鄧文熙

（北京磁浮交通發(fā)展有限公司長沙分公司，湖南 長沙 410073）

作為21世紀的新型軌道交通，中低速磁懸浮列車有著轉(zhuǎn)彎半徑小，爬坡能力強，安靜無污染，運行安全系數(shù)高等諸多的優(yōu)點。磁懸浮列車轉(zhuǎn)向架的懸浮控制一般采用四點控制（相互耦合），但通常還是簡化為一個電磁鐵單點懸浮問題。這種簡化有助于我們理解懸浮控制的穩(wěn)定性和動態(tài)特性，便于設(shè)計適當(dāng)?shù)目刂坡桑蝗欢?，這提高了控制器的魯棒性的要求，不適用于工程問題的控制參數(shù)整定。在文獻[1-4]中，PID控制參數(shù)通常根據(jù)經(jīng)驗或線性控制理論對單鐵懸浮系統(tǒng)的線性化模型進行計算確定；除了電磁力的非線性，還有電流的延遲性，傳感器與磁鐵的位置偏差等實際約束都沒有考慮到，這將影響預(yù)期的控制效果。

本文對各文獻通常使用的三種物理模型（單鐵懸浮線性化模型、單鐵懸浮非線性模型、轉(zhuǎn)向架四點控制非線性模型）在相同控制參數(shù)下的不同響應(yīng)進行了對比分析。本文第一節(jié)給出了三種模型的帶電流環(huán)PID控制器的建模過程；第二節(jié)以ITAE[5]（時間絕對誤差積分）為目標(biāo)函數(shù)對其控制參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計；第三節(jié)對階躍響應(yīng)進行了比較和分析；最后基于上述分析給出結(jié)論。

1 轉(zhuǎn)向架建模

現(xiàn)有文獻中出現(xiàn)了很多不同的磁懸浮控制模型，根據(jù)不同的需要可能采用不同的物理模型。本文主要建立了業(yè)內(nèi)經(jīng)常使用的三種模型以便于后續(xù)比較：單鐵懸浮線性化模型，單鐵懸浮非線性模型和轉(zhuǎn)向架四點控制非線性模型。

1.1 單鐵懸浮非線性模型

對于單電磁鐵懸浮控制系統(tǒng)（圖1），當(dāng)通過電磁體的線圈電流為I，電磁體和軌道的懸浮間隙為時，電磁力Fz為[6]：

式中，N為電磁鐵線圈匝數(shù)，A為電磁鐵極面積，μ0為真空磁導(dǎo)率。

圖1 電磁鐵單點懸浮控制模型Fig.1 Simple model of the single point magnetic levitation system

電磁鐵的動力學(xué)方程為：

式中，m電磁鐵質(zhì)量，F(xiàn)w為電磁鐵所示外力或載荷，g為重力加速度。

聯(lián)合式(1)和式(2)可得到平衡點的間隙δ0下的穩(wěn)態(tài)電流I0：

通常，我們采用PID控制，預(yù)期電流為[7]：

實際工程中，電流控制是通過控制電磁鐵兩端的電壓實現(xiàn)的，通常采用比例控制的電流環(huán)來控制的延遲[8]。若電流反饋增益為Kc，則該控制器輸出電壓為：

若電磁鐵線圈電阻為R，根據(jù)電壓方程可知[8]:

1.2 單鐵懸浮線性化模型

根據(jù)方程(1)和(2)，電磁力可線性化為：

根據(jù)方程(4)，控制電壓可線性化為：

1.3 轉(zhuǎn)向架四點控制非線性模型

轉(zhuǎn)向架是磁懸浮列車的基本單元，可提供懸浮力和推力，它主要由兩個懸浮模塊和兩套防滾解耦機構(gòu)組成[9]，其力學(xué)模型如圖2所示。

圖2 單轉(zhuǎn)向架的物理模型Fig.2 Sketch of the maglev bogie on track

以右模塊為例，包括模塊重力mrg，前、后托臂受到空簧傳遞過來的負載力Fwr1、Fwr2，電磁鐵的懸浮力Fzr1、Fzr2。此外，左、右模塊之間由防滾梁和吊桿連接，模塊還受到吊桿力Fbij。模塊的前、后位置分別以下標(biāo)1、2表示，左、右分別以下標(biāo)l、r表示。電磁力和吊桿力[10]分別滿足下式：

式中，zbij為吊桿變形量，kb、cb分別為防滾吊桿的剛度和阻尼。其中δij、zbij可由懸浮架的幾何關(guān)系以及兩模塊的位姿參數(shù)解出。

對于單個懸浮架，僅考慮單懸浮架的沉浮運動、俯仰運動和側(cè)滾運動，其動力學(xué)方程[10]為：

表1 建模參數(shù)Table 1 Modeling parameters

式中，z、α、β分別為模塊的z向位移、俯仰角和滾動角，mi、Jαi、Jβi分別為模塊的質(zhì)量、俯仰慣量和滾動慣量，Lm、Lw、Lg分別為控制力、負載力、左右吊桿力作用點距離模塊質(zhì)心的x向距離，Wm、Ww、Wgl、Wgr分別為控制力、負載力、左右吊桿力作用點距離模塊質(zhì)心的y向距離。

2 優(yōu)化模型

通常，控制參數(shù)的整定是通過遺傳算法等優(yōu)化算法優(yōu)化控制參數(shù)（Kp，Ki，Kd，Kc）使得階躍響應(yīng)（1 mm）下的性能指標(biāo)ITAE最小，目前一般采用第1節(jié)所描述的單點控制模型作為優(yōu)化對象。為了避免仿真發(fā)散影響評估，我們通常會限制這些參數(shù)的搜索范圍。優(yōu)化問題可描述為：

本文在Matlab中建立了第一節(jié)所描述的三個模型，均采用表1所列出的參數(shù)，優(yōu)化算法均采用采用多島遺傳算法。對于單鐵懸浮線性化模型的優(yōu)化結(jié)果為：Kp=4972，Ki=0，Kd=54，Kc=33。對于單鐵懸浮非線性模型，優(yōu)化結(jié)果為：Kp=4929，Ki=0，Kd=54，Kc=79。

3 仿真分析

圖3比較了在懸浮間隙由9 mm變化為10 mm情況下，單鐵懸浮線性化/非線性模型的響應(yīng)和ITAE指標(biāo)。控制參數(shù)由單鐵懸浮線性化模型的ITAE優(yōu)化結(jié)果確定。根據(jù)該優(yōu)化結(jié)果，PID控制器是PD控制器，因為Ki=0。結(jié)果表明，相對于線性化模型，非線性模型的電磁鐵控制效果不佳，并導(dǎo)致了更大的ITAE，調(diào)節(jié)時間較長，超調(diào)量也較大。這意味著基于線性化模型整定的控制參數(shù)在實際中的單點懸浮工況也不能很好地工作。

圖3 單鐵懸浮線性化模型優(yōu)化控制參數(shù)下的階躍響應(yīng)及其ITAE指標(biāo)（Kp=4972，Ki=0，Kd=54，Kc=33）Fig.3 Step responses and performance of single point magnetic levitation (Kp=4972, Ki=0, Kd=54, Kc=32)

圖4比較了在單鐵懸浮非線性模型優(yōu)化的控制參數(shù)下，單鐵懸浮線性化/非線性模型的響應(yīng)和ITAE指標(biāo)。結(jié)果表明，這兩種模式的收斂速度都很快。相比而言，非線性模型的ITAE降低了得多，而線性化模型的ITAE增加不大?？刂茀?shù)的顯著變化是Kc從32變?yōu)?9，這表明電流環(huán)在懸浮控制中非常重要。

圖4 單鐵懸浮非線性模型優(yōu)化控制參數(shù)下的階躍響應(yīng)及其ITAE指標(biāo)(Kp=4929, Ki=0, Kd=54, Kc=79)Fig.4 Step responses and performance of single point magnetic levitation (Kp=4929, Ki=0, Kd=54, Kc=79)

圖5 單鐵懸浮非線性模型優(yōu)化控制參數(shù)下轉(zhuǎn)向架的階躍響應(yīng)(Kp=4929, Ki=0, Kd=54, Kc=79)Fig.5 Step responses of bogie maglev model (KP=4929, Ki=0, Kd=54, Kc=79)

圖5給出了單鐵懸浮非線性模型優(yōu)化控制參數(shù)下轉(zhuǎn)向架的階躍響應(yīng)（1 mm階躍干擾僅作用在左前點）。結(jié)果表明，四個點的收斂時間均小于0.1 s，但均存在靜差。在左側(cè)前后點的耦合效應(yīng)比其它兩個點更顯著因為它是相同的剛性模塊上。這表明基于單點懸浮模型整定的控制參數(shù)仍不適用于磁懸浮列車。

磁懸浮轉(zhuǎn)向架的耦合效應(yīng)取決于前后防滾解耦機構(gòu)間距、防滾吊桿的剛度等機械參數(shù)；圖5還給出了2倍防滾剛度下的轉(zhuǎn)向架階躍響應(yīng)。結(jié)果表明，靜差隨剛度kb的增加而增加，這意味著耦合效應(yīng)被增強。為了保證直線感應(yīng)電機的離軌間隙，防滾吊桿剛度必須足夠剛，設(shè)計時須對其防滾和解耦性能進行權(quán)衡。

4 結(jié)論

本文建立了磁懸浮列車單轉(zhuǎn)向架四點控制模型，考慮了轉(zhuǎn)向架垂直，俯仰和滾動方向的自由度及其耦合關(guān)系；與電磁鐵單點控制線性化/非線性模型的閉環(huán)階躍響應(yīng)進行了比較。仿真結(jié)果表明，基于單鐵控制線性化模型和非線性模型得到的最佳控制參數(shù)一樣不適合轉(zhuǎn)向架模型，主要因為轉(zhuǎn)向架的耦合效應(yīng)導(dǎo)致其控制存在靜態(tài)誤差；這種耦合效應(yīng)與前后防滾解耦機構(gòu)間距、防滾吊桿的剛度等機械參數(shù)有關(guān)。因此，轉(zhuǎn)向架四點控制模型應(yīng)作為基本單元進行響應(yīng)分析進而對整車懸浮控制參數(shù)進行整定。