周建國

大約1500多年前，《孫子算經》中記載了這樣一個有趣的問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。問籠中各有幾只雞和兔？這就是著名的“雞兔同籠”問題。

在現實生活中，人們根本不會把雞兔關在同一個籠子里，就算是出現了這樣的情況，也不會通過去數頭和腳來計算雞兔的數量，那為什么這樣的一個不可能發(fā)生的問題卻能經過1500年的洗禮流傳至今呢，它經久不衰的魅力究竟在哪兒呢？教學“雞兔同籠”問題究竟能給孩子帶來什么？我通過對“雞兔同籠”的教學，對這個問題進行了一些膚淺的探究，下面我就來談談所發(fā)現的“雞兔同籠”問題中數學思想方法的滲透。

一、化歸思想的滲透

化歸是指將有待解決的問題，通過轉化歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去，以求得解決。“化繁為簡”就是這一思想方法的運用。

《算經》中“雞兔同籠”問題的數據比較大一些，為了便于小學生進行研究，根據化繁為簡的思想，將原題中的數據修改為較小的數據。如：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有22只腳。雞和兔各有幾只？”（以下均以此題為例）這樣在學生掌握了解決“雞兔同籠”問題的一般思想方法和策略后，再應用于解決《算經》中數據比較大的原題時，更來得簡單容易。

二、數形結合思想的滲透

“數無形，少直觀，形無數，難入微”。運用數形結合，借助形象的圖形，可以使得某些抽象的數學問題直觀化，生動化，從而讓學生的數學學習變得生動有趣，更加符合小學生的學習心理。

三、列表枚舉思想的滲透

用列表枚舉法解決問題，就是把所有的可能的問題答案逐個找出來，再以表格的方式進行整理，利用問題中的已知信息進行驗證，得從而得到正確答案。它是一種非常樸實并且實用的解決問題的方法。

在例題教學中，可以引導學生根據“雞兔共有8個頭”這一個條件，大膽地猜測“雞、兔各幾只？”并用表格的形式逐一羅列出可能的問題答案，再根據“有腿一共22只”來驗證。

在不斷的猜測、驗證的過程中，學生發(fā)現了“如果總腳數多了，就是兔子的只數猜多了，就要減少兔的只數而增加雞的只數；反之，則應減少雞的只數增加兔的只數?！鄙踔劣袑W生發(fā)現如果“從中間數（即雞兔各4只）開始猜，腳多就多猜雞，腳少就多猜兔?！蹦芨涌旖莸卣业絾栴}的準確答案。這樣的學習過程既符合小學生的認知規(guī)律和解決問題的習慣，同時又滲透了枚舉思想，并不斷地優(yōu)化枚舉策略，進一步提升學生思維的靈活性。

四、假設思想的滲透

假設思想是將憑借創(chuàng)造性想象，將題中的某個條件假定為與之相近的另一個條件，并從假定條件入手，分析數量關系。假設是一種重要的數學思想方法。合理運用假設法，往往可以使問題化難為易，使解題另辟蹊徑，有利于培養(yǎng)靈活的解題技能。

雞和兔的腳的只數不同是學生在解決“雞兔同籠”問題時最大的思維障礙，為了消除這一障礙，在例題教學中，假設讓每只雞都長出2只腳來，這樣雞和兔子都有四條腿，這時候假設的情況一共就有8×4=32只腳了，比實際的“22只”多了32-22=10只，所以雞就有10÷2=5只，兔就有8-5=3只。學生對雞再長2只腳的假設非常感興趣，既激發(fā)了探索欲，也使得學生喜歡上這種天馬行空的“假設法”解決問題的策略，古人解決“雞兔同籠”問題的“抬腳法”，其中也應用了“假設法”。

五、建模思想的滲透

“學生學數學就是經歷數學化過程，就是把數學研究對象的某些特征進行抽象，用數學語言、圖形或模式表達出來，建立數學模型?！苯⒛Ｐ褪侵溉藗冊谝詳祵W方式研究具體問題時，通過一系列的思維活動來探究、挖掘具體事物的本質與關系，最終以符號、模型等方式將其中的規(guī)律揭示出來，使復雜的問題本質化、一般化，讓同類問題的解決有了共同的程序與方法。

在例題教學中，假設8只全部都是雞或者全部都是兔，再計算全部是雞或者全部是兔子的腳的總數與實際的“22只”總數之間的差距，最后就可以推算出雞和兔的只數。比如，假設8只全是兔，那么假設的腳的總數有8×4=32只，比實際的“22只”多了32-22=10只，所以雞就有10÷2=5只，兔就有8-5=3只。在解決了“雞兔同籠”問題后，通過引導學生觀察、思考假設的這一過程，概括提煉解題模型：“雞數=（雞兔總數×4-實際的腳數）÷（4-2）”；同理，用“抬腳法”假設，則可以得出“兔數=（實際的腳數-雞兔總數×2）÷（4-2）”。在抽象出數學模型后，引導學生利用模型解決類似的實際問題，如“龜鶴問題”、“坐船問題”、“答題問題”“捐款問題”等，溝通這些問題與“雞兔同籠”問題的聯系，再進一步求解，可以使模型得到的鞏固、擴展，從而促進知識的內化、思想的升華。

以上就是“雞兔同籠”問題的解法中蘊含的幾種數學思想方法，從上述討論中看出每一種解法中可能蘊含不止一種數學思想。在教學時，既要讓學生掌握解決“雞兔同籠”這一問題的策略，也要滲透一些數學的思想方法，從而提升其思維能力。但切記多種方法不必也不宜一哄而上，應當根據教材、學生的年齡和心理特征，引導學生充分展示、交流不同的方法，讓學生選擇適合自己的方法解答的同時，感悟不同的數學思想。數學思想方法是數學學習的精髓，是將學生所學習的數學知識轉化為解決實際問題能力的橋梁，唯獨構建起這個橋梁，才能讓學生在學好數學的同時，又能用好數學，借助數學來服務于他們的生活。