朱向哲，高 鶴，劉 儉

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轉(zhuǎn)子導(dǎo)程及偏心率對(duì)面團(tuán)混合器混合流場及效率影響分析

朱向哲，高 鶴，劉 儉

（遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，撫順 113001）

為了探究偏心螺旋轉(zhuǎn)子擾動(dòng)下面團(tuán)混合器的混沌混合機(jī)制，明確偏心轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的關(guān)鍵幾何參數(shù)對(duì)混沌混合機(jī)制的影響，從三維Lagrangian的新視角，利用有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)（finite-time lyapunov exponent, FTLE）和拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（lagrangian coherent structure, LCS），結(jié)合經(jīng)典Poincaré截面，對(duì)面團(tuán)混合器的流體輸運(yùn)和混合機(jī)理進(jìn)行了深入研究。利用LCS的準(zhǔn)邊界特性，分析了混合器的混沌和非混沌區(qū)域分布規(guī)律；研究了轉(zhuǎn)子偏心率對(duì)混沌尺度和非混沌區(qū)粒子運(yùn)動(dòng)特性的影響規(guī)律。利用剪切速率、對(duì)數(shù)拉伸、瞬時(shí)混合效率和平均時(shí)間混合效率等，分析了轉(zhuǎn)子導(dǎo)程和偏心率對(duì)混合器混合效率的影響。結(jié)果表明，雙曲LCS將混合器流域劃分為兩個(gè)不同動(dòng)力學(xué)特性的區(qū)域：內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)和外螺旋區(qū)。隨著轉(zhuǎn)子偏心率逐漸增大，外螺旋區(qū)流體的混沌混合強(qiáng)度增大，內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)混合強(qiáng)度逐漸較低，當(dāng)偏心率較小時(shí)，流體混合以內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)運(yùn)動(dòng)為主；由于轉(zhuǎn)子擾動(dòng)減小，減小了混合器的軸向物質(zhì)輸運(yùn)。從拉伸流動(dòng)混合效率角度可知，當(dāng)導(dǎo)程=120 mm、偏心率=0.67時(shí)，混合器的具有相對(duì)較高的拉伸混合效率；當(dāng)導(dǎo)程=60 mm、偏心率=0.33時(shí)，混合器的拉伸混合效率相對(duì)最低，但其剪切混合效率相對(duì)最高。該文為食品及其它混合設(shè)備的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了新的研究思路和理論依據(jù)。

混合器；食品加工；流場；偏心螺旋轉(zhuǎn)子；有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)；拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)；Poincaré截面

0 引 言

混合是食品連續(xù)加工過程中的重要環(huán)節(jié)，其均勻性是影響產(chǎn)品品質(zhì)的主要因素之一。近年來，隨著對(duì)高品質(zhì)食品需求的日益增加，提高了對(duì)食品混合、特別是面團(tuán)混合質(zhì)量的要求[1-2]。面團(tuán)等食品具有復(fù)雜的流變性和高黏度特性，面團(tuán)中的脂質(zhì)、蛋白質(zhì)、面筋等含量對(duì)于其流變性以及對(duì)產(chǎn)品品質(zhì)的具有一定的影響[3-4]；同時(shí)，面團(tuán)中氣泡的數(shù)量和氣泡尺寸影響面團(tuán)的氧化過程[5]，最終影響到產(chǎn)品的品質(zhì)，并且面團(tuán)混合過程的時(shí)間也不宜太長。因此，要想獲得預(yù)期的混合質(zhì)量，對(duì)食品的混合加工設(shè)備也提出了更高的設(shè)計(jì)要求。

高效食品混合器設(shè)計(jì)和優(yōu)化的核心是對(duì)混合設(shè)備中的面團(tuán)等食品流體混合機(jī)制的深入理解。Connelly等[6-7]采用數(shù)值模擬，利用速度場剪切應(yīng)力、混合指數(shù)和分離指數(shù)等參數(shù)表征了單螺桿和雙螺桿擠出機(jī)二維流場面團(tuán)流體的混合機(jī)制，研究表明，二維螺桿流場內(nèi)物料主要的混合方式為線性剪切、流動(dòng)拉伸，分布混合以及分散混合。林江嬌等[8]建立了雙螺桿擠壓膨化機(jī)中玉米物料的非等溫、非牛頓流體的模型，分析了雙螺桿擠壓膨化機(jī)內(nèi)流體的溫度變化過程及規(guī)律，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。孫智慧等[9]采用ANSYS軟件對(duì)食品雙螺桿擠出機(jī)中流體的速度場、壓力場進(jìn)行了仿真研究。通過后處理，得到了多種工況下的比能耗，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了試驗(yàn)修正。朱向哲等[10]采用三維流-熱耦合模型對(duì)三螺桿擠壓機(jī)流場、溫度場、壓力場和粘性生熱分布進(jìn)行了研究；分析了螺桿轉(zhuǎn)速、螺紋頭數(shù)、壓力差和擠出量等參數(shù)對(duì)三螺桿擠壓機(jī)擠出功耗和比能產(chǎn)量的影響。Chella等[11]分析了面團(tuán)流體在偏心轉(zhuǎn)子周期性運(yùn)動(dòng)規(guī)律，研究發(fā)現(xiàn)面團(tuán)流體在偏心轉(zhuǎn)子的周期性擾動(dòng)下，雖然不能依賴湍流擾動(dòng)使流體混合的均勻，但產(chǎn)生混沌混合機(jī)制。Chien等[12]又對(duì)有周期性邊界變化的空腔流動(dòng)進(jìn)行了試驗(yàn)和數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)了混沌特性依賴于邊界的周期變化規(guī)律，并伴有分岔現(xiàn)象?；煦鐚?duì)流顯著提高了流體層流的混合效率，成為強(qiáng)化高粘度流體混合的重要的手段。

最近，Hosseinalipour等[13-14]利用混沌混合理論，研發(fā)了具有螺旋式偏心轉(zhuǎn)子的面團(tuán)混沌混合器；利用粒子追蹤、Lyapunov指數(shù)、混合指數(shù)等對(duì)混沌混合器的混合機(jī)理進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究。研究表明，該混合器利用混沌對(duì)流顯著提高了設(shè)備的混合效率；同時(shí)，也克服了螺桿擠壓機(jī)等傳統(tǒng)混合設(shè)備的高剪切應(yīng)力對(duì)長分子鏈流體的剪切破壞。然而，上述采用傳統(tǒng)的歐拉方法研究混沌流場不能有效識(shí)別流場的物質(zhì)輸運(yùn)邊界，難以刻畫出混合系統(tǒng)的潛在幾何學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性[15-17]；對(duì)于深刻理解混合設(shè)備的流動(dòng)和混合機(jī)理具有一定的局限性。

近年來，在傳統(tǒng)歐拉體系流動(dòng)分析的基礎(chǔ)上，提出了拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)（Lagrangian coherent structure, LCS）分析方法。基于有限時(shí)間李雅普諾夫指數(shù)（Finite-time Lyapunov exponent, FTLE），得到了系統(tǒng)的LCS，為研究不穩(wěn)定流體的運(yùn)輸行為提供了有利工具[18-20]。目前，F(xiàn)TLE和LCS作為分析流體動(dòng)力學(xué)行為的主要方法，廣泛應(yīng)用于大氣、海洋流動(dòng)、湍流和微流體混合等不同領(lǐng)域[21-26]，但該方法應(yīng)用于食品加工設(shè)備的研究還十分有限，未見相關(guān)研究報(bào)道。本文從三維拉格朗日全新思路出發(fā)，利用FTLE和LCS，結(jié)合經(jīng)典Poincaré截面，對(duì)螺旋式偏心轉(zhuǎn)子食品混沌混合器的流體輸運(yùn)和混合機(jī)理進(jìn)行了深入研究。利用LCS的準(zhǔn)邊界特性，分析了面團(tuán)混合器的混沌和非混沌區(qū)域分布規(guī)律；研究了轉(zhuǎn)子的偏心率對(duì)混沌尺度以及非混沌區(qū)流體動(dòng)力學(xué)特性的影響，給出了混沌尺度對(duì)于混沌混合器的對(duì)數(shù)拉伸、混合效率和混合時(shí)間的影響規(guī)律；為食品加工設(shè)備的設(shè)計(jì)、優(yōu)化和研發(fā)提供了新的理論依據(jù)，也為其它混合設(shè)備的設(shè)計(jì)提供了新思路。

1 數(shù)學(xué)模型

本文對(duì)混沌混合器內(nèi)加工小麥面團(tuán)流體的流動(dòng)過程進(jìn)行數(shù)值模擬，采用如下基本假設(shè)：1）混合為等溫過程，流場各點(diǎn)溫度一致；2）流體充滿整個(gè)流域且流體不可壓縮；3）小麥面團(tuán)流體為高粘度流體，流動(dòng)為層流，忽略慣性力的影響；4）邊界無滑移；5）體積力忽略不計(jì)。

混沌混合器內(nèi)小麥面團(tuán)流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和本構(gòu)方程分別為[6]

小麥面團(tuán)流體具有非線性和粘彈性等，可以采用Bird-Carreau模型描述小麥面團(tuán)的復(fù)雜流變行為[27-28]，其本構(gòu)模型為

2 計(jì)算方法

2.1 FTLE和LCS

Poincaré截面和Lyapunov指數(shù)分析流場動(dòng)力學(xué)特性的重要工具，它們可描述動(dòng)力系統(tǒng)的長期行為。然而，在實(shí)際工程或?qū)嶒?yàn)室研究中，長時(shí)間追蹤粒子軌跡難以實(shí)現(xiàn)，尤其是在運(yùn)動(dòng)范圍有限的情況下，需要一種對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)短時(shí)間狀態(tài)的刻畫參數(shù)。FTLE是一種能夠有效刻畫動(dòng)力系統(tǒng)短時(shí)間狀態(tài)的參數(shù)[19]。基于流場內(nèi)流體單元產(chǎn)生的最大拉伸率來代表各個(gè)位置的變形狀態(tài)，從而得到流場的FTLE數(shù)值，其計(jì)算公式為[20]

將FTLE與流場坐標(biāo)結(jié)合，獲得空間中的一個(gè)代表拉伸強(qiáng)弱的曲面。若存在某一范圍內(nèi)的突出點(diǎn)，則為流場內(nèi)局部最大拉伸位置，若這些點(diǎn)連成峰，構(gòu)成FTLE中的脊，即LCS。由正向時(shí)間積分所得的LCS表明流體的分離特征，稱為排斥的LCS；相反，由負(fù)向時(shí)間積分所得的LCS表明流體的聚集特征，稱為吸引的LCS。由于LCS穩(wěn)定性較強(qiáng)，在較大的速度場誤差下仍可保持其穩(wěn)定性，可獲得相對(duì)準(zhǔn)確的LCS[20]，這為流場中混沌結(jié)構(gòu)的識(shí)別提供了一種較為可靠的研究方法。

2.2 LCS計(jì)算方法

由于混合器的幾何結(jié)構(gòu)具有周期性，因此采用分步式計(jì)算混合器流場的LCS分布，即通過對(duì)速度場的向前時(shí)間積分獲得排斥的LCS，對(duì)速度場的向后時(shí)間積分獲得吸引的LCS，積分時(shí)間選取轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)周期的整數(shù)倍（本文所提及的1個(gè)周期為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間），以保證排斥和吸引的LCS處于同一動(dòng)力系統(tǒng)中。

對(duì)于LCS的計(jì)算一般基于有限時(shí)間內(nèi)最大拉伸率FTLE的結(jié)果。假設(shè)混合器內(nèi)流體的三維速度場可描述為

3 物理模型

面團(tuán)混沌混合器幾何模型如圖1所示。其中，螺旋式偏心轉(zhuǎn)子是混沌混合器的核心部件，轉(zhuǎn)子繞中軸線勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。在混合器的不同軸截面，由于偏心量的存在引起流體脫離流線，引發(fā)了流場的混沌特征。轉(zhuǎn)子及機(jī)筒的主要幾何參數(shù)如下：螺旋轉(zhuǎn)子截面圓半徑r= 25 mm，流域半徑r=40 mm，導(dǎo)程=120 mm，為偏心距。為了定性描述轉(zhuǎn)子幾何結(jié)構(gòu)，引入無量綱參數(shù)：間隙率和偏心率分別為

根據(jù)混合器試驗(yàn)樣機(jī)具體設(shè)計(jì)工況，選取間隙率=0.6，偏心率分別選取為0.97、0.67、0.33。對(duì)比研究不同轉(zhuǎn)子偏心率對(duì)混合器流體輸運(yùn)和混合動(dòng)力學(xué)特征的影響。

注：ri螺旋轉(zhuǎn)子截面圓半徑，mm，ro為流域半徑，mm，ε為偏心距，mm，O1，O2為圓心。

采用Gambit軟件進(jìn)行幾何建模，利用Polyflow軟件的網(wǎng)格疊加技術(shù)（MST）進(jìn)行網(wǎng)格劃分[29]，混合器轉(zhuǎn)子和流域均采用六面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。為捕捉流場中轉(zhuǎn)子與筒壁間隙中流體的運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子和筒壁采用4 層邊界層網(wǎng)格。為了縮短計(jì)算時(shí)間，轉(zhuǎn)子采用空心結(jié)構(gòu)，以便減少網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)的數(shù)量?；旌掀髁饔蚺c轉(zhuǎn)子的網(wǎng)格劃分方法如圖2所示。其中，轉(zhuǎn)子的網(wǎng)格數(shù)為1 115 856個(gè)，流域（流道）的網(wǎng)格數(shù)為561 392個(gè)。采用Polyflow軟件求解控制方程，收斂精度為1×10-4。

圖2 混合器流域與轉(zhuǎn)子的網(wǎng)格劃分

4 結(jié)果與討論

4.1 試驗(yàn)驗(yàn)證

注：每幅圖左側(cè)為試驗(yàn)結(jié)果，右側(cè)為數(shù)值模擬結(jié)果

注：每幅圖從左到右依次為t=T，t=2T，t=3T。

需要說明的是，數(shù)值模擬粒子軌跡的長度大于試驗(yàn)樣本面團(tuán)的擴(kuò)散長度，這主要是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)面團(tuán)示蹤劑可視化截面的截取方法略有不同：文獻(xiàn)[14]采用在混合器出口安裝了一段30 cm長的實(shí)驗(yàn)圓管，通過截取不同時(shí)刻圓管端面的擠出樣本，獲取實(shí)驗(yàn)流體隨時(shí)間變化的混合形態(tài)。而本文數(shù)值模擬粒子可視化追蹤，直接把不同時(shí)刻流體粒子映射到流道出口截面，獲得粒子可視化結(jié)果。

4.2 積分時(shí)間的選取

FTLE表示積分時(shí)間內(nèi)流體的分離程度，積分時(shí)間影響LCS結(jié)構(gòu)的清晰程度。積分時(shí)間過短，LCS結(jié)構(gòu)不清晰；積分時(shí)間過長，LCS結(jié)構(gòu)混亂難以識(shí)別。本文分別計(jì)算了3組不同偏心率轉(zhuǎn)子混合器在積分時(shí)間分別為、2和3時(shí)間向前的FTLE分布，如圖4所示。從圖4中可以看到，隨著積分時(shí)間的增加，具有較大FTLE值的紅色“脊線”逐漸增加。當(dāng)積分時(shí)間為2時(shí)，“脊線”結(jié)構(gòu)趨于完整。當(dāng)積分時(shí)間為3時(shí)，已難以分辨出3組模型“脊線”的主次。通過對(duì)三組模型不同積分時(shí)間向前的FTLE對(duì)比，本文選取2作為混合系統(tǒng)的積分時(shí)間。

4.3 LCS分布規(guī)律

LCS作為FTLE中的“脊”，代表了沿積分時(shí)間流場中分離程度較強(qiáng)的區(qū)域。在實(shí)際流動(dòng)中，排斥的LCS代表拉伸效率較高的區(qū)域，而吸引的LCS則刻畫了粒子的流動(dòng)趨勢。由于LCS具有物質(zhì)的連續(xù)性，兩側(cè)的粒子在LCS上的交換微小，使得LCS成為流場中潛在的邊界，即準(zhǔn)邊界[15]。選取轉(zhuǎn)子螺旋導(dǎo)程長度的20%、40%、60%、80%所在軸截面，即分別為24、48、72和96 mm，其中轉(zhuǎn)子沿方向每移動(dòng)20%導(dǎo)程長度，轉(zhuǎn)子端面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)72°。通過分析混合器不同軸截面的FTLE和LCS分布，研究混沌流場的幾何學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性。

圖5所示為積分時(shí)間為2時(shí)，混合器不同軸截面的時(shí)間向前FTLE分布。從圖5可以看到，隨著轉(zhuǎn)子偏心率的減小，流域中流體受到拉伸的區(qū)域逐漸增大。在=0.97時(shí)，排斥的LCS緊貼在轉(zhuǎn)子壁面以及混合筒內(nèi)壁面，流域中心由于缺少LCS而整體呈弱拉伸狀態(tài)。隨著的減小，筒壁面排斥的LCS逐漸脫離壁面，向流域中心靠近，在=0.67時(shí)，排斥的LCS與筒壁產(chǎn)生一定的距離，一定程度上增加了中心區(qū)域流體的拉伸程度，弱化了對(duì)筒壁附近流體的影響，但在轉(zhuǎn)子前進(jìn)方向一端，排斥的LCS依然貼近轉(zhuǎn)子壁面。當(dāng)=0.33時(shí)，排斥的LCS占據(jù)流域中心，整體呈強(qiáng)拉伸狀態(tài)；流域的弱拉伸區(qū)夾在排斥的LCS之間，此時(shí)靠近轉(zhuǎn)子壁面排斥的LCS被弱化。

注：每幅圖從左到右依次為Z=24 mm、Z=48 mm、Z=72 mm、Z=96 mm。

圖6所示為積分時(shí)間為2時(shí)，混合器軸向2D剖面的時(shí)間向后FTLE分布。時(shí)間向后FTLE場中的“脊”為吸引的LCS，暗示粒子潛在的運(yùn)動(dòng)趨勢。由圖6可以看到，吸引的LCS將混合器內(nèi)流域劃分為兩個(gè)具有不同粒子運(yùn)動(dòng)特性的區(qū)域，即：在吸引的LCS與筒壁之間的區(qū)域，粒子繞整個(gè)流域旋轉(zhuǎn)，稱為外螺旋區(qū)；在吸引的LCS與轉(zhuǎn)子壁面所夾區(qū)域，粒子沿轉(zhuǎn)子壁面旋轉(zhuǎn)，形成內(nèi)回旋區(qū)。由于LCS的準(zhǔn)邊界作用，外螺旋區(qū)和內(nèi)回旋區(qū)之間很難進(jìn)行物質(zhì)交換。

圖6 混合器軸向2D剖面的時(shí)間向后FTLE分布

在一定條件下，排斥的LCS對(duì)應(yīng)穩(wěn)定流形，吸引的LCS對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定流形；穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形的交點(diǎn)，即雙曲不動(dòng)點(diǎn)與同宿或異宿點(diǎn)。為清晰地揭示流域的流形結(jié)構(gòu)，將排斥與吸引的LCS合并于同一圖中，并標(biāo)識(shí)出LCS方向，以便確定流域中的流形結(jié)構(gòu)。圖7所示為排斥與吸引的LCS的合并圖。從圖7a可以看出，在偏心率為0.97時(shí)，筒壁處排斥與吸引的LCS重合，且具有相同的流動(dòng)方向，均為順時(shí)針。而靠近轉(zhuǎn)子壁面的LCS則具有逆時(shí)針流向，LCS在轉(zhuǎn)子與壁面的狹縫中方向發(fā)生改變，說明在狹縫中的LCS交點(diǎn)是雙曲平衡點(diǎn)，此時(shí)，經(jīng)過平衡點(diǎn)的排斥和吸引的LCS稱為雙曲LCS，而其余交點(diǎn)為同宿點(diǎn)；雙曲點(diǎn)與同宿點(diǎn)為流場系統(tǒng)帶來了混沌效應(yīng)。但LCS分布較為集中，產(chǎn)生的混沌區(qū)域僅為轉(zhuǎn)子壁面附近與筒壁附近的區(qū)域，中心流域則在LCS的影響下做月牙形運(yùn)動(dòng)。

注：紅色為吸引的LCS，藍(lán)色為排斥的LCS；箭頭代表流向。

當(dāng)偏心率減小到0.67時(shí)，如圖7b所示，LCS向流域中心縮小，同時(shí)排斥與吸引的LCS之間的交點(diǎn)增加，LCS流向與偏心率為0.97時(shí)相同，即環(huán)繞整個(gè)流域的LCS為順時(shí)針流向，貼近轉(zhuǎn)子壁面的LCS為逆時(shí)針流向，說明在轉(zhuǎn)子與筒壁較小間隙處依然存在雙曲平衡點(diǎn)。在LCS分布的區(qū)域，受到雙曲點(diǎn)的影響，形成了混沌區(qū)。而流域中心缺少LCS的區(qū)域則在LCS的影響下做有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)。隨著偏心率的繼續(xù)減小，當(dāng)=0.33時(shí)，如圖7c所示，排斥與吸引的LCS整體位于流域中心，但此時(shí)LCS的流動(dòng)方向均為順時(shí)針，無方向改變，因此整個(gè)流域在LCS的影響下繞中心軸進(jìn)行螺旋運(yùn)動(dòng)，流場系統(tǒng)中雖有LCS，但不存在雙曲LCS，導(dǎo)致流域內(nèi)的月牙運(yùn)動(dòng)區(qū)域消失，同時(shí)由雙曲平衡點(diǎn)引發(fā)的流體折疊作用也隨之消失，降低了混沌混合效率。為進(jìn)一步研究流域內(nèi)沒有LCS區(qū)域的運(yùn)動(dòng)形式和混合機(jī)制，將采用Poincaré截面對(duì)此部分進(jìn)行分析。

4.4 Poincaré 截面分析

為了計(jì)算混合器內(nèi)的Poincaré截面，取Z=96mm處的軸截面作為釋放初始追蹤粒子的平面，均勻覆蓋整個(gè)截面。通過4階Rung-Kutta積分法，選取適合的時(shí)間步長計(jì)算粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。記錄粒子長期運(yùn)動(dòng)過程[12]。圖8所示為追蹤496個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)，記錄200個(gè)周期時(shí)不同轉(zhuǎn)子偏心率的混合器Poincaré截面。從圖8中可以看到，當(dāng)偏心率=0.97時(shí)，筒壁與轉(zhuǎn)子壁面粒子分布較為雜亂，形成混沌特征。而流域其他位置的粒子具有清晰的月牙狀結(jié)構(gòu)，與LCS所包圍的區(qū)域相同。當(dāng)偏心率減小到0.67時(shí)，月牙狀結(jié)構(gòu)縮小，并且在流域中出現(xiàn)明顯的邊界；此時(shí)混沌區(qū)的分布發(fā)生了顯著改變，主要分布在靠近筒壁的環(huán)形區(qū)域內(nèi)，在緊貼筒壁的流域內(nèi)則為環(huán)形運(yùn)動(dòng)，且不與混沌區(qū)內(nèi)的流體發(fā)生混合，在混沌區(qū)與轉(zhuǎn)子壁面之間的區(qū)域內(nèi)，流體粒子呈環(huán)形運(yùn)動(dòng)，被混沌區(qū)隔離。當(dāng)偏心率進(jìn)一步減小為0.33時(shí)，月牙形區(qū)域消失，流域整體呈彌散狀，流體粒子整體沿筒壁的呈環(huán)形結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，雖然不同區(qū)域內(nèi)的粒子做無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，但不同區(qū)域之間的粒子交換甚少。

圖8 混合器不同區(qū)域Poincaré截面

通過對(duì)不同周期月牙形區(qū)域的觀察可以發(fā)現(xiàn)，月牙形區(qū)域內(nèi)的粒子所形成的結(jié)構(gòu)并非閉合的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，也并非是準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)，而是螺旋源結(jié)構(gòu)，并且具有一定的周期性：在偏心率為0.97時(shí)，為周期3，而在偏心率為0.67時(shí)，為周期6。周期越多則表明運(yùn)動(dòng)回歸到初始位置附近區(qū)域相隔的周期越多，即粒子運(yùn)動(dòng)速度越慢，混合效率越低。此外，相比于二維偏心轉(zhuǎn)子模型的研究結(jié)果[12]可知，在三維模型中，混合系統(tǒng)的流域內(nèi)不存在被隔離的封閉環(huán)形結(jié)構(gòu)，取而代之的是螺旋源結(jié)構(gòu)，主要是由于三維流場的軸向擾動(dòng)破壞了規(guī)則區(qū)內(nèi)的結(jié)構(gòu)，一定程度上使得非混沌區(qū)內(nèi)物質(zhì)交換更加頻繁。

4.5 粒子可視化追蹤

注：每幅圖從上到下依次為t=0、t=T、t=2T、t=3T、t=4T、t=5T、t=10T和t=15T。

4.6 轉(zhuǎn)子導(dǎo)程和偏心率對(duì)混合效率的影響

偏心螺旋轉(zhuǎn)子的導(dǎo)程和偏心率是影響流場混合效率的重要參數(shù)。上述分析表明，轉(zhuǎn)子的導(dǎo)程和偏心率對(duì)混合器的軸向和徑向混合具有復(fù)雜的影響規(guī)律。為了分析轉(zhuǎn)子導(dǎo)程和偏心率對(duì)混合效率的影響，分別選取轉(zhuǎn)子導(dǎo)程=60、120和240 mm，偏心率分別為=0.97、=0.67和=0.33；采用剪切速率、對(duì)數(shù)拉伸、瞬時(shí)混合效率和平均時(shí)間混合效率等參數(shù)評(píng)價(jià)分散和分布混合特性[30]。初始時(shí)刻，在流域入口均勻釋放20 000個(gè)虛擬流體質(zhì)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)計(jì)算上述混合評(píng)價(jià)參數(shù)。

導(dǎo)程為60、120、240 mm不同偏心率混合器流體平均對(duì)數(shù)拉伸對(duì)比如圖11所示，此時(shí)拉伸分布規(guī)律較為復(fù)雜。當(dāng)導(dǎo)程為60 mm時(shí)，偏心率=0.97混合器流體的對(duì)數(shù)拉伸值最大，而偏心率為0.33混合器流體的對(duì)數(shù)拉伸值最??；這說明小導(dǎo)程偏心轉(zhuǎn)子軸向拉伸較弱，主要依靠軸截面的徑向拉伸作用，因此，增加偏心率可以增強(qiáng)材料的拉伸混合，提高混沌混合強(qiáng)度。當(dāng)導(dǎo)程為120和240 mm時(shí)，偏心率為0.67混合器流體的對(duì)數(shù)拉伸值最大，此時(shí)流域中心的大部分流體處于拉伸狀態(tài)，整體拉伸效果較好；而偏心率為0.33混合器流體的對(duì)數(shù)拉伸值最小，非混沌混合則占主導(dǎo)地位，主要依靠非混沌內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)進(jìn)行流體混合。

圖11 不同導(dǎo)程和偏心率對(duì)平均對(duì)數(shù)拉伸的影響

瞬時(shí)混合效率即為局部某時(shí)刻的混合效率，可表述為[7]

式中為瞬時(shí)混合效率。瞬時(shí)混合效率與局部能量耗散相關(guān)，其值范圍[?1, 1]。

平均時(shí)間混合效率用來描述分布混合，平均時(shí)間混合效率隨著混合時(shí)間的增加而下降，其表達(dá)式為[6]

圖12和圖13分別為導(dǎo)程為60、120、240 mm時(shí)，螺旋轉(zhuǎn)子偏心率對(duì)混合器內(nèi)瞬時(shí)混合效率和時(shí)間平均混合效率的影響。從圖12中可以看到，當(dāng)導(dǎo)程為60 mm時(shí)，=0.97混合器流體的瞬時(shí)混合效率略大于=0.67和=0.33種情況。當(dāng)導(dǎo)程為60和120 mm時(shí)，=0.97混合器流體的瞬時(shí)混合效率略小于=0.33情況，而=0.67的瞬時(shí)混合效率相對(duì)最大。且隨著導(dǎo)程的增加，=0.97混合器瞬時(shí)混合效率的波動(dòng)性增強(qiáng)，不穩(wěn)定性增大。從圖13中可以看到，當(dāng)導(dǎo)程為60 mm時(shí)，=0.97混合器的時(shí)間平均混合效率略大于=0.67和=0.332種情況；當(dāng)導(dǎo)程為60和120 mm時(shí)，=0.33混合器的時(shí)間平均混合最大，其次是=0.67，而=0.97混合器的時(shí)間平均混合最小，且隨著導(dǎo)程的增加，三者相差逐漸增大。

從上述分析可以發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子的導(dǎo)程和偏心率對(duì)混合器的混合效率的影響規(guī)律較為復(fù)雜，難以直接確定混合性能相對(duì)較佳的導(dǎo)程和偏心率組合。對(duì)于本文研究的偏心轉(zhuǎn)子食品混沌混合器，需要考慮高剪切應(yīng)力對(duì)長分子鏈流體的剪切破壞作用，因此，更加側(cè)重于拉伸流動(dòng)以及拉伸混合效率。從拉伸流動(dòng)角度來說，當(dāng)導(dǎo)程=120 mm、偏心率=0.67時(shí)，混合器的具有相對(duì)較高的拉伸混合效率；當(dāng)導(dǎo)程=60 mm、偏心率=0.33時(shí)，混合器的拉伸混合效率相對(duì)最低，但其剪切混合效率相對(duì)最高。當(dāng)偏心率=0.33時(shí)，增加導(dǎo)程增加了混合器的軸向拉伸作用，可以提升混合效率；當(dāng)偏心率=0.97時(shí)，增加導(dǎo)程卻降低了混合器的混合效率。

圖12 不同導(dǎo)程和偏心率對(duì)瞬時(shí)混合效率的影響

圖13 不同導(dǎo)程和偏心率對(duì)時(shí)間平均混合效率的影響

5 結(jié) 論

從拉格朗日的新視角，利用FTLE和LCS，結(jié)合Poincaré截面，對(duì)螺旋式偏心轉(zhuǎn)子面團(tuán)混沌混合器的流體輸運(yùn)和混合機(jī)理進(jìn)行了深入研究。利用LCS的準(zhǔn)邊界特性，分析了混沌混合器的混沌和非混沌區(qū)域分布規(guī)律；研究了螺旋式偏心轉(zhuǎn)子的偏心率對(duì)混沌尺度以及非混沌區(qū)粒子運(yùn)動(dòng)特性的影響規(guī)律。

1）雙曲LCS將混合器內(nèi)流域劃分為2個(gè)具有不同粒子運(yùn)動(dòng)特性的區(qū)域，即：沿筒壁做圓周運(yùn)動(dòng)的外螺旋區(qū)和在筒壁和轉(zhuǎn)子之間較寬流域內(nèi)做月牙狀回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)。外螺旋區(qū)代表混合器流場的混沌區(qū)域，內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)代表混合器流場的非混沌區(qū)域。

2）轉(zhuǎn)子的偏心率對(duì)混合器流場的內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)和外螺旋區(qū)分布具有重要的影響。由FTLE和Poincaré截面分析可知：偏心率較大時(shí)，外螺旋區(qū)的流體具有較強(qiáng)的混沌混合，隨著偏心率的減小，外螺旋區(qū)的流體混沌混合逐漸減弱。另一方面，轉(zhuǎn)子的偏心率較大時(shí)，混合器流場的內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)混合強(qiáng)度較低，隨著偏心率的減小，內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)混合強(qiáng)度逐漸增加。

3）轉(zhuǎn)子的偏心率對(duì)混合器流場的軸向速度也具有重要的影響。結(jié)合Poincaré截面和粒子可視化追蹤可知：偏心率較大時(shí)，流場主要以外螺旋區(qū)的螺旋前進(jìn)為主，軸向度較大。偏心率較小時(shí)，以內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)運(yùn)動(dòng)為主，由于混合系統(tǒng)內(nèi)轉(zhuǎn)子擾動(dòng)減小，軸向前進(jìn)速度顯著降低，但增強(qiáng)了混合器內(nèi)回轉(zhuǎn)區(qū)的徑向混合。

通過對(duì)偏心螺轉(zhuǎn)子混合器的剪切速率、對(duì)數(shù)拉伸、瞬時(shí)混合效率和平均時(shí)間混合效率的綜合評(píng)價(jià)可知，從拉伸流動(dòng)角度來說，當(dāng)導(dǎo)程=120 mm、偏心率=0.67時(shí)，混合器的具有相對(duì)較高的拉伸混合效率；當(dāng)導(dǎo)程=60 mm、偏心率=0.33時(shí)，混合器的拉伸混合效率相對(duì)最低，但其剪切混合效率相對(duì)最高。

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Analysis on influence of rotor lead and eccentricity on mixing flow field and efficiency of dough mixer

Zhu Xiangzhe, Gao He, Liu Jian

(,,113001,)

The chaotic food mixer with an eccentric spiral rotor is a new type of food processing device, in which the food fluids with long molecular chains can not be damaged by high shear stresses, such as traditional twin screw extruders. In fact, the previous researches had demonstrated that the food melt with high viscosity flowing in the food mixer has the nature of chaotic mixing. However, as a dynamic system of flow, the traditional Euler methods is difficult to distinguish the chaotic manifolds, which is a barrier for better understanding the mixing mechanism in the internal mixer. From a new viewpoint of 3D Lagrangian, the objective of our study is to explore the chaotic mixing mechanism in this new kind of food mixer under the disturbance of eccentric spiral rotor, to visually locate the poor and well mixing regions in the mixer and optimize the key geometric parameters of the eccentric spiral rotors. Firstly, a numerical simulation of the three-dimensional flow field in the food mixer is carried out using the mesh superposition technique (MST) and CFD code of Polyflow without considering the re-meshing for the periodical geometric changes. The Carreau-Yasuda constitutive model was used to describe the rheological behavior of the food material. Based on the transient velocity distributions, the finite time Lyapunov exponent (FTLE), Lagrangian coherent structure (LCS) and Poincaré section were calculated to analyze the fluid transport and mixing in the new chaotic food mixer with helical eccentric rotors. The LCS from the ridges of FTLE as a boundary was adopted to reveal the chaotic and regular zones in the mixer. And the particle tracking was used to illustrate the different fluid motions in the flow dynamic system based on the fourth-order Runge-Kutta scheme. Then the effects of rotor eccentric ratio on the chaos scale and particles motions in the regular of the mixer were studied, respectively. Moreover, based on the quantitative mixing measures, such as mixing shear rate, logarithmic of stretching, instantaneous mixing efficiency and average time mixing efficiency, the rotor lead and eccentricity rate were optimized to increase the mixing inefficiency of the chaotic food mixer. The results show that the hyperbolic LCSs divide into two regions with different particle motion characteristics for the food mixer, such as the inner rotary zone and the outer spiral zone. With the increase of rotor eccentric ratio, the strength of chaotic mixing in the outer spiral zone increases and that in the inner rotary zone decreases. When the rotor has little eccentric ratio, the mixing mainly depends on the fluid transport in the inner rotary zone. Then the axial velocity of fluid decreases significantly, but the mixing at radial direction of the inner rotary zone increases. Through optimization of the eccentricity and the lead distance of the eccentric rotor, it can be found that the mixer has relatively higher overall mixing efficiency with the lead of 120 mm and the eccentricity of 0.67, following is the lead of 60 mm and the eccentricity of 0.97, and the mixer has relatively poorer overall mixing efficiency with the lead of 60 mm and the eccentricity of 0.33. This paper has shown that the Lagrangian fresh perspective is more feasible than traditional Euler method in numerically investigate the evolution of two-dimensional mixing performance within a novel mixer. FTLE and LCS are useful tools for analyzing chaotic mixing flow in the mixer. This method provides new research ideas and theoretical basis for the design and optimization of food and other mixed equipment, which provides a better understanding the mixing mechanisms in a flow dynamic system.

mixer; food processing; flow fields; helical eccentric rotor; FTLE; lagrangian coherent structures; Poincaré section

10.11975/j.issn.1002-6819.2018.20.038

S224.23; TS203

A

1002-6819(2018)-20-0305-10

2018-05-17

2018-08-31

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51473073; 50903042）；遼寧省高等學(xué)校創(chuàng)新人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（LR2016022）

朱向哲，教授，博士，主要從事計(jì)算流體力學(xué)、非線性動(dòng)力學(xué)以及流體力學(xué)非線性問題等領(lǐng)域研究。Email：xzzhu@126.com

朱向哲，高 鶴，劉 儉.轉(zhuǎn)子導(dǎo)程及偏心率對(duì)面團(tuán)混合器混合流場及效率影響分析[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2018，34(20)：305－314. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2018.20.038 http://www.tcsae.org

Zhu Xiangzhe, Gao He, Liu Jian. Analysis on influence of rotor lead and eccentricity on mixing flow field and efficiency of dough mixer[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(20): 305－314. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2018.20.038 http://www.tcsae.org