劉新求

(湖南工程職業(yè)技術學院，湖南 長沙 410151)

1 研究背景

本文中關于曲面、嵌入、虧格等概念均與文獻[1]一致.上世紀九十年代起，國內(nèi)外一些圖論學者開始研究圖的虧格分布和完全虧格分布問題，并且做出了一些有價值的結論[2-7]，但是遠遠未解決這個問題，這是一個NP難問題.因為圖在不同虧格曲面上的嵌入往往有相關關系.近十年來，有學者利用劉彥佩教授提出的聯(lián)樹模型和曲面運算理論[8]，轉(zhuǎn)而研究一些圖在某些小虧格曲面上的嵌入，譬如研究圖在球面、射影平面、環(huán)面、Klein瓶上等曲面上的嵌入，也做出了一些頗有意義的結論[9-11].本文作者亦研究了兩類廣義項鏈圖在射影平面上的嵌入[12].本文擬在此基礎上，進一步研究其中一類廣義項鏈圖在Klein瓶上的嵌入.

2 引理和定義

為了表述方便，本文列出曲面運算理論的三種運算和三種關系.

運算1Aaa-?A

運算2AabBab?AcBc

運算3AB?(Aa)(a-B)

關系1AaBbCa-Db-E～ADCBEaba-b-

關系2AaBaC～AB-Caa

關系3Aaabcb-c-～Aaabbcc

定義2.1 若曲面S=…a…b…a…b, 則稱邊a和b在曲面S中交錯，若曲面S=…a…a…b…b，則稱邊a和b在曲面S中平行(此處省略邊的上標).

引理2.1[8]設曲面S1是可定向曲面且虧格為p，曲面S2是不可定向曲面且虧格為q，則有：

(1) 曲面S=S1xyx-y-可定向且虧格為p+ 1，曲面S=S1xx不可定向且虧格為2p+ 1；

(2)曲面S=S2xyx-y-不可定向且虧格為p+ 2，曲面S=S2xx不可定向且虧格為q+ 1.

定義2.2 設A是一個字母循環(huán)序，則由A中的某些字母按原來的相對順序組成的字

母循環(huán)序叫做A的子列.

根據(jù)引理2.1，顯然有以下結論：

引理2.2 在曲面S的多邊形表示中，若其子列也能表示某個曲面S1，則S1

的虧格必定不大于S的虧格.

定義2.3 在兩個節(jié)點之間連結m(m ≥ 2)條重邊構成的圖叫做雙極圖，記作Dm.

圖1 圖Dm及其聯(lián)樹

引理2.3[13]雙極圖Dm在球面上的嵌入個數(shù)g0(Dm)=(m-1)!.

引理2.4[14]雙極圖Dm在Klein瓶上的嵌入個數(shù)

定義2.4 在圈U2n=u1u2...u2nu1的節(jié)點u2i-1,u2i:i=1,2,3,…,n之間分別添

圖2 項鏈圖

3 主要結論

圖3 圖的聯(lián)樹

S=

嵌入情形1E1,E2,…,En中均不含有扭邊.

或者

=[m(m+1)!+(m+1)!]n-(m+1)!n

=((m+1)n-1)(m+1)!n.

嵌入情形2E1,E2,…,En中恰有一個含有扭邊.

而對于i≠j，Ej中的邊的放置方法均為(m+ 1)!種.令i=1,2,…,n,故嵌入情形2在Klein平面上的嵌入個數(shù)為

嵌入情形3E1,E2,…,En中恰有兩個含有扭邊.

而

分別對應著2種不同的情形，所以以上子列實際上對應著16 種不同的情形.對于r≠i,j，Er中的邊均為非扭邊且其中每一條邊所對應的兩條半邊均在生成樹的同一側，則有

從而Er的邊的放置方法有(m+ 1)!種.

對其中每一種嵌入情形，Er(r≠i,j)的邊的放置方法有(m+ 1)!種，Ei(Ej)的邊的放置方法有

綜上，嵌入情形3在Klein瓶上的嵌入個數(shù)為

把以上嵌入情形的嵌入個數(shù)相加即得定理結論.

令m= 1，立即得到以下推論：

推論3.1 項鏈圖Nn,0在Klein瓶上的嵌入個數(shù)為(2n2+ 2n-1)2n.