肖寧聰 ，周成寧，張成林，劉志亮

(1.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室 長沙 410082；2.電子科技大學機械電子工程學院 成都 611731；3.上海航天設備制造總廠 上海 閔行區(qū) 200245)

在工程中，通常會出現(xiàn)各種各樣的不確定性問題，如外部載荷、材料的屬性、加工尺寸、近似模型誤差等，不確定性是影響結構可靠性最為關鍵的因素之一[1-2]。不確定性通?？梢苑譃閮纱箢悾弘S機不確定性和認知不確定性[3]。隨機不確定性是由于事物的固有波動性引起的，在數(shù)學中通常可以用隨機變量進行建模。認知不確定性由于數(shù)據(jù)不足、信息量少等引起的，可用區(qū)間理論、模糊數(shù)學、可能性理論等進行描述。

機械零部件通常有多種失效模式(如疲勞、磨損、腐蝕等)，由于各失效模式通常有共享變量及相同的因素影響，因而有較強的非線性相關性。多失效模式可靠性方法一直是待解決的難點問題，相關學者相繼提出了一系列方法，如二階窄方法[4]、互補交集模型[5]、鞍點近似法[6]等。然而，大多數(shù)現(xiàn)有多失效模式可靠性方法只能刻畫線性相關性，而對非線性問題不能有效解決。不僅如此，現(xiàn)有方法大多集中在隨機不確定性下，混合不確定性下的多模式可靠性方法研究鮮有報道。近年來，Copula函數(shù)被用于對變量及失效模式間復雜非線性相關問題進行建模[7]。文獻[8]提出了基于鞍點近似及Copula函數(shù)的結構系統(tǒng)可靠性分析方法；文獻[9]提出了基于高斯Copula函數(shù)的可靠性設計優(yōu)化方法；文獻[10]用Copula函數(shù)對相關性進行建模，詳細分析了假定失效模式間相互獨立在可靠性分析中存在的誤差。雖然基于Copula函數(shù)多失效模式可靠性分析有了相應的研究，但是絕大部分建立在隨機不確定下，混合不確定下基于Copula函數(shù)的結構系統(tǒng)可靠性分析方法鮮有報道。針對工程中普遍存在的混合不確定性問題，分別用隨機變量和區(qū)間變量對隨機和認知不確定性進行建模，為了提高計算效率，用先進的仿真方法對隨機變量進行采樣從而確定性能函數(shù)的極值響應。為了最大限度地減少人為主觀信息等帶來的誤差，利用最大熵方法對極值響應進行分布近似，通過Copula函數(shù)最終近似確定系統(tǒng)失效概率的最大和最小值。最后給出一個工程算例驗證本文方法的精度和有效性。

1 確定混合不確定性下性能函數(shù)響應的極值

式中，Zi為第i個性能函數(shù)的輸出響應，

設隨機變量Xi的分布函數(shù)為則Xi的Nr個樣本可表示為：

基于隨機矢量X的Nr個樣本，則第i個性能函數(shù)在區(qū)間變量上的極值響應(最大和最小值)分別表示為：

現(xiàn)有很多優(yōu)化方法可用來求解式(3)和式(4)的優(yōu)化模型，如遺傳算法、序列規(guī)劃算法等。由式(3)和式(4)可得系統(tǒng)Nr個最小和最大值響應分別為：

2 基于最大熵理論近似極值響應的概率密度函數(shù)

最大熵原理為在現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和樣本情況下，確定出熵最大的一種概率分布作為現(xiàn)有數(shù)據(jù)和樣本量的概率分布函數(shù)。由于最大熵在近似隨機變量的概率密度函數(shù)時不需要任何額外的人為主觀信息及假設，因此是一種精度較高的方法[11]。利用最大熵原理近似隨機變量Z的分布可表示為[12]：

滿足以下約束：

式中，p(Z)為隨機變量Z的概率密度函數(shù)；Sz為積分域；為第i階原點矩。

根據(jù)拉格朗日乘子法，p(Z)可表示為：

式中，λi為待定的拉格朗日乘子，可用牛頓迭代優(yōu)化算法求得。

研究表明，在一般運用中僅用前四階矩即可滿足精度要求，由式(5)和式(6)可知，第k個失效模式最小和最大值響應的前四階矩可表示為：

由式(10)～式(12)，則第k個失效模式最小和最大值響應的最大熵密度函數(shù)為：

由式(13)、式(14)可知第k個失效模式的失效概率最小和最大值分別可計算為：

式(15)、式(16)中的積分沒有解析解，可借助辛普森或梯形積分算法求解。

3 利用Copula函數(shù)確定系統(tǒng)失效概率的最大和最小值

3.1 Copula函數(shù)

式中，θ為Copula函數(shù)的參數(shù)。若全為連續(xù)的邊緣分布函數(shù)，則Copula函數(shù)唯一確定。為了方便和簡單起見，僅考慮二元Copula函數(shù)的情況，多元Copula函數(shù)情況可在此基礎上類推，常見二元Copula函數(shù)如下[14]：

Clayton Copula函數(shù)：

Gumbel Copula函數(shù)：

Gauss Copula函數(shù)：

3.2 混合不確定性下Copula函數(shù)可靠性建模

由式(17)可知，具有兩個失效模式串聯(lián)系統(tǒng)的失效概率可表示為：

需指出的是，當系統(tǒng)存在區(qū)間變量時候，系統(tǒng)失效概率是區(qū)間而非精確值，此時系統(tǒng)失效概率的最大和最小值可分別近似表示為下述優(yōu)化模型：

式中，θU和θL分別為Copula函數(shù)參數(shù)的上下界，為第k個失效模式的失效概率最小和最大值。

為了確定Copula函數(shù)參數(shù)的上下界，假定Copula函數(shù)的結構不變，首先在區(qū)間矢量Y的取值范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生由最大熵方法可得出兩個失效模式分別在下的最大熵密度函數(shù)、分布函數(shù)和失效概率對所得的最大熵分布函數(shù)進行采樣，并根據(jù)分步估計和最大似然估計法，可估計出下的Copula函數(shù)參數(shù)樣本的對數(shù)似然函數(shù)可表示為：

式中，F(xiàn)1和F2分別表示失效模式1、2的最大熵分布函數(shù)；下的最大熵概率密度函數(shù)；Nh為獲取的樣本量。

在滿足一定精度要求的條件下，Uθ和Lθ可分別近似表示為：

4 算例分析

某空心壓桿，如圖1所示，具有穩(wěn)定性及強度兩種失效模式，其性能函數(shù)分別為：

式中，F(xiàn)、E、S、d、t、l分別表示軸向載荷、材料彈性模量、材料屈服極限、截面中徑、壁厚和桿長，單位分別為kN、GPa、MPa、mm、mm、mm。為了說明本文方法的有效性，壁厚假定為區(qū)間變量，其上下界分別為2.42 mm和2.38 mm。變量的相關分布信息如表1所示。

圖1 空心桿

表1 變量的分布信息

為了求解各失效模式失效概率的最大和最小值，首先用拉丁方采樣方法對各隨機變量進行采樣，樣本量為5 000。由式(3)、式(4)可得樣本在區(qū)間變量上的最大和最小值，并分別進行最大熵密度函數(shù)估計，如g1、g2響應最大值的最大熵密度函數(shù)分別如圖2和圖3所示。由式(15)、式(16)可得失效模式g1、失效概率的最大和最小值。需特別指出的是，變量t為區(qū)間變量，只代表其可在區(qū)間范圍內(nèi)任意取值，而并不知道其任何其他信息，因此不能等同于其在所取值范圍內(nèi)均勻分布。另外，選擇Copula函數(shù)對失效模式相關性進行建模，由式(22)、式(23)可得參數(shù)θ的最大和最小值估計分別為1.92、1.55。

圖2 g1響應最大值的密度函數(shù)

為了說明本文方法的精度和有效性，采用蒙特卡羅方法進行對比驗證，樣本量為610。當系統(tǒng)中存在區(qū)間變量時，為了確定系統(tǒng)失效概率最大和最小值，可把區(qū)間變量平均分成若干小區(qū)間，分別計算區(qū)間變量在小區(qū)間端點時系統(tǒng)的失效概率并確定失效概率的極值，所得系統(tǒng)失效概率最大和最小值如表2所示。從表2可知，用本文方法所得的結果與蒙特卡羅所得的結果較為接近。然而，蒙特卡羅方法一般情況下需要大量的樣本，因此計算效率低，特別是在混合不確定性下，對于區(qū)間變量任意取值，都需要大量的樣本進行仿真，因此計算效率極低，在工程中難以適用。

圖3 g2響應最大值的密度函數(shù)

表2 本文方法與蒙特卡羅仿真所得的結果

5 結束語

本文對混合不確定性下基于Copula函數(shù)及最大熵方法的結構可靠性分析方法進行初步探索性研究，并用算例驗證了方法的合理性。

1)不確定性廣泛存在工程中，考慮混合不確定性下的多失效模式可靠性方法更加符合工程實際。

2)Copula函數(shù)能有效刻畫多失效模式間較強的非線性相關性，可有效構建失效模式間的聯(lián)合分布函數(shù)。當系統(tǒng)中存在區(qū)間變量時，Copula函數(shù)中的參數(shù)估計值為區(qū)間而非精確值。

3)利用最大熵近似極值響應的分布，可有效避免人為主觀假設所帶來的誤差，根據(jù)響應的極值可計算失效概率的最大和最小值。

4)混合不確定性下系統(tǒng)的失效概率為區(qū)間而非精確值，計算量較大。一般情況下，采樣的樣本量越大，所得計算結果更精確。但是，當失效概率較小時，本文方法會帶來較大誤差。