林志立 ，李華民 ，董亞強 ，潘 燕

（1.中國科學(xué)院 寧波材料技術(shù)與工程研究所，浙江 寧波 315201；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引言

高速轉(zhuǎn)盤由特定的材料制造而成，其力學(xué)性能依賴于材料、旋轉(zhuǎn)速度和工作環(huán)境。在機械制造業(yè)中，考慮到經(jīng)濟性、高溫環(huán)境、輕量化和耐久性等因素，一般采用耐高溫、低熱傳導(dǎo)的材料[1]。

文獻[2-3]計算了平面壓力條件下空心、實心的旋轉(zhuǎn)圓盤的半解析解，與Durodola和Attia受離心載荷下的結(jié)果進行比較。文獻[4]求解了等厚度空心轉(zhuǎn)盤的位移解析解，證實彈塑性與彈性位移屬于同一數(shù)量級。文獻[5]采用雙剪統(tǒng)一理論，獲得了實心旋轉(zhuǎn)圓盤的應(yīng)力分布。文獻[6]考慮到旋轉(zhuǎn)圓盤的厚度與溫度的相互影響，提出了一種計算變厚度高速轉(zhuǎn)盤的等強度厚度分布的迭代計算方法。文獻[7]運用變材料屬性（VMP）方法計算了非均勻厚度轉(zhuǎn)盤的應(yīng)力，發(fā)現(xiàn)場變量的空間分布是相互影響的。最新的研究表明，在同樣的旋轉(zhuǎn)速度下變厚度轉(zhuǎn)盤的應(yīng)力比均勻厚度的小很多[8]。在此基礎(chǔ)上，Bayat的變厚度旋轉(zhuǎn)圓盤的研究表明，相比均勻厚度的轉(zhuǎn)盤，徑向厚度呈凹的拋物線逐漸減小的轉(zhuǎn)盤，其應(yīng)力和位移更小，材料的使用效率更高[9]。

據(jù)現(xiàn)有文獻所知，多數(shù)研究集中于旋轉(zhuǎn)速度較低的變厚度轉(zhuǎn)盤的線性問題，然而考慮25000r/min旋轉(zhuǎn)速度下高速轉(zhuǎn)盤問題的研究較少?？紤]到轉(zhuǎn)盤的厚度遠(yuǎn)小于直徑，以平面應(yīng)力問題進行理論計算。這項工作的目的是分析在高速旋轉(zhuǎn)工況下空心轉(zhuǎn)盤的幾何結(jié)構(gòu)對應(yīng)力的影響，應(yīng)力的計算采用有限元方法和彈性理論。通過高速轉(zhuǎn)盤靜、動態(tài)力學(xué)特性的分析，為轉(zhuǎn)盤的結(jié)構(gòu)設(shè)計與改進提供重要的理論依據(jù)。

2 彈性理論

假設(shè)內(nèi)、外半徑分別是a、b的等厚度空心圓盤，以角速度ω繞中心軸旋轉(zhuǎn)，材料密度是ρ，彈性模量是E，泊松比是v，按軸對稱問題可以求解理論解[10]。

平衡方程是：

式中：r—轉(zhuǎn)盤上任意點到軸心的距離；

σr—轉(zhuǎn)盤上任意點的徑向應(yīng)力；

σθ—轉(zhuǎn)盤上任意點的切向應(yīng)力。

由（1）可得：

式中：φ=γδr—應(yīng)力函數(shù)。給合（2）可得：

構(gòu)方程和協(xié)調(diào)方程分別是：

式中：εθ—轉(zhuǎn)盤上任意點的切向應(yīng)變；

εr—轉(zhuǎn)盤上任意點的徑向應(yīng)變。

將式（3）、式（4）代入式（5），可得：

將（6）代入（3），可得轉(zhuǎn)盤的應(yīng)力分量：

式中：C1、C2—積分常數(shù)，由力的邊界條件確定。

由空心轉(zhuǎn)盤的邊界條件：

將式（8）代入式（7），可得空心轉(zhuǎn)盤的應(yīng)力分量：

式（9），式（10）僅用于材料彈性狀態(tài)時應(yīng)力分量的計算。

3 有限元建模

3.1 幾何模型的清理與簡化

高速轉(zhuǎn)盤是重大裝備的核心部件之一，其物理尺寸較大，在工作過程中受到徑向離心力的作用。為了準(zhǔn)確地描述高速轉(zhuǎn)盤的結(jié)構(gòu)力學(xué)特性，在建立有限元模型前，先根據(jù)求解的問題，考慮主要因素，對高速轉(zhuǎn)盤進行幾何清理與簡化。

（1）忽略高速轉(zhuǎn)盤的夾緊裝置、緊固螺釘?shù)攘慵?/p>

（2）修復(fù)與改進三維幾何模型，建立正確的結(jié)構(gòu)拓?fù)潢P(guān)系；

（3）刪除所有倒角、R≦3mm的圓孔與圓角；

（4）采用可以有效地提高計算精度的六面體網(wǎng)格，離散高速轉(zhuǎn)盤模型。

3.2 有限元模型的建立

高速轉(zhuǎn)盤的網(wǎng)格劃分，選擇六面體單元尺寸為（2～3）mm。在轉(zhuǎn)盤的中心位置建立一個輔助立方體，并將其離散成邊長為2mm的六面體網(wǎng)格模型，如圖1所示。通過離散高速轉(zhuǎn)盤，定義轉(zhuǎn)盤與輔助立方體的聯(lián)接關(guān)系，創(chuàng)建材料、重力加速度、角速度等參數(shù)，設(shè)定輔助立方體的約束條件，建立起整個高速轉(zhuǎn)盤的有限元模型。

5）受凍果園應(yīng)加強管理，結(jié)合施肥飽灌一水。傷流期過后要根據(jù)受凍程度及時減少花果量和枝葉量，減輕負(fù)載，加強沼肥、油渣、生物菌肥和葉面噴肥的配合使用，使樹體盡快恢復(fù)健壯生長。

考慮到高速轉(zhuǎn)盤的工作環(huán)境，采用超硬鋁合金YH75材料，工藝采用淬火及人工時效，其材料參數(shù)為：密度ρ=2.82×10-9t/mm3，屈服極限σs=470MPa，強度極限σb=530MPa，泊松比v=0.33，楊氏模量 E=7.4×104MPa，剪切模量 G=2.7×104MPa。

4 邊界條件

4.1 約束條件

為了更真實地模擬高速轉(zhuǎn)盤的實際工況，其約束條件為：分別約束住輔助的旋轉(zhuǎn)立方體的上、下平面中心節(jié)點的x、y、z的平移自由度和繞x、y軸的旋轉(zhuǎn)自由度，放開繞z軸的旋轉(zhuǎn)自由度，理論上兩點成線，形成一個自由轉(zhuǎn)動的鉸鏈，實線圓圈，如圖1所示。

圖1 約束定義Fig.1 Constraint Definition

4.2 載荷定義

高速轉(zhuǎn)盤有限元分析中，將旋轉(zhuǎn)角速度施加在轉(zhuǎn)盤的中心軸上，繞z軸旋轉(zhuǎn)，計算瞬時工況下的應(yīng)力。此外，定義轉(zhuǎn)盤的重力加速度曲線，方向沿z軸的負(fù)方向。

4.3 連接定義

為了簡化高速轉(zhuǎn)盤的有限元求解問題，取消轉(zhuǎn)盤的夾緊裝置，通過定義輔助立方體與轉(zhuǎn)盤的夾緊處的六面體單元為剛性連接關(guān)系，來模擬夾緊裝置與轉(zhuǎn)盤的夾緊情況，如圖2所示。

圖2 連接定義Fig.2 Connection Definition

5 計算與分析

5.1 模態(tài)分析

高速轉(zhuǎn)盤前6階固有頻率與振型，如表1所示。其中，第1、2階模態(tài)，第3階模態(tài)，第4、5、6階模態(tài)較為典型，以三類模態(tài)為例進行描述。

表1 高速轉(zhuǎn)盤的前6階固有頻率、臨界轉(zhuǎn)速與振型特征Tab.1 Six Natural Frequencies，Critical Speeds and Mode Shapes of High-Speed Rotating Disk

高速轉(zhuǎn)盤的第1、2階模態(tài)振型，其模態(tài)位移隨著顏色加深而增加，固有頻率都是 708Hz，如圖 3（a）、圖 3（b）所示。2 階模態(tài)振型表示轉(zhuǎn)盤發(fā)生彎曲變形，沿z軸的最大模態(tài)位移在外徑處。高速轉(zhuǎn)盤的第3階模態(tài)振型，其模態(tài)位移隨著顏色加深而增加，固有頻率是1147Hz，該模態(tài)振型表示轉(zhuǎn)盤發(fā)生圓周翹曲變形，沿z軸的最大模態(tài)位移在外徑處，如圖3（c）所示。

圖3 轉(zhuǎn)盤的第1、2、3階模態(tài)振型Fig.3 First，Second and Third Mode Shapes of Rotating Disk

高速轉(zhuǎn)盤的第4、5、6階模態(tài)振型，其模態(tài)位移隨著顏色加深而增加，固有頻率分別是74100Hz、74100Hz、115440Hz，如圖4所示。在3階模態(tài)里，轉(zhuǎn)盤發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，沿z軸的最大模態(tài)位移在外徑處。分析頻率與振型圖，高速轉(zhuǎn)盤的振型以彎曲與扭轉(zhuǎn)為主，有時會出現(xiàn)圓周翹曲振型。從幾個階模態(tài)振型圖看出，在轉(zhuǎn)盤外經(jīng)處發(fā)生較大的模態(tài)位移，各模態(tài)位移比例值，如表2所示。此外，從圖3（c）可見轉(zhuǎn)盤發(fā)生圓周翹曲變形，這是較少見到的模態(tài)振型，表明轉(zhuǎn)盤的徑向結(jié)構(gòu)剛度過低，表現(xiàn)為模態(tài)變形較大。

圖4 轉(zhuǎn)盤的第4、5、6階模態(tài)振型Fig.4 Forth，F(xiàn)ifth and Sixth Mode Shapes of Rotating Disk

表2 轉(zhuǎn)盤外徑處的最大模態(tài)位移Tab.2 Maximum Mode Displacements at Outer Diameter of Rotating Disk

高速轉(zhuǎn)盤的工作轉(zhuǎn)速是25000r/min，遠(yuǎn)離表2所示的最小臨界轉(zhuǎn)速是42480r/min。所以該轉(zhuǎn)盤是滿足設(shè)計要求的，在實際工況下不會出現(xiàn)共振現(xiàn)象。

5.2 應(yīng)力分析

在高速旋轉(zhuǎn)工況下，轉(zhuǎn)盤的應(yīng)力與變形情況是衡量結(jié)構(gòu)是否可靠與改進的重要依據(jù)。高速轉(zhuǎn)盤的工況是：高速電機帶動轉(zhuǎn)盤以轉(zhuǎn)速n=25000r/min，繞轉(zhuǎn)盤軸心線旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)盤受高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的巨大離心力作用，有時還會受到轉(zhuǎn)盤的材料特性、結(jié)構(gòu)特征、加工工藝等因素的影響而產(chǎn)生的偏心力作用。為了避免產(chǎn)生額外的偏心力，高速旋轉(zhuǎn)類零件的結(jié)構(gòu)設(shè)計，應(yīng)該遵循一些規(guī)范：（1）整體結(jié)構(gòu)上下、左右對稱；（2）等強度設(shè)計[6]，即轉(zhuǎn)盤厚度靠近軸心線較厚，遠(yuǎn)離軸心線逐漸減?。唬?）考慮到高速旋轉(zhuǎn)工況，整體結(jié)構(gòu)外形呈凹的拋物線形狀[9]。

圖5 改進前、后轉(zhuǎn)盤的應(yīng)力云圖Fig.5 Stresses of Original and Improved Rotating Disks

圖6 改進前、后轉(zhuǎn)盤的應(yīng)力曲線Fig.6 Stress Curves of Original and Improved Rotating Disks

從圖5（a）可知，原轉(zhuǎn)盤圓角處的應(yīng)力值是465MPa，接近材料的屈服極限值470MPa。還有，靠近中間部位的應(yīng)力值達(dá)到510MPa，已經(jīng)超過材料的屈服極限值，此處結(jié)構(gòu)處于屈服與強度極限之間，當(dāng)轉(zhuǎn)盤的旋轉(zhuǎn)圈數(shù)達(dá)到材料的疲勞極限時，容易造成疲勞破壞。

此外，由圖6（a）可知在原轉(zhuǎn)盤的圓角處與靠近外徑處的主應(yīng)力（0.009s、0.019s，轉(zhuǎn)盤工作的瞬時時刻）都超出理論徑向應(yīng)力值范圍，靠近外徑處的最大切應(yīng)力也超出理論切向應(yīng)力范圍。所以原高速轉(zhuǎn)盤存在明顯的不足之處，需要改進結(jié)構(gòu)或采用性能更好的材料，才能滿足設(shè)計要求。

6 結(jié)構(gòu)改進

根據(jù)自由模態(tài)、應(yīng)力分析的結(jié)果，參照高速旋轉(zhuǎn)類零件的結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范，采用改進措施：

（1）將最大外徑處的厚度從13 mm修改到10 mm；

（2）增加轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)翼的角度，將角度從2.5°修改到7.5°；

（3）實現(xiàn)轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)翼與中間圓柱連接處的光順過渡，即將圓角從R10修改到R100。

改進前、后的轉(zhuǎn)盤結(jié)構(gòu)特征，如圖7所示。

圖7 改進前、后的截面Fig.7 Original and Improved Sections

計算改進后的有限元模型，從上一節(jié)的圖5（b）可知，圓角處的應(yīng)力值降到 430MPa、425MPa、410MPa、430MPa，最大降幅達(dá)到11.8%，如表3所示。此外，靠近中間部位的應(yīng)力值降到410MPa，降幅達(dá)到19.6%，如表3所示。應(yīng)力值均小于材料的屈服極限470 MPa，且留有一定的余量。由上一節(jié)的圖6（b）可知，改進后轉(zhuǎn)盤圓角處與其他部位的主應(yīng)力（0.005s、0.023s）都落在理論徑向應(yīng)力值范圍內(nèi)，最大切應(yīng)力除靠近外徑處也都落在理論切向應(yīng)力范圍內(nèi)，且留有一定的余量，所以滿足強度要求。高速轉(zhuǎn)盤改進前、后的應(yīng)力值，如表3所示。

表3 轉(zhuǎn)盤改進前、后應(yīng)力Tab.3 Stresses of Original and Improved Rotating Disks

7 結(jié)論

通過高速轉(zhuǎn)盤的有限元分析、理論驗證，得出了幾何結(jié)構(gòu)的變化對轉(zhuǎn)盤應(yīng)力的影響，其結(jié)果對于結(jié)構(gòu)設(shè)計與改進具有指導(dǎo)意義。主要獲得如下結(jié)論：

（1）利用商用有限元軟件計算了高速轉(zhuǎn)盤的自由模態(tài)問題，計算結(jié)果顯示原轉(zhuǎn)盤最大外徑處的模態(tài)位移較大，以及第三階模態(tài)振型存在圓周翹曲變形，表明徑向結(jié)構(gòu)剛度過低。模態(tài)分析的結(jié)果還表明，轉(zhuǎn)盤的工作轉(zhuǎn)速25000r/min遠(yuǎn)離最小臨界轉(zhuǎn)速42480r/min，所以在實際工況下不會發(fā)生共振現(xiàn)象。

（2）通過高速轉(zhuǎn)盤的應(yīng)力分析，發(fā)現(xiàn)原轉(zhuǎn)盤的圓角處應(yīng)力值較大，超過材料的屈服極限，所以提出了結(jié)構(gòu)改進措施：修改轉(zhuǎn)盤外徑處的厚度，增加旋轉(zhuǎn)翼的角度，改大圓角實現(xiàn)光順過度，整體外形呈凹的拋物線形狀。改進后的轉(zhuǎn)盤，圓角處的最大應(yīng)力值降低11.8%，靠近中間部位的最大應(yīng)力值降低19.6%，應(yīng)力值小于材料的屈服極限，滿足強度要求。

（3）此外，改進前后的應(yīng)力曲線圖表明，改進后轉(zhuǎn)盤的主應(yīng)力、最大切應(yīng)力都落在理論應(yīng)力值范圍內(nèi)，總體效果是比較理想的。

實際工作情況，也表明改進后高速轉(zhuǎn)盤的結(jié)構(gòu)設(shè)計基本合理，具有足夠的剛度和強度，可以在高速運轉(zhuǎn)的工況下將金屬液體（以銅作為實例）分離成微小顆粒的粉末，基本達(dá)到使用要求。雖然本次研究工作存在一些不足之處，但是對實際工程問題的解決仍具有重要的指導(dǎo)作用。