楊濤 殷嫻

解析幾何是數(shù)學(xué)最基本的分支學(xué)科之一，是近代變量數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個重要的里程碑，是數(shù)學(xué)方法論上一次大的飛躍，也是科學(xué)技術(shù)最基本的數(shù)學(xué)工具之一。本文通過追溯解析幾何產(chǎn)生和發(fā)展的歷史，剖析其核心概念和基本思想，挖掘其蘊含的文化內(nèi)涵，以改革平面解析幾何的教學(xué)實踐。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》明確提出：數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。為此，高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，并在適當?shù)膬?nèi)容中提出“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)要求，設(shè)立“數(shù)學(xué)史選講”等專題。

解析幾何是17世紀最重要的數(shù)學(xué)成就之一，在數(shù)學(xué)史上具有劃時代的意義，具有豐富的文化價值和教育價值。高中階段設(shè)置平面解析幾何課程，對學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)、文化認知水平的提高有著特殊的教育意義。

1 解析幾何產(chǎn)生和發(fā)展的歷史背景

數(shù)學(xué)史上，笛卡兒與費馬被公認為解析幾何的共同創(chuàng)始人。1637年，笛卡兒發(fā)表了《幾何學(xué)》，1679年法國數(shù)學(xué)家費馬發(fā)表了《平面與立體軌跡引論》（完成于1636年以前），他們在同一時期從不同的角度闡述了解析幾何原理，他們的這種不約而同，蘊含著解析幾何思想產(chǎn)生的深刻歷史文化背景。

十七世紀，歐洲社會孕育著空前的變革活力，文藝復(fù)興使科技文明獲得新生。新的生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用也帶來了許多實際問題，要求數(shù)學(xué)給予理論上的證明；天文學(xué)、力學(xué)等一系列的新發(fā)現(xiàn)，航海、軍事的需要，使計算成為必需，對數(shù)量工具的需求變得非常迫切。當時的數(shù)學(xué)是一個幾何體系，其核心是歐氏幾何，代數(shù)則居于附庸的地位。歐氏幾何雖有嚴密的公理化邏輯體系，但僅局限于對直線和圓所組成圖形的演繹，面對橢圓、拋物線這些新奇圖形，要求數(shù)學(xué)從運動變化的觀點研究問題，歐氏幾何顯得力不從心，于是促使人們?nèi)ふ医鉀Q問題的新方法。

笛卡兒和費馬恰恰就生活在這樣一個時代。笛卡兒（Descartes），他以哲學(xué)家的眼光審視數(shù)學(xué)，堅信只有數(shù)學(xué)可以提供獲得必然結(jié)果以及有效地證明其結(jié)果的方法。他研究數(shù)學(xué)，目的是想尋找一種能在一切領(lǐng)域里建立真理的方法。他懷疑批判，認為以往的幾何、代數(shù)研究存在很大的缺陷：歐氏幾何中沒有普適的證明方法，而代數(shù)方法雖具一般性，但它完全受控于法則和公式，代數(shù)與幾何必須互相取長補短。他推崇代數(shù)的力量，認為代數(shù)方法在提供廣泛的方法論方面要高于幾何方法，因此代數(shù)具有作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力。于是，他提出了一個計劃，即任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解。

費馬（Fermat），他提出要發(fā)起一個關(guān)于軌跡的一般研究，并考慮用代數(shù)來研究曲線。他提出的一般原理是：只要在最后的方程里出現(xiàn)兩個未知量，就可以用其中一個量來描繪一條直線或曲線所表示的軌跡。費馬明確使用了坐標概念，把希臘數(shù)學(xué)中使用立體圖苦心研究所發(fā)現(xiàn)的曲線的特征，通過引進坐標以一貫的方式譯成代數(shù)語言，進而研究曲線的性質(zhì)，使得各種不同的曲線有了代數(shù)方程這種一般的表示方法和統(tǒng)一的研究手段，實現(xiàn)了幾何問題的代數(shù)化。

與任何新的發(fā)明創(chuàng)造一樣，解析幾何思想的形成也是經(jīng)歷了時間的檢驗才為數(shù)學(xué)界所認可的。人們開始使用它，并在解析幾何思維方式的影響下進一步發(fā)展它。例如：John Wallis在《論圓錐曲線》中第一次得到圓錐曲線的方程，他強調(diào)代數(shù)推理是獨立有效的，并不需要依靠幾何的證實；Newton在《流數(shù)法與無窮級數(shù)》中第一次引進了類似于極坐標系的新坐標系；Jacob Hermann用極坐標研究曲線，還給出了從直角坐標到極坐標的變換公式；Euler在他的名著《引論》中引進了曲線的參數(shù)表示，對平面解析幾何進行了系統(tǒng)討論；進一步地，空間解析幾何也得到了很大的發(fā)展，Clairaut在《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》一書中，給出了一些曲面的方程……解析幾何內(nèi)容得到了不斷的充實和完善。

2 解析幾何的核心概念和基本思想

解析幾何得以建立，需要有一定的基礎(chǔ)，即建立實數(shù)與直線上的點以及有序?qū)崝?shù)對與平面上的點之間的一一對應(yīng)。很早以前人們就有了初步的坐標觀念，例如古埃及人和羅馬人用于測量、希臘人用于繪制地圖的坐標，14世紀法國人奧雷姆試圖用圖線來表示變量之間的關(guān)系等。但在明確提出上述兩個對應(yīng)之前，人們無法用代數(shù)方法來研究幾何問題。

笛卡兒和費馬解決了貫徹這兩個對應(yīng)的方法問題，那就是建立坐標系。利用坐標系將點表示為有序數(shù)組，建立平面上的點與有序數(shù)組之間的一一對應(yīng)，由此將曲線（包括直線）表示為一個方程，然后借助于代數(shù)的運算和變換，對這些數(shù)、代數(shù)式及方程之間的關(guān)系進行討論，再把討論的結(jié)果翻譯成相應(yīng)的幾何結(jié)論。通過坐標系建立曲線（包括直線）與方程的相互聯(lián)系，實現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化和代數(shù)問題的幾何化，使幾何和代數(shù)得以關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合。

3 解析幾何蘊含的文化內(nèi)涵

首先，從數(shù)學(xué)哲學(xué)的角度看，解析幾何的產(chǎn)生和發(fā)展折射出數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)：數(shù)學(xué)是一種文化的積淀、傳承和發(fā)展，它受惠于歷史并創(chuàng)造歷史。數(shù)學(xué)是一種理性精神，它給人們數(shù)學(xué)地探索宇宙以信念。統(tǒng)一是數(shù)學(xué)的美學(xué)要求，追求統(tǒng)一是數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)，對數(shù)學(xué)對象和本質(zhì)的價值評價是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。

其次，從數(shù)學(xué)自身發(fā)展的角度看，解析幾何產(chǎn)生和發(fā)展的歷史體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值：（1）變量的引入開創(chuàng)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先河。笛卡兒將二元方程 中的 看作變量（盡管他未使用這個術(shù)語），實現(xiàn)了由常量數(shù)學(xué)過渡到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折，使以往數(shù)學(xué)中無法描述的動態(tài)問題通過變量得以解決，使數(shù)學(xué)研究擴充到了運動領(lǐng)域，宣告運動數(shù)學(xué)進入了新時代。恩格斯指出：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……”（2）數(shù)與形的結(jié)合揭示了數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性。在解析幾何基本思想的指引下，一個幾何對象被數(shù)（坐標）所完全刻畫，幾何概念可以表示為代數(shù)形式，幾何目標可以通過代數(shù)方法來達到；反過來，它使代數(shù)語言得到了幾何解釋，從而使代數(shù)語言有了直觀意義，可以幫助人們更好地理解數(shù)，并在形的啟發(fā)下提出新的結(jié)論?！爸灰鷶?shù)與幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。（拉格朗日語）”（3）幾何問題代數(shù)化提供了一種解決問題的普適方法。希臘幾何中的許多問題都是個別解決的，而引入解析幾何后就可以用解析方法作一般性的處理。例如，三等分任意角、化圓為方、倍立方體三大尺規(guī)作圖難題，用代數(shù)就可以漂亮迅速地決定它們能還是不能，而離開代數(shù)，決定幾乎是不可能的。而有些幾何曲線，例如旋輪線、對數(shù)曲線、對數(shù)螺線等，如果不用解析幾何的方法，我們將根本無法知道怎么去研究它們的性質(zhì)。解析幾何有一套發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的統(tǒng)一有效且好用的方法，吳文俊院士高度重視解析幾何思想，他創(chuàng)立的“數(shù)學(xué)機械化方法”獲第一屆國家最高科學(xué)技術(shù)獎，他開創(chuàng)了用計算機證明所有已知平面幾何定理的先河。1995年他提出：“中學(xué)應(yīng)該趕快離開歐幾里得，歐氏幾何讓位于解析幾何?！?/p>

再次，從創(chuàng)造心理學(xué)的角度看，解析幾何產(chǎn)生和發(fā)展的歷史展示了數(shù)學(xué)家創(chuàng)造活動的心路歷程：（1）堅定的信念，執(zhí)著的追求。笛卡兒曾多次表明他的數(shù)學(xué)信念，他認為：數(shù)學(xué)是宇宙的語言；數(shù)學(xué)方法是獲得一切科學(xué)知識和解決一切科學(xué)問題的普遍工具；代數(shù)是一門具有普通意義的潛在的方

法的科學(xué)；取代數(shù)與幾何之精華，建立普遍的、統(tǒng)一的“通用數(shù)學(xué)”……這種信念直接影響了笛卡兒數(shù)學(xué)思想的形成和發(fā)展。（2）觀念的選擇。笛卡兒認識到代數(shù)是具有普遍意義的潛在的方法科學(xué)，把數(shù)學(xué)看作方法的科學(xué)，并把數(shù)學(xué)方法當作演繹推理的工具，將代數(shù)推理方法和邏輯相結(jié)合，使之成為普遍的科學(xué)工具。他認為“應(yīng)該存在著某種普遍科學(xué)，可以解釋關(guān)于秩序和度量所能夠知道的一切，它同任何具體題材沒有牽涉，可以叫做普遍數(shù)學(xué)。因為它本身就包含著其他科學(xué)之所以也被稱為數(shù)學(xué)的組成部分的一切?！?這樣一種普遍的科學(xué)方法與數(shù)學(xué)密切相關(guān)卻又不是數(shù)學(xué)，它在方法論上要比作為一種知識的數(shù)學(xué)更為基本，解析幾何具有濃厚的方法論色彩。（3）對美的追求。數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，既是審美的過程也是塑造美的過程。解析幾何思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡約美與和諧美，而蘊涵其中的是數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)立意、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法上獨特的審美追求。

4 新課程下平面解析幾何的教學(xué)實踐

解析幾何具有廣泛而深刻的文化內(nèi)涵，但在高中解析幾何教材中，卻很難看到其思想形成和發(fā)展的歷史蹤跡，因此在解析幾何教學(xué)中應(yīng)滲透解析幾何的思想。

首先，在課程教學(xué)的啟動環(huán)節(jié)，以解析幾何思想的文化內(nèi)涵為素材驅(qū)動解析幾何教學(xué)，可以讓學(xué)生對解析幾何產(chǎn)生的文化和歷史背景、基本思想和學(xué)科特點以及數(shù)學(xué)家創(chuàng)立解析幾何時的數(shù)學(xué)信念、價值判斷、審美追求、數(shù)學(xué)思維等有一個整體的認識，為學(xué)生營造一個渴望認知、理解和掌握知識的富有吸引力的學(xué)習(xí)情境，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的原動力，為解析幾何思想的全面展開奠定基礎(chǔ)。

其次，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中還應(yīng)該重視微觀的一面，即從具體的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想中揭示數(shù)學(xué)的文化底蘊。教材中有許多體現(xiàn)解析幾何思想的好素材，例如：直線是解析幾何的基礎(chǔ)部分，通過用代數(shù)方法討論兩條直線的位置關(guān)系初步體會數(shù)形結(jié)合思想，為進一步研究圓錐曲線及后續(xù)知識提供了范式。在教學(xué)點到直線的距離公式時，可以啟發(fā)學(xué)生先從幾何角度觀察思考，尋找解決思路，再利用坐標法解決，避免繁瑣運算。為了研究各種曲線的性質(zhì)，通過求符合條件的曲線的軌跡方程，讓學(xué)生體會曲線和方程的關(guān)系，實現(xiàn)求曲線方程的完備性和純粹性。在圓錐曲線的教學(xué)中，橢圓具有典型性，對雙曲線和拋物線的研究可以通過類比橢圓的研究來完成。而極坐標系的引入，使三種圓錐曲線得以統(tǒng)一，從而揭示了三種圓錐曲線的關(guān)系，深化對圓錐曲線的本質(zhì)認識等等。

只有當數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、溶入教學(xué)時，數(shù)學(xué)才會更加平易近人，數(shù)學(xué)教學(xué)才能通過文化層面讓學(xué)生進一步理解數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。

（作者單位：無錫城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院）