裴堯

摘 要：隨著素質(zhì)教育改革目標(biāo)不斷的實現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，在教材中通過融入多種教學(xué)思想培養(yǎng)學(xué)生的實際解決數(shù)學(xué)問題的能力，使學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的數(shù)學(xué)知識與實際應(yīng)用進(jìn)行緊密的結(jié)合，做到學(xué)以致用，以達(dá)到為社會培養(yǎng)合格的素質(zhì)教育人才。在學(xué)習(xí)高年級的數(shù)學(xué)知識時，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以有效地解決數(shù)學(xué)中的實際問題。因此在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中充分的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幫助學(xué)生解決實際的數(shù)學(xué)問題越來越受到重視。本文主要基于導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的廣泛應(yīng)用，以相關(guān)知識點為例分析了導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線中最值問題的應(yīng)用在不等式問題中的應(yīng)用，同時簡單介紹了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性和解析簡單幾何問題時的應(yīng)用，希望能為廣大的教育工作者提供理論與經(jīng)驗借鑒。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；圓錐曲線中的最值；不等式；應(yīng)用

引言：

高中階段學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)本是屬于微積分的基礎(chǔ)內(nèi)容，因為考慮到在高中階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識中有多元函數(shù)、不等式、數(shù)列等難度較高的數(shù)學(xué)問題，因此在高中數(shù)學(xué)課本中融入導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠運用導(dǎo)數(shù)對相關(guān)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行更深入的理解與分析，有助于學(xué)生對所學(xué)的高中數(shù)學(xué)知識進(jìn)行深入的掌握與運用。而且在現(xiàn)階段的高考試卷中，對于高中數(shù)學(xué)相關(guān)知識點的考核，也將導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作為了考試的熱門問題。在考試試卷中通過靈活多樣的試題，將學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)的靈活應(yīng)用從多個角度多種問題以及實際應(yīng)用能力等方面進(jìn)行了充分的考核，可見導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性非同一般。因此在高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)過程中，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生充分的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，既加深對所學(xué)高中數(shù)學(xué)知識的理解，同時也讓學(xué)生通過應(yīng)用導(dǎo)數(shù)降低學(xué)習(xí)的難度，更快更準(zhǔn)確更高效的解決數(shù)學(xué)問題。

一、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線最值問題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中從融入了導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識以后，有效的豐富了高中數(shù)學(xué)的知識體系。而現(xiàn)階段，導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，運用導(dǎo)數(shù)解決實際問題為高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的很多常規(guī)問題提供了解決問題的新視野，例如通過導(dǎo)數(shù)問題解決圓錐曲線的相關(guān)問題，尤其是通過導(dǎo)數(shù)的解題思路對圓錐曲線中的切線、中點弦、弦長、距離的最值、離心率取值范圍等相關(guān)問題的解決變得更加容易。

例題1：已知拋物的一個動點P，拋物線外有一點M（4，1）點，求的最小值，如圖1.

令，則導(dǎo)數(shù)。

解析導(dǎo)數(shù)可知，如果x=2，則=0，如則>0，如果則<0，所以x=2時有最小值為。

在解析上述圓錐曲線中的最小值時，通過應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，對被開方數(shù)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而確定了導(dǎo)數(shù)方程式未知數(shù)的值域區(qū)間，然后應(yīng)用分類討論思想，求解出了問題的答案。通過上述例題，我們可以清晰的看出，在解題的過程中，由于運用的導(dǎo)數(shù)，有效的降低了解題的困難，同時也提高了解題的效率，所以在解席高中數(shù)學(xué)中的相似問題時，我們應(yīng)該充分的引導(dǎo)學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)知識，將看似復(fù)雜難解的問題變得簡單容易，提高學(xué)生的解題效率為學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)打下堅實的基礎(chǔ)。

二、運用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)應(yīng)用

單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)，因此我們在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，對于函數(shù)的單調(diào)性不得不進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)了解分析。而在剛開始學(xué)習(xí)函數(shù)時是直接通過定義的方式來讓我們學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性，運用這種方法學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性時顯得較為復(fù)雜而繁瑣，導(dǎo)致很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中覺得難度較高，難以掌握，對很多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本就沒有信心的同學(xué)更是雪上加霜，讓他們覺得函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的難度最高的知識。但是如果我們在教學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時，能夠充分的運用導(dǎo)數(shù)來幫助學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)性，就可以使學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的理解變得簡單容易，有效的簡化了函數(shù)的單調(diào)性問題。

例題2：已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a，求f（x）的單調(diào)區(qū)間。解：f′（x）=-3x2+6x+9，令f′（x）<0，解得x<-1或x>3，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞）。

在解答上述例題時，首先通過函數(shù)的已知條件求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，如果如果導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的值大于零，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，而如果導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的值小于零，則函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)單調(diào)遞減。而在解題的過程中令導(dǎo)數(shù)f′（x）得出x的取值范圍，通過x的取值范圍（x<-1或x>3）就可以將函數(shù)的單調(diào)性表示出來。在分析該到例題的單調(diào)性時，充分的運用導(dǎo)數(shù)使得題目變得簡單容易，而如果繼續(xù)運用定義法對該函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析，難度則會增加許多。例題也可以看出，運用導(dǎo)數(shù)解答該題時程序簡單，可操作性強(qiáng)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)為我們解析函數(shù)的單調(diào)性提供了很大的便利，所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師要充分的引導(dǎo)學(xué)生將導(dǎo)數(shù)知識應(yīng)用到函數(shù)單調(diào)性的求解問題上，使學(xué)生能夠靈活的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識解析函數(shù)的單調(diào)性問題，提高學(xué)生解析函數(shù)問題的靈活性與效率，同時也增強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)相關(guān)知識的深刻理解。

三、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)不等式中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的知識大綱中，不等式的證明屬于高中學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。證明不等式相關(guān)知識的解題方法有很多種，我們在學(xué)習(xí)的過程中可以靈活的選擇有效的方法進(jìn)行不等式證明的學(xué)習(xí)。尤其是對于題目中含有指數(shù)或者是自然對數(shù)的不等式，我們在證明啟恒成立的過程中很難找到其他方法進(jìn)行有效的解決，唯一能夠運用的就是導(dǎo)數(shù)方法可以有效的幫助學(xué)生解題，使相關(guān)的問題變得相對簡單。

例題3：設(shè)a≥0，f（x）=x-1-ln2x+2alnx，（x>0）。求證：當(dāng)x>1時，恒有x>ln2x-2alnx+1.

證明：由a≥0知，f（x）的極小值f（2）=2-21n2+2a>0

對于范圍內(nèi)，恒有f（x）-x>0，故f（x）在內(nèi)單調(diào)遞增。

所以當(dāng)x>1時，f（x）>f（1）=0，即X-1-ln2x+2alnx>0，

故當(dāng)x>1時，恒有x>ln2x-2alnx+1.

在運用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立的相關(guān)問題時，其關(guān)鍵問題就是將不等式轉(zhuǎn)換成函數(shù)問題，再轉(zhuǎn)換成函數(shù)之后，需要對函數(shù)進(jìn)行分析，如果函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)則可以運用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解題，而如果函數(shù)是非導(dǎo)函數(shù)，則不能運用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解題。如果轉(zhuǎn)換出來的函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，通過對函數(shù)的求導(dǎo)，然后運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題和單調(diào)性問題，就可以有效的將不等式恒成立的證明問題轉(zhuǎn)換成求函數(shù)的最值問題，這樣解題就變得相對容易。

四、結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)對于很多學(xué)生來講都覺得是難度相對較高的一門學(xué)科，但是當(dāng)我們找到有效的學(xué)習(xí)方法之后，就會發(fā)現(xiàn)其實高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識并沒有那么難。本文通過分析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)重要知識解題過程中的應(yīng)用，介紹了運用導(dǎo)數(shù)方法可以有效的幫我們降低學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的難度，使我們的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加容易，學(xué)習(xí)效率變得更高。當(dāng)然導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用并不局限于本文所分析的內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列問題幾何問題函數(shù)圖像繪制中等相關(guān)知識中的應(yīng)用也非常廣泛，在教學(xué)的過程中應(yīng)充分的引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。

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（作者單位：四川省瀘州市高級中學(xué)校）