蘇藝偉　張兵源

摘 要：以《函數(shù)的概念》為案例，運用建構主義理論和APOS方法進行概念教學，能夠較好地從整體上把握概念，實現(xiàn)概念教學的效益最大化.

關鍵詞：建構主義；APOS；函數(shù)概念

數(shù)學概念是客觀對象的數(shù)量關系和空間形式的本質(zhì)屬性的反映，是導出全部數(shù)學定理、法則的邏輯基礎可以說，整個高中階段對數(shù)學的學習最重要的就是對數(shù)學概念的學習只有掌握了數(shù)學概念，才能形成知識，掌握技能，形成基本思想，促進思維發(fā)展就像建一座高樓，只有基礎打扎實了，樓房才會建得高和穩(wěn)《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗）指出：教學中應強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿數(shù)學教學的始終，幫助學生逐步加深理解因此，數(shù)學概念教學在整個高中數(shù)學教學中有著重要的基礎性作用

在現(xiàn)實教學中，很多老師對概念教學并沒有真正重視起來在課堂上，經(jīng)常有老師對概念進行簡單的敘述，然后通過做題目來加深學生對概念的理解與應用這樣的概念教學存在如下缺點：（1）缺少必要的情境引入，既不能激發(fā)學生學習的原動力，也使得概念教學顯得生硬；（2）缺少概念的生成過程，使得學生喪失了思考，探究的思維過程，嚴重阻礙學生思維能力的發(fā)展和提升；（3）學生無法真正理解概念的內(nèi)涵和外延，無法形成數(shù)學概念體系造成上述錯誤概念教學的主要原因有：（1）教師不了解學生的認知心理，學習能力和學習風格；（2）教師沒有透徹地理解概念，回避概念的深入講解；（3）缺乏相應的概念教學理論知識和指導，對概念教學的定位不準確等

基于上述數(shù)學概念的重要性以及現(xiàn)實教學中存在的概念教學問題，應該如何較好地進行數(shù)學概念的教學？筆者認為首先要弄清楚數(shù)學概念教學的理論依據(jù)；其次應該掌握具體的概念教學的方法：APOS理論

一、數(shù)學概念教學的理論依據(jù)

建構主義認為，學習是學習者根據(jù)已有的知識經(jīng)驗主動建構新知識的過程學生的學習涉及同化和順應兩個基本過程同化是指學生把新授知識整合到自身已有認知結(jié)構的過程；順應則是指在新授知識的促動下，原來的認知結(jié)構發(fā)生變化，進一步平衡與完善的過程學生的認知結(jié)構就是在同化與順應的過程中建立起來的，在一系列的“平衡——不平衡——重新平衡”中達到認知結(jié)構的不斷提高和完善

比如有理指數(shù)冪概念的學習，通過對整數(shù)指數(shù)冪和有理數(shù)構成的回顧與復習，引發(fā)學生思考“指數(shù)冪的發(fā)展是否到此為止”該問題提出后，雖然此時尚未學習有理指數(shù)冪的概念，但學生已經(jīng)產(chǎn)生了“指數(shù)冪可以從整數(shù)指數(shù)冪推廣到分數(shù)指數(shù)冪，進而完善有理指數(shù)冪概念”這一感知，那么有理指數(shù)冪概念自然地被同化到學生原有指數(shù)冪概念中通過對根式的學習以及根式可以轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪的學習，學生原有的認知結(jié)構受到?jīng)_擊，為了達到知識結(jié)構的進一步平衡，“指數(shù)概念可以由整數(shù)指數(shù)冪向有理數(shù)指數(shù)冪擴展”就自然地被納入到學生的知識體系，這就是一個順應的過程

建構主義理論反映出學生學習數(shù)學概念的特點學生對數(shù)學概念的學習以及數(shù)學概念體系的建立就是在一系列舊知與新知的同化和順應過程中實現(xiàn)的因此，數(shù)學概念教學必然遵守建構主義理論，它是以學生為主體，經(jīng)歷引入、概括、分析、應用等程序，把新授概念利用同化或順應的方式，在概念自身內(nèi)在的，概念與概念之間的聯(lián)系的指引下，逐步完善自身認知結(jié)構，形成概念體系的過程

二、數(shù)學概念教學的具體方法——APOS理論

有了正確的理論指導，教師還要選擇恰當?shù)慕虒W方法來實施概念教學數(shù)學概念的教學一般可以按照“感覺—知覺—表象—概念”的認知規(guī)律來進行，讓學生形成新的概念圖式美國的杜賓斯基等人建立的針對學生數(shù)學概念學習的APOS理論強調(diào)，學生學習數(shù)學概念是需要心理建構的，這一建構過程經(jīng)歷四個階段：Action（活動）—Process（過程）—Object（對象）—Scheme（概型），簡稱APOS理論

第一階段—活動階段：這是概念的引入階段.教師必須認真分析所授概念的具體內(nèi)容與其在概念體系中的位置，結(jié)合學生的學情和認知規(guī)律，設置出合適的情境或者活動，以此讓學生親身經(jīng)歷，主動建構，從而對所授概念形成較直觀的理解也就是說，活動階段是學生通過一系列外顯性的指令去改變數(shù)學對象的過程，它是獲得數(shù)學概念的一個必要條件

第二階段—過程階段：這是概念的定義階段.它是在對活動階段進行思考的基礎上，通過抽象得出概念的若干本質(zhì)特征，從而初步形成數(shù)學概念的一般定義的過程過程階段是對外顯數(shù)學活動的進一步思考過程，當學生經(jīng)過多次重復活動且被個體所熟悉后，便會在頭腦中對活動進行描述，通過一系列心理操作，抽象出概念的本質(zhì)特征

第三階段—對象階段：這是概念的分析階段.它是對“活動”與“過程”的升華，將抽象出的概念賦予其形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的“對象”，并由學生主動將其納入已有概念體系的階段

第四階段—概型階段：這是概念的運用階段.它是“對象”階段中概念本質(zhì)和概念體系進一步的理解，揭示和實例化概型階段并不僅僅靠幾個例題來完成，它既包括活動階段的特例，過程階段的抽象，對象階段的定義及符號，也包含概念體系的建立，還包括在運用過程中產(chǎn)生新的理解，新的聯(lián)系，甚至它還能成為更新概念的建構材料“概型”最終要形成綜合的心理圖式，因此，概型階段也稱為圖式階段

APOS理論和建構主義理論是一致的，它更注重揭示概念的形成過程，更符合學生的認知規(guī)律和心理發(fā)展規(guī)律，將其應用到概念教學中效果更為顯著

三、案例分析——人教A版必修一第一章第12節(jié)《函數(shù)的概念》

1活動階段

復習初中函數(shù)概念：

在初中，我們對函數(shù)是這樣定義的：在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，就說x是自變量，y是x的函數(shù)

問題1 上述函數(shù)概念是建立在什么觀點上？有什么優(yōu)點和缺點？

問題2 該定義體現(xiàn)出x與y有什么樣的對應關系才能構成函數(shù)關系？

設計意圖 （1）根據(jù)建構主義理論，學習者相關領域的知識，乃至最一般的經(jīng)驗背景會對新概念的形成產(chǎn)生影響，成為新概念的背景同時，直接與新概念有關的純數(shù)學的基礎知識也會影響到新概念的建構高一年級的學生剛剛經(jīng)歷了初中的學習，因此從初中知識引入不僅為新概念的學習創(chuàng)設情境，也使新舊知識之間建立起有機的聯(lián)系，使新舊知識形成一個完整的體系

（2）問題1的設計是讓學生明白初中對函數(shù)的定義是建立在運動與變化的觀點上，這樣的定義較為直觀、簡捷，適合初中生的思維但是顯然該定義缺少相關的數(shù)學符號語言，不適合高中的數(shù)學化定義，從而讓學生意識到必須對函數(shù)的概念重新定義以滿足高中的需求此時，學生會積極思考：高中對函數(shù)的定義應該是什么？從而將學生的思維引入下面的“過程階段”問題2的設計是要讓學生理解定義中“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應”這句話的真正含義，也就是要讓學生明白并不是所有的對應關系都可以構成函數(shù)關系，只有滿足“一個x對應一個y”或者“多個x對應一個y”才能構成函數(shù)關系，這為后面“圖式階段”的學習打下一個堅實的基礎

2過程階段

多媒體展示課本中的三個實例（詳見課本第15頁）：

問題3 上述三個實例有何不同點和相同點？

設計意圖 （1）從學生熟悉的實際問題出發(fā)，由感覺過渡到知覺同時讓學生懂得數(shù)學并不僅僅是課本知識，更是現(xiàn)實生活的一環(huán)，它來源于生活，也為生活服務多媒體的使用，讓課堂更加生動直觀，激發(fā)學生學習的興趣

（2）對每個實例的講解，都從集合A中找出若干個特殊值，然后引導學生發(fā)現(xiàn)在各自對應關系的作用下，在集合B中都有唯一確定的值與之對應，為歸納總結(jié)共同特征做好鋪墊

（3）通過三個具體的例子，引導學生得到共同特征：第一，都有兩個非空數(shù)集A和B；第二，從數(shù)集A到數(shù)集B都有一個明確的對應關系，實例1中的對應關系是一個表達式，實例2中的對應關系式是一個圖象，實例3中的對應關系是一張表格；第三，在確定的對應關系下，數(shù)集A中任意一個數(shù)在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)與之對應這些共同特征的講解為“對象階段”概念的精致刻畫做好準備，并引出課題函數(shù)的概念，讓知覺過渡到表象

（4）本環(huán)節(jié)的設計重點是“重復”（三個實例的講解實際上就是一個重復的過程，只是例子不一樣）和大部分數(shù)學概念的形成一樣，函數(shù)概念的形成也需要經(jīng)歷一個抽象的過程，而形成抽象的基礎就是不斷的“重復”和操作

上述兩個活動階段，以初中知識和現(xiàn)實生活中的例子來激活背景圖式，為新概念的建構做出了必要的知識準備和心理準備而要使新概念得到有效合理的建構，還有賴于學生積極主動地探索和思考教師可以設計引導學生思考問題情境，讓學生積極思考，自主探究，并對已有知識進行遷移，提煉出函數(shù)概念的本質(zhì)特征，初步建構新的認知結(jié)構

3對象階段

問題4 如何用數(shù)學符號語言刻畫函數(shù)的概念？

設A，B是兩個非空的數(shù)集，按照某種確定的對應關系f（如實例中的表達式、圖象、表格），使得A中任意一個數(shù)x，在B中都有唯一確定的數(shù)fx和它對應.則稱f：A→B為從數(shù)集A到數(shù)集B的一個函數(shù)，記作y=fx其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域與x相對應的fx叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合fxx∈A叫做函數(shù)的值域

設計意圖 （1）對象階段是給抽象出來的概念本質(zhì)和特征賦予形式化的定義和符號，使其成為一個具體的“對象”將函數(shù)的概念作為一個新的對象來認識，對其進行形式化的表述，這是“對象”階段應該達到的目的學生在經(jīng)歷了活動階段和過程階段的學習后，函數(shù)概念“呼之欲出”，此時拋出問題4顯然水到渠成

（2）本環(huán)節(jié)將表象過渡到概念，逐層呈現(xiàn)、深化，形成了完整的“函數(shù)的概念”的概念圖式，便于學生在不同背景下提取信息，為將來在更多領域（如求函數(shù)的定義域，判斷兩個函數(shù)相等，求函數(shù)的解析式等方面）的應用打下堅實的基礎