王華中，魏 暉，高志剛

（1.江西科技學院 汽車工程學院，江西 南昌 330098；2.江西科技學院 協同創(chuàng)新中心，江西 南昌 330098）

1 引言

滾動軸承構造由內圈、外圈、滾動體和保持架四種元件組成，是旋轉機械的支撐部件，其運行狀態(tài)會對整機的運行產生重要影響。據統計，旋轉機械的故障有30%是由軸承故障引起的[1]，因此對其進行監(jiān)測與診斷的研究具有重要意義。

軸承失效的基本形式包括磨損失效、疲勞失效、腐蝕失效、斷裂失效、壓痕失效以及膠合失效等，失效部位主要有內圈、外圈和滾動體等，而診斷方法主要有油液分析技術、噪聲監(jiān)測技術、紅外測溫技術、振動監(jiān)測技術、聲發(fā)射技術以及無損檢測技術等。由于滾動軸承運行狀態(tài)好壞往往直接體現在振動信號中，且振動信號便于在線測定運行工況，工程上一般采用振動監(jiān)測技術監(jiān)測和診斷滾動軸承狀態(tài)。如何從非平穩(wěn)的狀態(tài)信號中提取故障信息特征形成待檢模式，進而進行模式識別或分類，則成了軸承故障診斷的關鍵。

可用于軸承狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷的特征指標有許多，且各個特征指標對軸承健康狀態(tài)的規(guī)律性、敏感性和聚類性不盡相同，包括二十余個時域與頻域特征指標[2]。由于外載荷、摩擦力以及隨機干擾力的存在，軸承振動呈現出非線性、非平穩(wěn)的特點，基于時域特征或頻域特征的診斷方法存在著原理性的不足。為此國內外學者發(fā)展了諸多非線性的方法，如Morlet小波降噪、EEMD、VMD以及分形方法[3-6]。其中，分形特征由于其模式描述和區(qū)分能力強、特征參數少而廣泛應用于旋轉機械的故障診斷[7-9]。

文獻[5]采用形態(tài)學操作計算分形維數的方法，對實際的滾動軸承正常、滾動體故障、內圈故障和外圈故障信號進行了分析與對比，得出外圈故障的分形維數最低，但未對分形計算后的特征值進行分析；文獻[7-9]利用關聯維數或廣義維數判別滾動軸承故障，但相關分形維數的無標度區(qū)間確定及計算開銷限制了其應用。此外，目前的研究多采用分形維數作為特征參數靜態(tài)的刻畫軸承失效過程，而軸承振動狀態(tài)從早期異常到功能失效是一個逐漸劣化的過程，其在軸承全壽命周期內并非平穩(wěn)的。

2 分形及分數維

2.1 分形的概念

分形定義為“其組成部分和整體以某種方式相似的形”（Benoit Mandelbrot，1986）。1967年 Mandelbrot提出分形的概念，并應用于海岸線的度量，分形理論已廣泛應用于計算機圖形學、機械工程、物理、化學、生物醫(yī)學、材料科學、水文地質乃至氣象、經濟管理等學科領域。分形理論作為一種數學工具，可從時間序列數據中研究復雜系統的分形特征，對于人們理解復雜系統的動力學行為機制提供了分析手段。分形理論的基本內容包括分形集的自相似性與無標度性。這種自相似性表現為在一定標度范圍內其形態(tài)、功能或信息的自相似；而具有分形特征的物體沒有特征尺寸，其形態(tài)、內在的復雜程度、不規(guī)則性等各種特性在每個層次上均保持一致。這種自相似性可以是嚴格的，也可以是統計意義上的相似，相應分別稱為“有規(guī)分形”與“無規(guī)分形”。自然界中的大多數分形是無規(guī)分形。

2.2 分數維

無規(guī)分形廣泛存在于各類復雜系統的振動。分數維（分形維數）是分形理論中的主要參數，它定量描述分形集的復雜度與不規(guī)則程度。Mandelbort首先提出用分數維來描述分形現象，而非一般拓撲集的整數維。

由于可采用不同的尺度度量分形集，而分數維則表示為度量結果與度量尺度的某種比值，因此分數維有多種定義形式。其中建立在相對比較容易處理的測度概念的基礎上的Hausdorff維數（Hausdorff Dimension）是分形理論中一種最基本的分數維，其數學概念清晰，但多數情況下難以計算或估計。工程上多采用盒維數（Box Dimension）、關聯維數（Correlation Dimension）以及信息維數（Information Dimension）等，其中盒維數反映了分形集的幾何尺度情況，信息維數能夠反映出分形集在分布上的信息，而關聯維主要描述的是系統在相空間的軌跡的復雜性。由于盒維數計算較為簡單，多用于低維時間序列的分析。

3 盒維數的計算及其變異性特征

3.1 盒維數定義及計算

盒維數是根據測度關系求分形集維數的。對于一般點集Ω?Rn，如果它可以由Nδ（Ω）個邊長為δ的n維超立方體覆蓋，定義[10]：

并稱其為點集Ω的盒維數。其中，標度δ下的總盒數Nδ（Ω）的計盒方法見式。

式中：ceil（·）—按+∞方向取整函數，max（·）與min（·）—求序列極大值、極小值函數；cellmax—方格最大邊長如圖1，δ=10，Nδ=31。

圖1 標度δ下的總盒數NδFig.1 Box Number in Scaleδ

因此，盒維數的計算流程，如圖2所示。

圖 2盒維數計算流程Fig.2 Flow Chart of Box Dimension

3.2 無標度區(qū)間的確定

就無規(guī)分形而言，自相似性總是存在于一定的尺度范圍，即分形無標度區(qū)，從lnδ～lnNδ圖中確定無標度區(qū)是盒維數計算的關鍵確定無標度區(qū)是盒維數計算的關鍵。目前無標度區(qū)的確定方法有相關系數檢驗法、三折線段擬合法和遺傳優(yōu)化選擇算法。相關系數檢驗法是將數據點進行相關系數檢驗，若檢驗能通過，就將該段數據作為無標度區(qū)。采用最小二乘擬合+穩(wěn)健估計選擇無標度區(qū)間，如圖3所示。

圖3 無標度區(qū)間的確定Fig.3 Identity of Scale-Invariant Region

3.3 平穩(wěn)性檢驗與變異性評價

以往的研究多以軸承振動信號的盒維數、信息維、關聯維數、廣義維數作為故障特征[5-7-10]，靜態(tài)的分類軸承的故障模式。然而隨著故障的發(fā)展，其分形維數應為變化的。將分形維數作為一個隨機過程，分析序列的平穩(wěn)性，或能更深刻的描述軸承失效故障的發(fā)展。如序列是平穩(wěn)的，我們可采用一階矩或二階矩表征序列的統計特征；如非平穩(wěn)，則可考慮采用序列的變異性作為失效特征。

平穩(wěn)性反映了時間序列的內部邏輯性，關于序列平穩(wěn)性可采用單位根檢驗判別，如ADF檢驗（Augmented Dickey-Fuller Test）。ADF是檢驗序列中是否存在單位根，如不存在則接受序列平穩(wěn)的假設，如存在則拒絕假設。

當從統計意義上均拒絕了分形維數序列的平穩(wěn)性假設，那么考察序列的變異性將是合理的。引入變異系數（Coefficientof Variation，C.V），通過二階矩與一階矩的關系來刻畫這種變異性：

式中：S.D—序列的標準差；

xav—序列的均值。

4 計算結果與比較

為驗證分形維數在軸承外圈故障診斷中的有效性，采用美國辛辛那提大學IMS中心的全壽命軸承失效實驗[3]的第2組數據作為分析樣本，分析盒維數作為特征參數，對Rexnord ZA-2115雙列滾子軸承的外圈工作狀態(tài)進行了仿真。

4.1 分析樣本及實驗條件

實驗時間為2004年2月12日至2004年2月19日，其中，軸承1外圈在2004年2月19日0：02-6：22前后失效[3]。實驗條件，如表1所示。實驗臺及傳感器布置，如圖4所示。部分數據樣本，如圖5所示。

表 1實驗條件Tab.1 Test Condition

圖4 軸承試驗臺及傳感器布置Fig.4 Bearing Test Rig and Sensor Placement

圖5 軸承外圈振動樣本（局部）Fig.5 Vibration Sample of Outer Race（Partial）

4.2 仿真結果及分析

采用式計算盒維數，主要計算參數選擇如下：

式中：cellmax—樣本分析的長度。

計算軸承1外圈失效的盒維數，如圖6所示。

可得，IMS全壽命軸承失效實驗數據的軸承1外圈正常工況與失效工況下振動波形盒維數的均值、標準差、偏度、峰度以及極大值、極小值及變異系數，如表2所示。此外，對圖6數據采用ADF進行平穩(wěn)性的檢驗，從統計意義上均拒絕了外圈正常狀態(tài)與失效狀態(tài)下振動波形盒維數的平穩(wěn)性假設。但由表2可知，兩種狀態(tài)下的標準差與峰度還是有著較大的差異。如式，引入變異系數來刻畫盒維數的特征，可知：外圈正常狀態(tài)下振動波形盒維數的變異系數約為0.47978%，而失效狀態(tài)下振動波形盒維數的變異系數為3.18239%，如表2所示。

圖6 軸承1的盒維數Fig.6 Box Dimension of Bearing 1

表2 盒維數數據統計Tab.2 Statistical Index of Box Dimensions

5 結論

在軸承失效的判別中引入分形理論，然后選擇盒維數作為軸承故障特征，并以IMS的軸承全壽命失效實驗數據為樣本，對盒維數的軸承外圈失效進行了驗證。（1）軸承振動具有分形特征，外圈正常工況與失效工況的盒維數分布在（1.61～1.79）區(qū)間，其均值差異不大；（2）外圈正常工況下，盒維數標準差＜0.01；當外圈失效時，盒維數標準差＞0.05；（3）盒維數的時間序列在正常及失效兩種狀態(tài)下均非平穩(wěn)，但其變異系數差異較大。分析軸承振動盒維數的變異性，或許可以作為軸承外圈失效的判斷依據。