鄧文熙

（北京磁浮交通發(fā)展有限公司長沙分公司，湖南 長沙 410073）

作為21世紀的新型軌道交通，中低速磁懸浮列車有著轉(zhuǎn)彎半徑小，爬坡能力強，安靜無污染，運行安全系數(shù)高等諸多的優(yōu)點。磁懸浮列車轉(zhuǎn)向架的懸浮控制一般采用四點控制（相互耦合），但通常還是簡化為一個電磁鐵單點懸浮問題。這種簡化有助于我們理解懸浮控制的穩(wěn)定性和動態(tài)特性，便于設(shè)計適當?shù)目刂坡?；然而，這提高了控制器的魯棒性的要求，不適用于工程問題的控制參數(shù)整定。在文獻[1-4]中，PID控制參數(shù)通常根據(jù)經(jīng)驗或線性控制理論對單鐵懸浮系統(tǒng)的線性化模型進行計算確定；除了電磁力的非線性，還有電流的延遲性，傳感器與磁鐵的位置偏差等實際約束都沒有考慮到，這將影響預期的控制效果。

本文對各文獻通常使用的三種物理模型（單鐵懸浮線性化模型、單鐵懸浮非線性模型、轉(zhuǎn)向架四點控制非線性模型）在相同控制參數(shù)下的不同響應進行了對比分析。本文第一節(jié)給出了三種模型的帶電流環(huán)PID控制器的建模過程；第二節(jié)以ITAE[5]（時間絕對誤差積分）為目標函數(shù)對其控制參數(shù)進行了優(yōu)化設(shè)計；第三節(jié)對階躍響應進行了比較和分析；最后基于上述分析給出結(jié)論。

1 轉(zhuǎn)向架建模

現(xiàn)有文獻中出現(xiàn)了很多不同的磁懸浮控制模型，根據(jù)不同的需要可能采用不同的物理模型。本文主要建立了業(yè)內(nèi)經(jīng)常使用的三種模型以便于后續(xù)比較：單鐵懸浮線性化模型，單鐵懸浮非線性模型和轉(zhuǎn)向架四點控制非線性模型。

1.1 單鐵懸浮非線性模型

對于單電磁鐵懸浮控制系統(tǒng)（圖1），當通過電磁體的線圈電流為I，電磁體和軌道的懸浮間隙為時，電磁力Fz為[6]：

式中，N為電磁鐵線圈匝數(shù)，A為電磁鐵極面積，μ0為真空磁導率。

圖1 電磁鐵單點懸浮控制模型Fig.1 Simple model of the single point magnetic levitation system

電磁鐵的動力學方程為：

式中，m電磁鐵質(zhì)量，F(xiàn)w為電磁鐵所示外力或載荷，g為重力加速度。

聯(lián)合式(1)和式(2)可得到平衡點的間隙δ0下的穩(wěn)態(tài)電流I0：

通常，我們采用PID控制，預期電流為[7]：

實際工程中，電流控制是通過控制電磁鐵兩端的電壓實現(xiàn)的，通常采用比例控制的電流環(huán)來控制的延遲[8]。若電流反饋增益為Kc，則該控制器輸出電壓為：

若電磁鐵線圈電阻為R，根據(jù)電壓方程可知[8]:

1.2 單鐵懸浮線性化模型

根據(jù)方程(1)和(2)，電磁力可線性化為：

根據(jù)方程(4)，控制電壓可線性化為：

1.3 轉(zhuǎn)向架四點控制非線性模型

轉(zhuǎn)向架是磁懸浮列車的基本單元，可提供懸浮力和推力，它主要由兩個懸浮模塊和兩套防滾解耦機構(gòu)組成[9]，其力學模型如圖2所示。

圖2 單轉(zhuǎn)向架的物理模型Fig.2 Sketch of the maglev bogie on track

以右模塊為例，包括模塊重力mrg，前、后托臂受到空簧傳遞過來的負載力Fwr1、Fwr2，電磁鐵的懸浮力Fzr1、Fzr2。此外，左、右模塊之間由防滾梁和吊桿連接，模塊還受到吊桿力Fbij。模塊的前、后位置分別以下標1、2表示，左、右分別以下標l、r表示。電磁力和吊桿力[10]分別滿足下式：

式中，zbij為吊桿變形量，kb、cb分別為防滾吊桿的剛度和阻尼。其中δij、zbij可由懸浮架的幾何關(guān)系以及兩模塊的位姿參數(shù)解出。

對于單個懸浮架，僅考慮單懸浮架的沉浮運動、俯仰運動和側(cè)滾運動，其動力學方程[10]為：

表1 建模參數(shù)Table 1 Modeling parameters

式中，z、α、β分別為模塊的z向位移、俯仰角和滾動角，mi、Jαi、Jβi分別為模塊的質(zhì)量、俯仰慣量和滾動慣量，Lm、Lw、Lg分別為控制力、負載力、左右吊桿力作用點距離模塊質(zhì)心的x向距離，Wm、Ww、Wgl、Wgr分別為控制力、負載力、左右吊桿力作用點距離模塊質(zhì)心的y向距離。

2 優(yōu)化模型

通常，控制參數(shù)的整定是通過遺傳算法等優(yōu)化算法優(yōu)化控制參數(shù)（Kp，Ki，Kd，Kc）使得階躍響應（1 mm）下的性能指標ITAE最小，目前一般采用第1節(jié)所描述的單點控制模型作為優(yōu)化對象。為了避免仿真發(fā)散影響評估，我們通常會限制這些參數(shù)的搜索范圍。優(yōu)化問題可描述為：

本文在Matlab中建立了第一節(jié)所描述的三個模型，均采用表1所列出的參數(shù)，優(yōu)化算法均采用采用多島遺傳算法。對于單鐵懸浮線性化模型的優(yōu)化結(jié)果為：Kp=4972，Ki=0，Kd=54，Kc=33。對于單鐵懸浮非線性模型，優(yōu)化結(jié)果為：Kp=4929，Ki=0，Kd=54，Kc=79。

3 仿真分析

圖3比較了在懸浮間隙由9 mm變化為10 mm情況下，單鐵懸浮線性化/非線性模型的響應和ITAE指標?？刂茀?shù)由單鐵懸浮線性化模型的ITAE優(yōu)化結(jié)果確定。根據(jù)該優(yōu)化結(jié)果，PID控制器是PD控制器，因為Ki=0。結(jié)果表明，相對于線性化模型，非線性模型的電磁鐵控制效果不佳，并導致了更大的ITAE，調(diào)節(jié)時間較長，超調(diào)量也較大。這意味著基于線性化模型整定的控制參數(shù)在實際中的單點懸浮工況也不能很好地工作。

圖3 單鐵懸浮線性化模型優(yōu)化控制參數(shù)下的階躍響應及其ITAE指標（Kp=4972，Ki=0，Kd=54，Kc=33）Fig.3 Step responses and performance of single point magnetic levitation (Kp=4972, Ki=0, Kd=54, Kc=32)

圖4比較了在單鐵懸浮非線性模型優(yōu)化的控制參數(shù)下，單鐵懸浮線性化/非線性模型的響應和ITAE指標。結(jié)果表明，這兩種模式的收斂速度都很快。相比而言，非線性模型的ITAE降低了得多，而線性化模型的ITAE增加不大?？刂茀?shù)的顯著變化是Kc從32變?yōu)?9，這表明電流環(huán)在懸浮控制中非常重要。

圖4 單鐵懸浮非線性模型優(yōu)化控制參數(shù)下的階躍響應及其ITAE指標(Kp=4929, Ki=0, Kd=54, Kc=79)Fig.4 Step responses and performance of single point magnetic levitation (Kp=4929, Ki=0, Kd=54, Kc=79)

圖5 單鐵懸浮非線性模型優(yōu)化控制參數(shù)下轉(zhuǎn)向架的階躍響應(Kp=4929, Ki=0, Kd=54, Kc=79)Fig.5 Step responses of bogie maglev model (KP=4929, Ki=0, Kd=54, Kc=79)

圖5給出了單鐵懸浮非線性模型優(yōu)化控制參數(shù)下轉(zhuǎn)向架的階躍響應（1 mm階躍干擾僅作用在左前點）。結(jié)果表明，四個點的收斂時間均小于0.1 s，但均存在靜差。在左側(cè)前后點的耦合效應比其它兩個點更顯著因為它是相同的剛性模塊上。這表明基于單點懸浮模型整定的控制參數(shù)仍不適用于磁懸浮列車。

磁懸浮轉(zhuǎn)向架的耦合效應取決于前后防滾解耦機構(gòu)間距、防滾吊桿的剛度等機械參數(shù)；圖5還給出了2倍防滾剛度下的轉(zhuǎn)向架階躍響應。結(jié)果表明，靜差隨剛度kb的增加而增加，這意味著耦合效應被增強。為了保證直線感應電機的離軌間隙，防滾吊桿剛度必須足夠剛，設(shè)計時須對其防滾和解耦性能進行權(quán)衡。

4 結(jié)論

本文建立了磁懸浮列車單轉(zhuǎn)向架四點控制模型，考慮了轉(zhuǎn)向架垂直，俯仰和滾動方向的自由度及其耦合關(guān)系；與電磁鐵單點控制線性化/非線性模型的閉環(huán)階躍響應進行了比較。仿真結(jié)果表明，基于單鐵控制線性化模型和非線性模型得到的最佳控制參數(shù)一樣不適合轉(zhuǎn)向架模型，主要因為轉(zhuǎn)向架的耦合效應導致其控制存在靜態(tài)誤差；這種耦合效應與前后防滾解耦機構(gòu)間距、防滾吊桿的剛度等機械參數(shù)有關(guān)。因此，轉(zhuǎn)向架四點控制模型應作為基本單元進行響應分析進而對整車懸浮控制參數(shù)進行整定。