夏均忠，呂麒鵬，陳成法，劉鯤鵬，鄭建波

(陸軍軍事交通學(xué)院 軍用車輛實(shí)驗(yàn)實(shí)習(xí)中心，天津 300161)

滾動軸承技術(shù)狀態(tài)描述的關(guān)鍵是其故障特征提取，然而常用方法提取到的故障特征存在著特征空間過大，不能單調(diào)性描述軸承健康狀態(tài)等問題。為了解決這些不足，需要對特征向量進(jìn)行降維處理。最常用的線性降維方法有主成分分析和線性判別法[1]。由于其特征空間壓縮過程具有不可控性和隨機(jī)性，效果不穩(wěn)定，并且對具有非線性關(guān)系的數(shù)據(jù)處理能力較差。而非線性降維方法具有更好的表現(xiàn)。局部線性切空間法[2]利用局部空間考慮全局因素，不可避免會損失特征性質(zhì)。多維尺度法(Multidimensional Scaling,MDS)[3]利用一維空間中的目標(biāo)距離反映數(shù)據(jù)之間的相似性，但其“目標(biāo)距離”的計(jì)算效果一般。由此等距映射法(Isometric Feature Mapping,ISOMAP)[4]利用測地距離取代歐式距離，然后進(jìn)行MDS取得了更好的效果，但是準(zhǔn)確度不佳。累積馬氏距離(Cumulative Sum and Mahalanobis Distance,MD-CUSUM)[5]與其他方法存在著本質(zhì)上的區(qū)別，它充分發(fā)揮馬氏距離在特征相似度檢驗(yàn)上的優(yōu)點(diǎn)，對特征值進(jìn)行累積和(Cumulative Sum,CUSUM)檢驗(yàn)，獲得能夠準(zhǔn)確反映軸承健康狀態(tài)的低維特征，并增強(qiáng)了其單調(diào)性。

支持向量回歸(Support Vector Regression,SVR)是一種基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理，具有出色的小樣本學(xué)習(xí)能力的預(yù)測模型，其常用于軸承健康狀態(tài)預(yù)測[6]。當(dāng)前許多學(xué)者主要對SVR參數(shù)的選擇進(jìn)行優(yōu)化[7-9]，而對于其輸入與輸出的相互關(guān)系沒有太多考慮。本文結(jié)合軸承健康狀態(tài)的時(shí)間屬性，定義輸入與輸出之間的時(shí)間滯后(Time Delay)關(guān)系，構(gòu)建時(shí)滯性支持向量回歸(Time Delay Support Vector Regression,TD-SVR)模型，實(shí)現(xiàn)由當(dāng)前狀態(tài)預(yù)測未來狀態(tài)的目的。

首先應(yīng)用累積馬氏距離(MD-CUSUM)獲取反應(yīng)軸承健康狀態(tài)的健康指標(biāo)(Health Indicator,HI)，其次構(gòu)建時(shí)滯性支持向量回歸模型對滾動軸承健康指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測，最后通過試驗(yàn)對比分析了MD-CUSUM方法和ISOMAP方法的優(yōu)劣，論證MD-CUSUM和TD-SVR相結(jié)合的方法在軸承健康狀態(tài)描述和預(yù)測方面的優(yōu)越性。

1 累積馬氏距離(MD-CUSUM)

馬氏距離(Mahalanobis Distance,MD)是印度統(tǒng)計(jì)學(xué)家Mahalanobis在歐式距離基礎(chǔ)上提出的一種方法，它可以有效地反應(yīng)兩個(gè)未知樣本的相似度，其優(yōu)點(diǎn)在于克服了歐氏距離存在的不足，排除變量之間的相關(guān)性干擾，具有較好的敏感性[10]。馬氏距離算法步驟如下

步驟1 計(jì)算均值和標(biāo)準(zhǔn)差

(1)

(2)

步驟2 計(jì)算相關(guān)參數(shù)

Dp×q=diji=1,2…p，j=1,2…q

(3)

式中:p為檢測點(diǎn)數(shù);q為特征數(shù)量;dij為第i個(gè)檢測點(diǎn)的第j個(gè)特征值;Dp×q為特征值矩陣。

(4)

(5)

(6)

式中:cij表示距離參數(shù)。

步驟3 馬氏距離計(jì)算公式

(7)

式中:Q為特征向量的協(xié)方差矩陣。

盡管馬氏距離在反應(yīng)數(shù)據(jù)之間的相似度方面有較好的表現(xiàn)，但是當(dāng)數(shù)據(jù)樣本之間存在著連續(xù)微小變化的情況下，很難單純地從馬氏距離上反應(yīng)各數(shù)據(jù)樣本的狀態(tài)，因此引入累積和檢驗(yàn)對馬氏距離進(jìn)行優(yōu)化。

累積和(Cumulative Sum,CUSUM)檢驗(yàn)是由英國劍橋大學(xué)Page基于似然比導(dǎo)出的一種控制圖模型[11]。它可以通過不斷累積待測值與標(biāo)準(zhǔn)值的差值，從而達(dá)到放大數(shù)據(jù)波動的目的，因此能夠更加迅速、敏感地檢測到微小的變化情況。其計(jì)算公式如下

(8)

(9)

S0=δ0+k

(10)

對滾動軸承振動信號數(shù)據(jù)樣本的MD值進(jìn)行累積和(CUSUM)檢驗(yàn)，通過樣本變化累積值表征軸承退化性能，準(zhǔn)確反應(yīng)軸承健康狀態(tài)的單調(diào)性。本文選擇CUSUM正向累積值作為目標(biāo)參數(shù)，定義為軸承健康指標(biāo)(HI)

(11)

為了便于計(jì)算和分析，統(tǒng)一把指標(biāo)進(jìn)行歸一化處理(式(12))，即0

(12)

式中:reg，reg′分別為需要進(jìn)行歸一化的原始數(shù)據(jù)和歸一化之后的數(shù)據(jù)。

2 時(shí)滯性支持向量回歸(TD-SVR)

支持向量回歸(SVR)是典型的自回歸模型，是支持向量機(jī)用于解決回歸問題時(shí)的推廣形式[12]。支持向量回歸包括線性回歸和非線性回歸，由于提取的滾動軸承特征具有非線性，故采用非線性支持向量回歸，并對其輸入和輸出進(jìn)行改進(jìn)，得到時(shí)滯性支持向量回歸。

時(shí)滯性支持向量回歸(TD-SVR)就是在沒有先驗(yàn)知識的前提下，尋找具有時(shí)滯性的輸入和輸出變量之間的聯(lián)合分布關(guān)系，可以由一個(gè)函數(shù)表示：y=f(x)。X表示一個(gè)訓(xùn)練集，X={xi,xi+Δt,i=1,…l}，xi是第i個(gè)訓(xùn)練樣本，xi+Δt是第i個(gè)訓(xùn)練樣本的目標(biāo)值(即時(shí)滯Δt后的樣本值)，l是訓(xùn)練樣本的容量。訓(xùn)練支持向量回歸就是找到一個(gè)回歸函數(shù)

(13)

(14)

通過最小化目標(biāo)函數(shù)求得

(15)

因此，時(shí)滯性支持向量回歸可以簡化為

(16)

3 健康狀態(tài)預(yù)測流程

基于MD-CUSUM和TD-SVR的滾動軸承健康狀態(tài)預(yù)測流程,如圖1所示。

圖1 健康狀態(tài)預(yù)測流程圖Fig.1 Flowchart of predicting health state

離線階段：

(1)輸入信號，進(jìn)行特征提取。

(2)應(yīng)用MD-CUSUM獲取軸承健康指標(biāo)。

(3)訓(xùn)練時(shí)滯性支持向量回歸模型。

在線階段：

(1)采集軸承實(shí)時(shí)信號，進(jìn)行特征提取。

(2)應(yīng)用MD-CUSUM獲取軸承當(dāng)前健康指標(biāo)。

(3)把當(dāng)前指標(biāo)輸入到訓(xùn)練好的模型，獲取軸承全壽命健康指標(biāo)預(yù)測值。

定義 2.3 設(shè){Xt;R+}是L2(Γ;η)中稠定線性算子族,對于?R+,若存在L2(Γ;η)上稠定線性算子Yt，滿足

與其他降維方法相比，MD-CUSUM不僅可以在低維空間上較好地反應(yīng)軸承健康狀態(tài)，而且能夠識別特征之間更加微小的變化，增強(qiáng)了軸承健康狀態(tài)在全壽命上的單調(diào)性。其次TD-SVR在支持向量回歸的基礎(chǔ)上增加時(shí)滯性，融合時(shí)間特征，更加符合軸承全壽命健康狀態(tài)的預(yù)測要求。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

試驗(yàn)驗(yàn)證的數(shù)據(jù)來源于PRONOSTIA實(shí)驗(yàn)平臺[13]。其主要由驅(qū)動電機(jī)、聯(lián)軸器、壓力氣缸、扭力計(jì)、加速度傳感器、溫度傳感器和NI數(shù)據(jù)采集卡等組成[14]。

試驗(yàn)采集軸承的振動信號，兩個(gè)加速度傳感器(靈敏度為100 mv/g)分別位于豎直(12點(diǎn)鐘)和水平(3點(diǎn)鐘)方向。試驗(yàn)數(shù)據(jù)包括軸承的全壽命數(shù)據(jù)，即從健康狀態(tài)到軸承完全損壞為止。試驗(yàn)軸承轉(zhuǎn)速為1 800 r/min，負(fù)載為4 000 N，采樣頻率為25.6 kHz，采樣間隔為每10 s采集0.1 s的數(shù)據(jù)即每組數(shù)據(jù)包含2 560個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。歷時(shí)7小時(shí)47分鐘，共采集2 803組數(shù)據(jù)。

4.1 特征提取

小波包分解能夠?qū)崿F(xiàn)頻帶的均勻劃分，克服了小波變換對高頻信號檢測精度較低的不足，由于軸承健康狀態(tài)的變化在時(shí)間上相對緩慢，單一從低頻部分或某一頻域上很難準(zhǔn)確反映健康狀態(tài)的發(fā)展，因此具有全頻域、高精度特點(diǎn)的小波包分解能更好地反應(yīng)軸承當(dāng)前技術(shù)狀態(tài)[15]。對數(shù)據(jù)進(jìn)行三層小波包分解，得到8個(gè)小波包。對每一時(shí)刻數(shù)據(jù)分別進(jìn)行特征提取，計(jì)算每個(gè)小波包的絕對值之和，如圖2所示。

圖2 某一時(shí)刻小波包分解結(jié)果Fig.2 Features extracted using wavelet packet decomposition as a time point

為了便于比較分析，對各小波包能量進(jìn)行歸一化處理(式(12))，由此可以得到八維的向量空間，能夠較為準(zhǔn)確反應(yīng)軸承的健康狀態(tài)。

4.2 健康指標(biāo)獲取

上述得到的特征向量維度較高，這對于反應(yīng)軸承健康狀態(tài)的全面性很好，但是對于健康狀態(tài)的描述評價(jià)以及之后模型的訓(xùn)練和預(yù)測來說十分不便。因此需要對高維特征進(jìn)行降維處理，得到健康指標(biāo)(HI)。

為對比分析，應(yīng)用等距特征映射(ISOMAP)對高維特征進(jìn)行降維。等距特征映射是麻省理工學(xué)院JoshTenenbaum教授于2000年提出的算法[16]。其降維思想是對高維數(shù)據(jù)使用測地距離來代替歐式距離，得到高維數(shù)據(jù)測地距離矩陣之后再進(jìn)行多維尺度(MDS)分析處理，得到高維數(shù)據(jù)從高維空間到低維空間的映射關(guān)系。應(yīng)用ISOMAP把八維特征映射成一維特征，即健康指標(biāo)(HI)，其結(jié)果如圖5所示。

圖3 特征在時(shí)域上的馬氏距離(MD)Fig.3 MD of features in time domain

圖4 MD-CUSUM處理得到的HI指標(biāo)Fig.4 HI using MD-CUSUM

圖5 ISOMAP處理得到的HI指標(biāo)Fig.5 HI using ISOMAP

4.3 模型構(gòu)建

應(yīng)用時(shí)滯性支持向量回歸對軸承全壽命健康狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測。選取一定量的訓(xùn)練樣本，其輸入為時(shí)間t時(shí)刻的一維特征指標(biāo)HIt，輸出為滯后時(shí)間Δt之后的特征指標(biāo)HIt+Δt，構(gòu)建所需的時(shí)滯性支持向量回歸(TD-SVR)模型。

對時(shí)滯性支持向量回歸(TD-SVR)模型進(jìn)行訓(xùn)練，而模型訓(xùn)練的準(zhǔn)確度與支持向量回歸核函數(shù)的選擇息息相關(guān)。核函數(shù)的性能可以由其相應(yīng)的均方根值來反應(yīng)，均方根值越小表示相應(yīng)核函數(shù)的性能越好，模型預(yù)測的準(zhǔn)確度越高。通過選擇不同的核函數(shù)對模型進(jìn)行構(gòu)建并計(jì)算其均方根值，結(jié)果見表1。

表1 不同核函數(shù)的性能Tab.1 Performance of Kernel functions

高斯徑向基核函數(shù)的性能最好，構(gòu)建的模型也最優(yōu)。高斯模型的參數(shù)設(shè)置范圍為{10-6，10-5…，1}，其中參數(shù)為σ=10-5時(shí)最優(yōu)。

選擇Δt=20，即時(shí)滯為200 s。模型輸入選擇均勻分布的80個(gè)離散樣本點(diǎn)，輸出為其時(shí)滯的HI指標(biāo)。應(yīng)用ISOMAP、MD-CUSUM得到的HI指標(biāo)分別進(jìn)行TD-SVR預(yù)測，其結(jié)果如圖6所示。

從圖6中可以較為明顯地看出MD-CUSUM的HI指標(biāo)TD-SVR預(yù)測結(jié)果相比于前者的預(yù)測結(jié)果更優(yōu)。

4.4 結(jié)果分析

為了更加直觀地比較兩種方法的優(yōu)劣，首先計(jì)算結(jié)果的偏差值ΔHIi，如圖7所示。

(17)

應(yīng)用ISOMAP的HI指標(biāo)TD-SVR預(yù)測誤差較大；兩種方法在軸承的全壽命HI指標(biāo)預(yù)測上都存在不同程度的較大誤差。由圖4可知，試驗(yàn)軸承在接近25 000 s時(shí)，產(chǎn)生了健康狀態(tài)突變即發(fā)生了較為明顯的故障，兩種方法在故障發(fā)生前后對于HI指標(biāo)的預(yù)測都出現(xiàn)較為明顯的偏差和波動。

(a)應(yīng)用ISOMAP的HI指標(biāo)TD-SVR預(yù)測

(b)應(yīng)用MD-CUSUM的HI指標(biāo)TD-SVR預(yù)測

(18)

式中:l為樣本數(shù)量。

maxΔ=max|ΔHIi|

(19)

(a)應(yīng)用ISOMAP的HI指標(biāo)TD-SVR預(yù)測誤差

(b)應(yīng)用MD-CUSUM的HI指標(biāo)TD-SVR預(yù)測誤差

(20)

根據(jù)式(18)、(19)、(20)和ΔHIi計(jì)算其誤差指標(biāo)，見表2。

表2 誤差指標(biāo)Tab.2 Error indicators

在平均偏差和最大偏差方面，MD-CUSUM均比ISOMAP更優(yōu)，HI指標(biāo)的TD-SVR預(yù)測結(jié)果更接近實(shí)際情況。

對于危險(xiǎn)數(shù)N，當(dāng)ΔHIi>0時(shí)，即預(yù)測值小于實(shí)際值時(shí)，表示軸承預(yù)測健康狀態(tài)好于實(shí)際健康狀態(tài)，這對于軸承運(yùn)行和維護(hù)的安全性是不利的，正確的預(yù)測結(jié)果應(yīng)該是保守預(yù)測，即預(yù)測的健康狀態(tài)劣于實(shí)際健康狀態(tài)，這樣才能保證軸承運(yùn)行和維護(hù)的安全性。在統(tǒng)計(jì)的2 783組試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，ISOMAP有150個(gè)時(shí)刻的預(yù)測結(jié)果存在危險(xiǎn)性，達(dá)到了5.390%，MD-CUSUM方法只有108個(gè)時(shí)刻，3.881%的預(yù)測存在危險(xiǎn)性。

為了更加直觀反應(yīng)兩種方法在預(yù)測安全性上的優(yōu)劣，對危險(xiǎn)數(shù)N進(jìn)一步分析。對于存在預(yù)測危險(xiǎn)的時(shí)刻，計(jì)算其偏差量，結(jié)果見表3。其可以反映其危險(xiǎn)發(fā)生的概率，偏差量越大表示其發(fā)生危險(xiǎn)的概率越大。ISOMAP在危險(xiǎn)數(shù)和危險(xiǎn)發(fā)生幾率上都高于MD-CUSUM，體現(xiàn)了后者在軸承健康狀態(tài)預(yù)測方面具有更高的安全性。

表3 危險(xiǎn)數(shù)指標(biāo)Tab.3 Indicators of dangerous

根據(jù)上述試驗(yàn)分析對比，MD-CUSUM的健康指標(biāo)在軸承健康狀態(tài)描述上能更好地增強(qiáng)其壽命單調(diào)性，描述更準(zhǔn)確；TD-SVR模型在軸承健康狀態(tài)預(yù)測上擁有更突出地表現(xiàn)，其結(jié)果更優(yōu)。

5 結(jié) 論

論文首先系統(tǒng)研究了累積馬氏距離(MD-CUSUM)的含義，得到反應(yīng)軸承健康狀態(tài)的低維特征健康指標(biāo)(HI)；其次構(gòu)建時(shí)滯性支持向量回歸(TD-SVR)對滾動軸承HI指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測；最后通過試驗(yàn)驗(yàn)證，對比分析了ISOMAP和MD-CUSUM在軸承健康狀態(tài)描述和預(yù)測方面的效果，后者具有明顯的優(yōu)勢。

(1)MD-CUSUM克服了馬氏距離在反應(yīng)樣本微小變化和滾動軸承健康狀態(tài)單調(diào)性存在的不足，應(yīng)用累積和理論增強(qiáng)馬氏距離對變化的敏感性以及健康狀態(tài)的單調(diào)性，能更準(zhǔn)確地描述軸承健康狀態(tài)。

(2)時(shí)滯性支持向量回歸模型以支持向量回歸為基礎(chǔ)，建立輸入和輸出的時(shí)滯性關(guān)系，更好地契合了滾動軸承全壽命預(yù)測，實(shí)現(xiàn)由已知當(dāng)前軸承健康狀態(tài)預(yù)測軸承全壽命健康狀態(tài)的目的。

(3)基于MD-CUSUM和TD-SVR相結(jié)合的方法能更清晰、全面反應(yīng)軸承健康狀態(tài)，能敏感識別出軸承健康狀態(tài)突變點(diǎn)；在健康狀態(tài)預(yù)測上能更準(zhǔn)確地對全壽命HI指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測，精度更高，安全性更好。