李貴熙 綦文彬 侯宗潤(rùn)

摘要：本文主要探討了奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜的預(yù)測(cè)問(wèn)題，主要通過(guò)建立線性回歸（一元及多元）模型、使用SPSS和Excel等軟件對(duì)歷屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜進(jìn)行多角度分析并得到最優(yōu)預(yù)測(cè)模型。在模型一的建立中，本文使用時(shí)間序列法進(jìn)行預(yù)測(cè)、建立回歸模型。由于模型一中對(duì)于某些國(guó)家獎(jiǎng)牌榜預(yù)測(cè)與實(shí)際出入較大，在模型二的建立中，本文綜合考慮了GDP，人口數(shù)量，東道主效應(yīng)等因素建立多元回歸模型。綜合模型一與模型二的求解結(jié)果，得到2020年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜前十名及其金牌數(shù)與獎(jiǎng)牌數(shù)。

關(guān)鍵詞：線性回歸;時(shí)間序列法;奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌預(yù)測(cè);誤差分析;數(shù)學(xué)建模

中圖分類(lèi)號(hào)：O213文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-9129（2018）06-0256-05

Performance Forecast of the Top 10 Countries of the 32nd Olympic Games Based on Multi-Angle Linear Regression Analysis

LI Guixi*， QI Wenbin， HOU Zongrun

（Qingdao Second Middle School， Shandong Province， Qingdao 266000， China）

Abstract：this paper mainly discusses the forecasting problem of Olympic medals list， mainly through the establishment of linear regression（one dollar and multiple elements） model， the use of SPSS and Excel and other software to carry out multi-angle analysis of successive Olympic medals list and get the best prediction model. In the establishment of model one， this paper uses time series method to predict and establish regression model. Due to the large difference between the forecast and the actual number of medals in some countries in model 1， in the establishment of model 2， this paper comprehensively considers the factors such as GDP， population， and host effect to establish a multiple regression model. The results of the comprehensive model 1 and model 2 solutions obtained the top ten medals in the 2020 Tokyo Olympic Games and the number of gold medals and medals.

Keywords：Linear regression; Time series method; Olympic medal forecast; Error analysis; Mathematical modeling

引用：李貴熙， 綦文彬， 侯宗潤(rùn). 基于多角度線性回歸分析的第32屆奧運(yùn)會(huì)前十名國(guó)家成績(jī)預(yù)測(cè)[J]. 數(shù)碼設(shè)計(jì)， 2018， 7（6）： 256-260.

Cite：LI Guixi， QI Wenbin， HOU Zongrun. Performance Forecast of the Top 10 Countries of the 32nd Olympic Games Based on Multi-Angle Linear Regression AnalysisJ]. Peak Data Science， 2018， 7（6）： 256-260.

1? 引言

1.1? 現(xiàn)有研究成果

對(duì)于奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌預(yù)測(cè)問(wèn)題，現(xiàn)在已有如下研究成果：吳殿廷、吳穎^[1]使用GM（1，1）模型，預(yù)測(cè)北京奧運(yùn)會(huì)中、美兩國(guó)可能會(huì)獲得的金牌數(shù)。Bernard與Busse^[2]利用柯布--道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)對(duì)獎(jiǎng)牌數(shù)分布進(jìn)行研究。 Condon^[3]等人建立人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，預(yù)測(cè)世界各國(guó)在奧運(yùn)會(huì)比賽的成績(jī)積分。

1.2? 論文內(nèi)容、數(shù)據(jù)介紹及架構(gòu)

本文根據(jù)以往各國(guó)獎(jiǎng)牌榜排名情況，綜合考慮GDP，人口數(shù)量，東道主效應(yīng)等各種能夠影響所獲獎(jiǎng)牌數(shù)的因素，建立模型，對(duì)2020年?yáng)|京奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜前十名國(guó)家及其獎(jiǎng)牌數(shù)與金牌數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并得到較為成功的結(jié)果，對(duì)接下來(lái)的奧運(yùn)會(huì)訓(xùn)練具有指導(dǎo)意義（見(jiàn)5.2）。

接下來(lái)，本文將會(huì)介紹模型假設(shè)及變量，文章第二部分將使用時(shí)間序列法進(jìn)行一元線性回歸模型（模型一）的建立與求解并分析問(wèn)題與解決方案，第三部分將進(jìn)行多元線性回歸模型（模型二）的建立與求解并分析問(wèn)題與解決方案，第四部分將對(duì)可能影響奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)及獎(jiǎng)牌數(shù)預(yù)測(cè)的因素舉例做出定性（定量?jī)?nèi)容見(jiàn)4.6）討論，第五部分將給出各模型及最終預(yù)測(cè)的結(jié)果，第六部分列舉本文所用參考文獻(xiàn)。

1.3? 模型假設(shè)

a.假設(shè)所有GDP與人口數(shù)據(jù)準(zhǔn)確。

b.假設(shè)奧運(yùn)會(huì)當(dāng)年沒(méi)有國(guó)際爭(zhēng)端問(wèn)題。

c.假設(shè)各國(guó)GDP與人口與時(shí)間呈線性關(guān)系。

d.假設(shè)不考慮奧運(yùn)會(huì)場(chǎng)地，地理位置，氣候等因素的差別。

e.假設(shè)每個(gè)國(guó)家獲得獎(jiǎng)牌數(shù)與往屆奧運(yùn)會(huì)獲得的獎(jiǎng)牌數(shù)有關(guān)。

f.假設(shè)奧運(yùn)會(huì)各項(xiàng)比賽規(guī)則、設(shè)置不變。

1.4? 變量及單位

下表1是本文用到的變量符號(hào)及其含義和單位。其余不在本表中列出的變量及單位會(huì)在公式后加以說(shuō)明。

2? 模型一的建立與求解

2.1? 模型一的建立

關(guān)于縱向?qū)Ρ葕W運(yùn)會(huì)歷史成績(jī)推測(cè)與第32屆奧運(yùn)會(huì)的影響，本文建立模型一加以說(shuō)明。模型一通過(guò)時(shí)間序列法，采用一元線性回歸模型，得到奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)獎(jiǎng)牌數(shù)與屆數(shù)的關(guān)系，并通過(guò)與后文模型二的對(duì)比討論出兩者的優(yōu)勢(shì)與不足并進(jìn)行互補(bǔ)從而得到精確的結(jié)果^[4]。

時(shí)間序列法是一種利用按時(shí)間排列的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)可能結(jié)果的方法，在實(shí)際應(yīng)用中范圍較廣^[5]。本文模型一中獎(jiǎng)牌數(shù)、金牌數(shù)與奧運(yùn)會(huì)屆數(shù)的一元線性回歸模型公式如下：

y=α₀+α₁t+β????????????????????? （1）

其中α₁為變量系數(shù)，β為常量，α₀為隨機(jī)參數(shù)。

下面本文將使用式（1）所用模型進(jìn)行求解。

2.2? 模型一的求解（以韓國(guó)為例）

以韓國(guó)為例代入一元線性回歸模型一中^[6]。下表2為韓國(guó)第14屆至第31屆奧運(yùn)會(huì)歷史成績(jī)表^[7]。

本文利用excel軟件進(jìn)行模型一的建模。下圖1為韓國(guó)第14屆至第31屆奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)及獎(jiǎng)牌數(shù)擬合曲線圖^[8]。

備注：圖中x為奧運(yùn)會(huì)屆數(shù)（t），R²為決定系數(shù)，其他見(jiàn)圖例

綜上所述，韓國(guó)金牌數(shù)擬合公式如下：

y_gold=0.8506t-13.832?????????????????? （2）

韓國(guó)獎(jiǎng)牌數(shù)擬合公式如下：

y_medal=2.0609t-30.643????????????????? （3）

圖1中顯示（2）（3）式擬合程度R相對(duì)較高（85.97%和87.00%，對(duì)應(yīng)R²為0.7391和0.757），該模型通過(guò)R檢驗(yàn)。代入t=32，可得模型一預(yù)測(cè)下的韓國(guó)第32屆奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)及獎(jiǎng)牌數(shù)（13枚，35枚）。

本文接下來(lái)用同樣方法對(duì)其他國(guó)家進(jìn)行一元線性擬合，其中部分方程在經(jīng)過(guò)噪聲點(diǎn)處理后擬合程度仍低于50%，其方程仍然列出，但在最后的預(yù)測(cè)中不會(huì)使用經(jīng)過(guò)這些方程計(jì)算的結(jié)果。詳細(xì)方程如下表3、表4所示：

2.3? 模型一的缺點(diǎn)及可能的改進(jìn)方案

2.3.1? 模型一的缺陷

模型一為一元線性回歸模型，變量過(guò)少，導(dǎo)致擬合的函數(shù)無(wú)法滿足所需要的結(jié)果。其次，在擬合過(guò)程中對(duì)于獎(jiǎng)牌數(shù)起伏較大的國(guó)家有較大的誤差，噪聲點(diǎn)明顯。

2.3.2? 模型一可能存在的改進(jìn)方案

本文考慮，針對(duì)誤差較大的問(wèn)題，可以通過(guò)增加變量來(lái)解決或者采用局部加權(quán)線性回歸的方式解決;針對(duì)噪聲點(diǎn)問(wèn)題，可以通過(guò)去掉不穩(wěn)定數(shù)據(jù)后對(duì)剩余穩(wěn)定數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的結(jié)果，或者去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后進(jìn)行計(jì)算的方式來(lái)解決該問(wèn)題^[9]。

綜合各國(guó)奧運(yùn)會(huì)歷史成績(jī)，本文根據(jù)模型一得出結(jié)論：歷屆奧運(yùn)會(huì)成績(jī)與第32屆奧運(yùn)會(huì)預(yù)測(cè)成績(jī)之間存在一定關(guān)系（見(jiàn)表4）。

3? 模型二的建立與求解

3.1? 模型二的準(zhǔn)備工作

一元線性回歸模型（模型一）有很多缺陷與不足，而增加變量是減小誤差，使數(shù)據(jù)更加精確的有效辦法之一。本文將國(guó)家綜合實(shí)力拆分多個(gè)因素（見(jiàn)3.1.1），建立模型二加以討論。下面文章將建立并求解基于多元線性回歸模型進(jìn)行分析的模型二，同時(shí)討論模型二存在的問(wèn)題及可能的改進(jìn)方案。

3.1.1? 選用變量

本模型綜合考慮國(guó)家綜合實(shí)力和東道主效應(yīng)對(duì)奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌數(shù)和金牌數(shù)預(yù)測(cè)的影響，選用國(guó)家GDP、人口、東道主等變量進(jìn)行建模。

3.1.2? 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化是一種使原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為無(wú)量綱化指標(biāo)測(cè)評(píng)值的一種常用方法。因?yàn)楦鲊?guó)家GDP數(shù)值折合當(dāng)年的美元價(jià)格進(jìn)行計(jì)算，所以使用的GDP數(shù)據(jù)^[10]存在量綱不同的情況。本文主要采用min-max標(biāo)準(zhǔn)化（無(wú)量綱化），即將原數(shù)據(jù)映射到[0，1]內(nèi)，再統(tǒng)一量綱為2016年（第31屆奧運(yùn)會(huì)）美元GDP。其公式如下：

（24）

其中X'為標(biāo)準(zhǔn)化之后的數(shù)據(jù)（單位億美元），X為原數(shù)據(jù)（單位為本國(guó)貨幣），X₂₀₁₆為第31屆奧運(yùn)會(huì)（2016年）當(dāng)年該國(guó)GDP數(shù)據(jù)（單位為本國(guó)貨幣）。

3.2? 模型二的建立與求解

3.2.1? 模型二的建立（以匈牙利為例）

模型二采用多元線性回歸方法進(jìn)行建模，其公式如下：

y=α₀+α₁t+α₂GDP+α₃POP+α₄Hold+β????? ???（25）

該公式中y為金（獎(jiǎng)）牌數(shù)，α₁、α₂、α₃、α₄均為變量系數(shù)，β為常數(shù)，α₀為隨機(jī)參數(shù)。

下面本文以匈牙利為例建立并求解模型。下表5為匈牙利25屆奧運(yùn)會(huì)之后的GDP數(shù)據(jù)、人口數(shù)量^[11]、金牌數(shù)、獎(jiǎng)牌數(shù)與東道主變量的統(tǒng)計(jì)表：

本文接下來(lái)利用SPSS軟件，對(duì)匈牙利GDP、POP、東道主與金牌數(shù)、獎(jiǎng)牌數(shù)的關(guān)系進(jìn)行分析。詳細(xì)結(jié)果見(jiàn)下表6、7。

以上表6、表7所體現(xiàn)的線性方程均通過(guò)了T測(cè)驗(yàn)（94.7%和89.9%）和顯著性測(cè)驗(yàn)（0.021和0.050），證明可以用作模型的解。

綜上所述，我們得到了以下兩個(gè)關(guān)于匈牙利金牌數(shù)和獎(jiǎng)牌數(shù)的多元線性回歸方程：

y_gold=-11.508t-0.003GDP-0.132POP+1669.576???????? （26）

y_medal=-22.995t-0.004GDP-0.242POP+3114.645??????? （27）

而在實(shí)際計(jì)算中，本文將GDP、POP增長(zhǎng)速度進(jìn)行線性回歸分析，得到了2020年匈牙利可能的GDP和人口數(shù)量（1321.65億美元，9753.3454萬(wàn)人）。將以上數(shù)據(jù)帶入回歸方程（26）（27）中，可以得到2020年匈牙利金牌數(shù)和獎(jiǎng)牌數(shù)的預(yù)測(cè)值（10金牌，13獎(jiǎng)牌）。

3.2.2? 模型二的求解

其他國(guó)家的模型建立方程基本與匈牙利類(lèi)似。經(jīng)檢驗(yàn)，其他10個(gè)國(guó)家（詳見(jiàn)1.3）建立的多元線性回歸模型中有大部分成立。不成立（未通過(guò)測(cè)驗(yàn)）的模型依舊在下表8、表9中列出，但是這些模型計(jì)算出來(lái)的結(jié)果不會(huì)參與最終預(yù)測(cè)（詳見(jiàn)5.1表11、表12中黑色數(shù)據(jù)部分）。下表8、表9為其他十國(guó)金牌數(shù)、獎(jiǎng)牌數(shù)線性回歸分析表。

備注：本表中除德國(guó)、匈牙利、俄羅斯等國(guó)家GDP、POP、Hold變量因東歐劇變而從第26屆奧運(yùn)會(huì)（匈牙利為第25屆奧運(yùn)會(huì)）開(kāi)始采納分析，日本GDP、POP、Hold變量因東道主分析需要而從第18屆奧運(yùn)會(huì)開(kāi)始采納分析，中國(guó)GDP、POP、Hold變量因中國(guó)從第22屆奧運(yùn)會(huì)開(kāi)始參加而從第22屆奧運(yùn)會(huì)開(kāi)始采納分析以外，其余各國(guó)GDP、POP、Hold變量均從第20屆奧運(yùn)會(huì)開(kāi)始采納分析。下表同此規(guī)則。

根據(jù)上表8、表9得到的模型二所預(yù)測(cè)出的結(jié)果見(jiàn)表12（見(jiàn)5.1）。

合并GDP、POP、東道主效應(yīng)等多項(xiàng)因素的影響，本文根據(jù)模型二得出結(jié)論：國(guó)家綜合實(shí)力影響國(guó)家?jiàn)W運(yùn)會(huì)的成績(jī)，國(guó)家實(shí)力與該國(guó)奧運(yùn)會(huì)成績(jī)基本呈現(xiàn)正相關(guān)（見(jiàn)表8、9）。

3.3? 模型二的缺陷及其可能改進(jìn)方案

3.3.1? 模型二的缺陷

模型二作為一個(gè)多元線性回歸模型，其問(wèn)題集中體現(xiàn)在所建立模型擬合程度較低、容易忽略潛在的交互式或非線性關(guān)系、存在多重共線性問(wèn)題等。

3.3.2? 模型二可能存在的改進(jìn)方案

鑒于3.3.1提出模型二中可能存在的缺陷，本文考慮以下改進(jìn)方案：忽略噪聲點(diǎn)、忽略異常因素（如政治、國(guó)際背景等原因）、考慮其他模型（如主成分回歸、偏最小二乘回歸^[12]）并進(jìn)行分析等。

4? 對(duì)于影響各國(guó)在奧運(yùn)會(huì)獲得金牌數(shù)和獎(jiǎng)牌數(shù)的其他因素的分析

基于之前的討論，本文得出結(jié)論，國(guó)家GDP總量、人口總量、東道主效應(yīng)對(duì)國(guó)家獲得的獎(jiǎng)牌數(shù)和金牌數(shù)有一定的影響。除此之外，本文經(jīng)討論后得出會(huì)對(duì)金牌數(shù)和獎(jiǎng)牌數(shù)產(chǎn)生一定影響的因素有以下幾項(xiàng)：

4.1? 國(guó)家發(fā)展性

一個(gè)統(tǒng)一而強(qiáng)大的國(guó)家，更容易在奧運(yùn)會(huì)上會(huì)取得優(yōu)異成績(jī)。以中國(guó)為例，1972年前，中國(guó)發(fā)展緩慢，國(guó)家實(shí)力弱，無(wú)法參加奧運(yùn)會(huì)，沒(méi)有獎(jiǎng)牌，但是隨著1972年以后中國(guó)政策不斷轉(zhuǎn)變，發(fā)展性不斷增強(qiáng)，近幾屆奧運(yùn)會(huì)來(lái)中國(guó)已躋身世界前三，2008年北京奧運(yùn)會(huì)更是在獎(jiǎng)牌數(shù)上超越美國(guó)?？梢?jiàn)，國(guó)家的綜合實(shí)力和發(fā)展性是影響其奧運(yùn)會(huì)獲獎(jiǎng)的因素之一（圖2）^[13]。

4.2? 運(yùn)動(dòng)員的身體以及心理素質(zhì)

在奧運(yùn)會(huì)賽場(chǎng)上，選手在身體和心理上的差異會(huì)對(duì)其發(fā)揮產(chǎn)生巨大的影響。如中國(guó)運(yùn)動(dòng)員劉翔，前后兩次奧運(yùn)會(huì)因身體原因而當(dāng)場(chǎng)棄權(quán)。再如，為中國(guó)隊(duì)摘得首金的女射擊運(yùn)動(dòng)員杜麗，首場(chǎng)比賽失利，她經(jīng)過(guò)場(chǎng)下心理調(diào)節(jié)后，在接下來(lái)比賽過(guò)程中發(fā)揮出應(yīng)有水平，最后摘得金牌。

4.3? 國(guó)家對(duì)于體育的支持力度

國(guó)家在體育方面的投入和它在奧運(yùn)會(huì)上的成績(jī)呈正相關(guān)。對(duì)比中美，中國(guó)沒(méi)有在金牌數(shù)上超過(guò)美國(guó)的原因與中國(guó)在體育方面的投入不如美國(guó)有很大關(guān)系^[14]。

4.4? 舉辦城市的地理環(huán)境

參加奧運(yùn)會(huì)的選手來(lái)自五湖四海，各個(gè)地區(qū)的地理環(huán)境有所不同，因此選手們對(duì)舉辦城市的環(huán)境的適應(yīng)也會(huì)有所差異，從而影響選手在比賽中的發(fā)揮，因而會(huì)影響到國(guó)家在奧運(yùn)會(huì)上的成績(jī)^[15]。

4.5? 國(guó)家人民對(duì)某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的熱愛(ài)（普及）程度

某國(guó)家對(duì)于某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的普及會(huì)讓更多的人積極參與到該運(yùn)動(dòng)之中，有利于該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)獲得更大發(fā)展?jié)摿?，有利于使該運(yùn)動(dòng)在奧運(yùn)會(huì)上取得優(yōu)異成績(jī);優(yōu)異成績(jī)又會(huì)提高該國(guó)人民對(duì)于這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的熱情與期望，繼而拉動(dòng)整個(gè)國(guó)家對(duì)此運(yùn)動(dòng)的投入增加。二者良性循環(huán)，互相作用，總體有利于國(guó)家成績(jī)的提高。

4.6? 國(guó)家青少年人口比重

4.6.1? 建立模型進(jìn)行分析

針對(duì)本因素，本文將進(jìn)行定量分析。分析第30屆奧運(yùn)會(huì)運(yùn)動(dòng)員年齡分布與所獲得獎(jiǎng)牌數(shù)的關(guān)系，得到如下表10，參加第30屆奧運(yùn)會(huì)田徑項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員年齡與獲得獎(jiǎng)牌數(shù)關(guān)系表^[16]。

4.6.2? 對(duì)該模型的求解

本文通過(guò)SPSS軟件對(duì)表10數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回歸分析，發(fā)現(xiàn)二次模型對(duì)于以上數(shù)據(jù)較為適合（圖3、圖4）.

其中男、女性年齡與獎(jiǎng)牌數(shù)的二次關(guān)系擬合程度均可到達(dá)較高水平（0.97和0.921）.本文得出結(jié)論，運(yùn)動(dòng)員的年齡與其實(shí)力的發(fā)揮呈二次函數(shù)關(guān)系。其表達(dá)式如下式（48）所示。

y_medal∝age^{2??????????????????????????????????} （48）

本文列出由SPSS軟件擬合的二次方程如下，僅供參考：

（49）

（50）

4.6.3 ?結(jié)論

可以看出，年齡相對(duì)較小的運(yùn)動(dòng)員往往蘊(yùn)含著更多的可能性和更大的潛力。因此國(guó)家青少年占總?cè)丝诒戎厥窃搰?guó)取得成績(jī)的重要因素之一。以美國(guó)為例^[17]，美國(guó)對(duì)青少年體育的投入非常多，這也是中國(guó)在獎(jiǎng)牌數(shù)稍遜于美國(guó)的原因之一。

5? 第三十二屆東京奧運(yùn)會(huì)前十名國(guó)家金牌及獎(jiǎng)牌數(shù)目預(yù)測(cè)及其意義

5.1? 結(jié)果預(yù)測(cè)

綜合模型一和模型二以及第四部分的討論，列出下表11（左）、表12（右）為模型一、模型二所預(yù)測(cè)的下一屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌數(shù)及金牌數(shù)前十一名國(guó)家。

5.2? 意義分析

通過(guò)上文的預(yù)測(cè)可以得出結(jié)論，影響國(guó)家在奧運(yùn)會(huì)中的獲獎(jiǎng)情況的因素有很多，對(duì)這些因素的分析有利于運(yùn)動(dòng)員有針對(duì)性的訓(xùn)練和教練的針對(duì)性指導(dǎo)，為中國(guó)在奧運(yùn)會(huì)上摘金奪銀、再創(chuàng)體育佳績(jī)提供參考。

參考文獻(xiàn)：

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