床位置坐標x、y、z，刀具成型點坐標Pt和Pw已知時，極限狀態(tài)函數(shù)G中變量為：

X=(δy(x),δz(x),εy(x),εz(x),δx(y),δz(y),εx(y),

εz(y),δx(z),δy(z),εx(z),εy(z),Sxy,Syz,Szx)

Y=(δx(x),εx(x),δy(y),εy(y),δz(z),εz(z))

2.2 基于一次二階矩的混合幾何誤差精度可靠性計算

數(shù)控機床傳動機構精度性能可以通過極限狀態(tài)函數(shù)值是否大于0來決定，當G<0時，系統(tǒng)失效，故失效概率可表示為：

(14)

式中：Pr{·}—概率。

可靠度可表示為：

R=Pr{I-

(15)

由于區(qū)間變量Y的存在，數(shù)控機床傳動機構的誤差Ei在空間中是由兩個極限邊界面組成的極限狀態(tài)帶，根據(jù)條件概率公式，可得失效概率的最大值和最小值：

(16)

根據(jù)一次二階矩法，失效概率的最值計算公式又可以采用文獻[17]的方法進行計算，即：

(17)

式中：u*—最大概率點。

某數(shù)控機床傳動機構在未經(jīng)過伺服系統(tǒng)控制狀態(tài)下的精度要求：X、Y、Z軸定位精度為0.1 mm，以此為條件，可求得該數(shù)控機床傳動機構精度可靠度，如表4所示。

表4 數(shù)控機床傳動機構精度可靠度

由表可知：數(shù)控機床傳動機構在不同移動方向上的精度可靠性均值為96.89%，最小值為95.21%，精度可靠性較低，需要對各誤差進行合理控制。

3 精度可靠性靈敏度分析及優(yōu)化

3.1 精度可靠性靈敏度分析

由于所有誤差的分布類型、分布參數(shù)都將對可靠性的靈敏程度產(chǎn)生影響，本研究通過可靠性靈敏度分析確定各誤差的分布參數(shù)靈敏度程度。

本文主要通過數(shù)控機床傳動機構在X、Y、Z軸3個方向上的總誤差Ei對各個誤差Δej={δk,εl,Sm}求偏導，得到數(shù)控機床傳動機構各幾何誤差的靈敏度[18]：

(18)

對靈敏度進行歸一化處理，得到對應靈敏度系數(shù)：

(19)

由式(7，18～19)，可求得21項幾何誤差的靈敏度系數(shù)，如圖(6～8)所示。

圖6 X軸方向誤差源靈敏度系數(shù)

圖7 Y軸方向誤差源靈敏度系數(shù)

圖8 Z軸方向誤差源靈敏度系數(shù)

由圖(6～8)可以看出：X軸和Z軸方向上，εy(x)、εy(y)、εy(z)、Szx的靈敏度較高，Y軸方向上，εz(x)、εz(y)、εz(z)、Sxy的靈敏度較高。

誤差源編號如表3所示。并將靈敏度系數(shù)較小的誤差源合并，編號為22。

3.2 精度可靠性優(yōu)化

基于可靠性靈敏度分析結(jié)果，本研究對數(shù)控機床傳動機構21項幾何誤差的精度分配進行優(yōu)化設計。

3.2.1 精度優(yōu)化模型

本研究以制造成本最小化為優(yōu)化目標，建立數(shù)控機床傳動機構幾何誤差的精度分配的優(yōu)化模型[19]：

(20)

式中：xi—各項幾何誤差值；ki—各變量的成本權重系數(shù)。

在設計制造階段，不能精確給出數(shù)值，因此筆者對其進行定性估計，本研究以3個方向上最大靈敏度為成本系數(shù)，進行歸一化處理，得到相應的成本權重系數(shù)[20-22]；λi—線位移和角位移量綱同一化系數(shù)，線位移量綱為λi=1，角位移量綱為λi=57.2[23]；αi—公差特征指數(shù)，取αi=2。

設計變量即為各項幾何誤差項，可表示為：

x=(δx(x),δy(x),δz(x),εx(x),εy(x),εz(x),δx(y),

(δy(y),δz(y),εx(y),εy(y),εzy),δx(z),δy(z),

δz(z),εx(z),εy(z),εz(z),Sxy,Syz,Szx)

根據(jù)數(shù)控機床傳動機構精度要求，X、Y、Z軸傳動方向上的誤差約束條件可表示為：

(21)

根據(jù)各項誤差源的分布情況，單個誤差源的約束條件可表示為：

ximin≤xi≤ximax

(22)

3.2.2 精度可靠性優(yōu)化結(jié)果對比

數(shù)控機床傳動機構幾何誤差分配優(yōu)化的目的是在滿足約束條件下尋找制造成本的最優(yōu)解。本研究基于Matlab編程，采用遺傳算法進行誤差分配優(yōu)化，配置參數(shù)：初始種群數(shù)為200，隨機均勻分布，按0-1二進制雜交，雜交概率為0.8，雙向遷移，運行100代停止，運行求解；采用蒙特卡洛抽樣法求解每組精度分配值的精度可靠性。

分配優(yōu)化結(jié)果如表5所示。

表5 數(shù)控機床傳動機構21項幾何誤差分配優(yōu)化結(jié)果(直線誤差：μm，角度誤差：弧秒)

精度優(yōu)化結(jié)果如表6所示。

表6 數(shù)控機床傳動機構精度優(yōu)化結(jié)果

對比表(3，5)可知：各誤差變量取值與初始誤差均值存在偏離值，且靈敏度系數(shù)較大的誤差偏離值相對更大，而靈敏度系數(shù)較小的誤差偏離值相對較小。在滿足精度要求的前提下，合理選擇較大的誤差參數(shù)，能更大程度地降低制造成本。

由表6可知：優(yōu)化后，數(shù)控機床傳動機構的精度可靠度平均值為99.87%，最小為99.85%，精度可靠度得到提高，成本從優(yōu)化前的286 674降低到187 070，降低34.74%。由此可見，該方法能在滿足精度可靠性的條件下有效地降低了制造成本，為設計制造過程中零部件精度選擇提供了依據(jù)。

4 結(jié)束語

針對數(shù)控機床誤差溯源不充分導致精度低、可靠性差等問題，本研究對數(shù)控機床誤差建模、精度可靠性分析、精度優(yōu)化設計等方面進行了研究，具體為：

(1)建立了數(shù)控機床幾何誤差模型，根據(jù)誤差傳遞結(jié)構，建立了數(shù)控機床傳動機構的幾何誤差傳遞模型和影響因素多層映射模型圖，為數(shù)控機床傳動機構精度可靠性分析和優(yōu)化打下基礎；

(2)結(jié)合數(shù)控機床傳動機構精度可靠度影響因素的不確定性，運用基于一次二階矩的混合幾何誤差精度可靠度分析方法，求解X、Y、Z軸3個運動方向的精度可靠性，以可靠度分析結(jié)果作為優(yōu)化設計指標，全面地反映了幾何誤差對數(shù)控機床傳動機構精度性能的影響；

(3)通過可靠性靈敏度分析，具體量化各誤差變量對數(shù)控機床傳動機構精度可靠度的影響程度，通過機床傳動機構精度分配優(yōu)化，使數(shù)控機床傳動機構的精度可靠性達到99.87%，成本降低34.74%，為數(shù)控機床傳動機構的精度設計、參數(shù)選型提供了更為針對、高效、合理的理論依據(jù)。