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(華中科技大學(xué) a.水電與數(shù)字化工程學(xué)院； b.數(shù)字流域科學(xué)與技術(shù)湖北省重點實驗室，武漢 430074)

1 研究背景

近年來，我國洪澇干旱災(zāi)害頻繁發(fā)生，給我國社會經(jīng)濟可持續(xù)發(fā)展造成了重大影響。準確可靠的水文預(yù)報信息是流域水資源規(guī)劃管理和水利工程運行調(diào)控的重要基礎(chǔ)，能有效降低洪澇干旱等自然災(zāi)害帶來的損失，對水資源優(yōu)化配置和利用有著重要的意義。

徑流的形成受氣象、水文、地形、地貌、流域下墊面和人類活動等多方面因素的影響，呈復(fù)雜非線性動力特性[1]。傳統(tǒng)確定性數(shù)學(xué)模型及預(yù)測方法主要研究時間序列的外在表現(xiàn)及其隨機因素的影響，但難以刻畫水文過程內(nèi)在特性和演化機理。作為研究非線性隨機動力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性和過程潛能的新興學(xué)科，混沌理論為人類認識復(fù)雜水循環(huán)內(nèi)在動力特性提供了新途徑。Hense等[2]于20世紀80年代首次將混沌建模理論引入水文學(xué)領(lǐng)域，為后續(xù)水文徑流系統(tǒng)的混沌特性識別和混沌預(yù)測兩個方面的研究指明了方向。Hu等[3]運用混沌建模和相空間重構(gòu)理論證實了新疆瑪納斯河流域徑流過程本質(zhì)上具有很強的混沌特性。王秀杰等[4]建立了基于小波技術(shù)、混沌理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的日徑流預(yù)報模型，取得了較為滿意的預(yù)報精度。于國榮和夏自強[5]分析了宜昌站月徑流時間序列的混沌特性，建立了耦合混沌相空間重構(gòu)理論和支持向量機(Support Vector Machine，SVM)的月徑流預(yù)報模型，并通過實例分析驗證了該模型的可行性和有效性。郭曉亮等[6]結(jié)合混沌相空間重構(gòu)理論構(gòu)建了模糊支持向量機月徑流時間序列模型，實驗證明該模型能有效降低徑流預(yù)報誤差。Hong等[7]采用遺傳算法對相空間重構(gòu)理論進行改進，建立了基于改進相空間的中長期徑流預(yù)報模型，研究結(jié)果表明所建模型能較好地反映中長期徑流時間序列的非線性和混沌特征，取得較為可靠和穩(wěn)定的預(yù)報結(jié)果。

目前，對于徑流時間序列預(yù)測的研究大多集中在基于參數(shù)優(yōu)化[8-9]、數(shù)據(jù)預(yù)處理[10-12]及加權(quán)組合預(yù)測[13-14]等方面，而對單個模型的性能進行集成學(xué)習(xí)的研究還比較少。大量水文預(yù)測研究方法表明，沒有某一種預(yù)報方法能夠完全優(yōu)于另一種方法，且單一預(yù)測模型存在參數(shù)難以確定，極易陷入局部最優(yōu)、過擬合，以及流域不同時空物理背景場的適應(yīng)性和局限性等問題。AdaBoost算法[15]通過迭代產(chǎn)生多個弱學(xué)習(xí)器，在每次迭代過程中，通過抽樣產(chǎn)生不同的訓(xùn)練樣本，并將弱學(xué)習(xí)器加權(quán)組合形成強學(xué)習(xí)器，以克服單一預(yù)測模型的局限，提高弱學(xué)習(xí)算法的預(yù)測精度。

機器學(xué)習(xí)模型以其不需要考慮水循環(huán)過程物理機制的優(yōu)點在徑流預(yù)報中應(yīng)用廣泛。目前常見的機器學(xué)習(xí)模型包括傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVM支持向量機和極限學(xué)習(xí)機(Extreme Learning Machine，ELM)模型等。其中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ELM模型主要基于經(jīng)驗風(fēng)險最小化準則，模型不穩(wěn)定且易陷入局部最優(yōu)；SVM模型主要基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化準則，穩(wěn)定性高，但SVM模型更適用于小樣本的訓(xùn)練，且其預(yù)報性能對懲罰參數(shù)和核參數(shù)異常敏感；相比于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和SVM模型，ELM模型不需要調(diào)整輸入權(quán)值及隱層偏置，收斂速度更快。綜上，研究工作選取ELM極限學(xué)習(xí)機模型作為AdaBoost集成模型的單項弱學(xué)習(xí)器[16]，通過對樣本和預(yù)報模型的雙重加權(quán)增強極限學(xué)習(xí)機弱學(xué)習(xí)器的建模精度和穩(wěn)定性。

本文以長江上游干流攀枝花水文站、北碚水文站和宜昌水文站為研究對象，對3個站點的月平均徑流序列進行混沌特性分析。在月徑流時間序列具有混沌屬性研究的基礎(chǔ)上，采用相空間重構(gòu)方法對一維時間序列進行多維重構(gòu)，得到預(yù)測模型輸入變量。進一步提出一種基于自適應(yīng)動態(tài)閾值的改進AdaBoost.RT集成極限學(xué)習(xí)機模型，對混沌月徑流時間序列進行預(yù)測，以期獲得高精度的水文預(yù)報信息。

2 徑流時間序列的混沌動力特性

2.1 動力系統(tǒng)相空間重構(gòu)基本原理

徑流時間序列是一個復(fù)雜的非線性動力系統(tǒng)，其運行狀態(tài)的改變是多種物理因素相互作用的結(jié)果，徑流時間序列只能反映其中一部分信息。以相空間重構(gòu)為基礎(chǔ)，可以對徑流時間序列的混沌特性進行識別并進行進一步的預(yù)測分析。相空間重構(gòu)的基本原理是通過引入刻畫時間序列采樣間隔的時間延遲和反映徑流序列周期要素的嵌入維數(shù)，將一維空間映射至多維可以表征原系統(tǒng)動力學(xué)特性的相空間[17]。

對于某一離散的徑流時間序列{x(t),t=1,2,...,n}，n為時間序列長度。經(jīng)過時間延遲τ嵌入到m維相空間中可表示為

(1)

式中：l=n-(m-1)τ；i=1,2,…,l；τ為時間延遲；X(i)為m維相空間中的相點，每個相點有m維分量[x(i),x(i+τ),…,x(i+(m-1)τ)]相點間的連線刻畫了徑流非線性動力系統(tǒng)在m維相空間的演化軌跡。

2.2 確定相空間重構(gòu)參數(shù)

時間延遲τ和嵌入維數(shù)m對重構(gòu)相空間的效果起著重要作用。τ太大會產(chǎn)生不相關(guān)誤差，τ太小會產(chǎn)生冗余誤差。本文采用序列相關(guān)法中的自相關(guān)函數(shù)求取徑流時間序列的自相關(guān)系數(shù)，并以相關(guān)系數(shù)首次過0點時所得到的τ為重構(gòu)相空間的最佳時間延遲τ。計算公式為

(2)

Takens指出，當(dāng)維數(shù)足夠多(m≥2D+1，D為飽和關(guān)聯(lián)維數(shù))時，就可以刻畫出系統(tǒng)的奇異吸引子，恢復(fù)系統(tǒng)原來的動力學(xué)形態(tài)[18]。本文采用飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)(G-P)法來計算不同嵌入維數(shù)下徑流時間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)Dm，當(dāng)Dm不再變化時，即系統(tǒng)飽和時的嵌入維數(shù)為重構(gòu)相空間的最佳嵌入維數(shù)。

對于m維相空間的序列{X(i),i=1,2,...,l}，X(i)與X(j)之間的歐氏距離表示為

rijm=‖Xi-Xj‖ 。

(3)

式中rijm是相空間維數(shù)m的函數(shù)。

給定一個數(shù)r0，其取值在rij的數(shù)值范圍內(nèi)，適當(dāng)調(diào)整r0的取值，算出一組lnr0與lnCr0,m的值，當(dāng)r0→0時的lnCr0,m與lnr0的比值即為關(guān)聯(lián)維數(shù)Dm,即

(4)

H(x)為Heaviside函數(shù)，定義如下：

(5)

不同嵌入維數(shù)下關(guān)聯(lián)維數(shù)Dm不再變化時的關(guān)聯(lián)維數(shù)為飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)。飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)的取值結(jié)果是判斷系統(tǒng)是否存在混沌特性的一個重要標(biāo)準，混沌系統(tǒng)具有正的分數(shù)維飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)，且飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)可描述非線性系統(tǒng)的復(fù)雜程度，根據(jù)飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)的取值可判定系統(tǒng)的形成受幾個主要狀態(tài)變量影響。

2.3 最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)刻畫了重構(gòu)相空間中2個相鄰序列間的平均指數(shù)發(fā)散率，可以用于度量混沌運動對初始條件的敏感性，它和飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)是判斷徑流系統(tǒng)是否具有混沌特性的充分必要條件，可以通過計算重構(gòu)相空間中任意2個相鄰序列間的最大Lyapunov指數(shù)識別系統(tǒng)的混沌特征。

i,j=1,2,…,l。

(6)

2.4 混沌徑流時間序列相空間重構(gòu)

在證實徑流時間序列具有正的分數(shù)維飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)和正的Lyapunov指數(shù)的基礎(chǔ)上，通過相空間重構(gòu)理論建立與一維徑流時間序列保持微分同胚且具有滯后坐標(biāo)的重構(gòu)相空間，可以恢復(fù)復(fù)雜水文系統(tǒng)的時空結(jié)構(gòu)，還原徑流時間序列的主要特性，進而以m維重構(gòu)相空間作為預(yù)測模型的輸入變量對徑流時間序列進行預(yù)測。其中，重構(gòu)相空間的嵌入維數(shù)m表示徑流系統(tǒng)可以用m個變量進行描述，延遲時間τ表示重構(gòu)相空間的采樣間隔。對于給定時間序列xt,t=1,2,...,n，通過序列相關(guān)法和關(guān)聯(lián)維數(shù)法分別確定月徑流時間序列的時間延遲τ和嵌入維數(shù)m，根據(jù)相空間重構(gòu)理論可以得到式(7)所示的樣本序列：

(7)

式中：N=n-1-m-1τ，為樣本點的個數(shù)；x為訓(xùn)練樣本集的輸入變量；y為訓(xùn)練樣本集的輸出變量。

3 基于混沌動力特性的集成學(xué)習(xí)徑流預(yù)測模型構(gòu)建

3.1 極限學(xué)習(xí)機

極限學(xué)習(xí)機是一種單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16]，在訓(xùn)練極限學(xué)習(xí)機網(wǎng)絡(luò)的過程中，不需要調(diào)整輸入權(quán)值及隱層偏置，因此，其訓(xùn)練速度遠大于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。給定一組訓(xùn)練樣本xt,yt,t=1,2,..,N，其中xt=xt1,xt2,...,xtnT∈Rn為輸入變量，yt=yt1,yt2,...,ytmT∈Rm為輸出變量，則激勵函數(shù)為g，隱層結(jié)點數(shù)為L的極限學(xué)習(xí)機網(wǎng)絡(luò)模型可表述為

(8)

式中：wi=w1i,w2i,...,wni表示輸入層結(jié)點與第i個隱層結(jié)點之間的權(quán)值向量；βi=βi1,βi2,...,βimT表示隱層結(jié)點與第m個輸出層結(jié)點的權(quán)值向量；bi為隱層結(jié)點閾值；ot=ot1,ot2,...,otmT為網(wǎng)絡(luò)輸出值。

式(9)可以簡化為

Hβ=Y。

(10)

其中：

(12)

H是ELM關(guān)于訓(xùn)練樣本的隱層輸出矩陣。極限學(xué)習(xí)機的系數(shù)β可通過求解下述方程的最小二乘解獲得，即

(13)

最終解可表示為

(14)

式中H?是H的Moore-Penrose廣義逆矩陣。

3.2 混沌時間序列的集成預(yù)測流程

AdaBoost.RT是一種應(yīng)用廣泛的集成學(xué)習(xí)算法[19]，是AdaBoost.R[15]算法的變種，它主要針對回歸問題的應(yīng)用。AdaBoost.RT首先通過迭代產(chǎn)生若干個弱學(xué)習(xí)器，然后通過不斷調(diào)整弱學(xué)習(xí)器輸出樣本權(quán)值來加強迭代過程中弱學(xué)習(xí)器對訓(xùn)練誤差大的樣本的學(xué)習(xí)，最后將弱學(xué)習(xí)器預(yù)報值進行加權(quán)集成得到最終的預(yù)測結(jié)果。本文采用基于自適應(yīng)動態(tài)閾值的改進AdaBoost.RT算法來改進極限學(xué)習(xí)機模型的學(xué)習(xí)性能?；谙嗫臻g重構(gòu)、改進AdaBoost.RT算法和ELM的集成學(xué)習(xí)模型對月徑流時間序列進行預(yù)測的具體步驟如下：

(1)根據(jù)混沌相空間重構(gòu)理論，通過式(7)構(gòu)造模型的輸入輸出樣本序列x1,y1,…,xN,yN。

(2)對于N個訓(xùn)練樣本x1,y1,…,xN,yN，確定閾值的初值φ0<φ<1、基本學(xué)習(xí)算法(極限學(xué)習(xí)機)和最大迭代次數(shù)K，令當(dāng)前迭代次數(shù)k=1。

(3)設(shè)置N個樣本的初始權(quán)重值為Dki=1/N，令誤差率εk=0。

(4)在給定的樣本權(quán)重分布下訓(xùn)練ELM網(wǎng)路，建立回歸模型，使得fkx=y，fkx表示極限學(xué)習(xí)機映射函數(shù)，x表示輸入向量，y表示輸出向量。

(5)計算每個樣本的誤差及基學(xué)習(xí)器的誤差：

(15)

(16)

式中：Eki為第k次迭代第i個樣本的訓(xùn)練誤差；εk為第k次迭代的總體訓(xùn)練誤差。

(17)

(7)令k=k+1，跳轉(zhuǎn)至步驟4，直到K次迭代后跳出循環(huán)。將訓(xùn)練好的K個弱學(xué)習(xí)器進行加權(quán)集成，構(gòu)成一個強預(yù)測模型，并將檢驗樣本代入強預(yù)測模型，得到檢驗期預(yù)測結(jié)果ffinalx,即

k=1,…,K。

(18)

從上述描述可以看出，在AdaBoost.RT算法的迭代過程中，閾值φ的取值很重要且很難進行選擇。Shrestha等[20]關(guān)于AdaBoost.RT算法的研究表明，AdaBoost.RT算法的性能對閾值φ的取值敏感。如果φ太小，則難以獲得足夠的正確預(yù)測樣本，反之，φ太大則不利于對困難樣本的學(xué)習(xí)。為此，在對極限學(xué)習(xí)機進行集成學(xué)習(xí)的過程中，本文引入基于自適應(yīng)動態(tài)閾值的改進AdaBoost.RT算法更新AdaBoost.RT算法的閾值[21]，即依據(jù)每次迭代訓(xùn)練樣本的均方根誤差調(diào)整閾值φ的大小，使得訓(xùn)練誤差越大的樣本在下次迭代中的弱學(xué)習(xí)器輸出樣本權(quán)值越大，反之，誤差越小的樣本權(quán)值越小。閾值φ的具體更新步驟如下：

(1)計算每次迭代中訓(xùn)練結(jié)果的均方根誤差，即

(19)

(2)根據(jù)下式更新每次迭代中的閾值φk，使得φk隨訓(xùn)練誤差的增加而增加，即

(20)

基于改進AdaBoost.RT的極限學(xué)習(xí)機集成學(xué)習(xí)預(yù)測模型的詳細流程如圖1所示。

圖1 基于相空間重構(gòu)、改進AdaBoost.RT和ELM的集成預(yù)測模型流程Fig.1 Flowchart of the integrated prediction model based on phase space reconstruction, improved AdaBoost.RT and extreme learning machine

4 實例分析

4.1 徑流時間序列的混沌動力特性分析

以長江上游攀枝花、向家壩和宜昌3個代表性水文站點的月平均徑流量時間序列為對象，分析流域徑流時間序列的混沌動力特性。攀枝花水文站為長江上游金沙江流域主要水文控制站，其控制流域集水面積約25.92萬km2。向家壩水文站為金沙江向家壩水電站樞紐工程專用水文站，流域面積45.88萬km2。宜昌水文站是長江上游流域的總控制站，控制流域面積達101 km2。3個站點的具體位置如圖2所示。

圖2 攀枝花水文站、向家壩水文站、宜昌水文站在長江上游流域的位置Fig.2 Locations of Panzhihua, Xiangjiaba and Yichang hydrologic stations in the upper reaches of the Yangtze River

選取3個水文站點1959年1月—2008年12月(600個樣本數(shù)據(jù)點)的實測月平均徑流數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，采用序列相關(guān)法中的自相關(guān)函數(shù)來確定徑流時間序列相空間重構(gòu)系數(shù)τ，采用G-P法來確定徑流時間序列相空間重構(gòu)的系數(shù)m。以攀枝花站為例，月徑流時間序列的自相關(guān)函數(shù)變化曲線圖、不同嵌入維下lnr-lnCr曲線圖、關(guān)聯(lián)維數(shù)Dm與不同嵌入維m之間的關(guān)系圖如圖3所示。

圖3 攀枝花站月徑流時間序列相關(guān)系數(shù)、lnr-lnC(r)及m-D(m)關(guān)系曲線Fig.3 Autocorrelation function and lnr-lnC(r) and m-D(m) curves of monthly runoff at Panzhihua Station

由圖3(a) 可知，攀枝花站月徑流時間序列自相關(guān)系數(shù)隨τ的增大而減小，且當(dāng)τ=3時，自相關(guān)系數(shù)圖第一次過0點，因此攀枝花站徑流混沌分析相空間重構(gòu)系數(shù)τ值取為3。同理，分析長江干流向家壩站和宜昌站的自相關(guān)系數(shù)圖可得，長江干流上向家壩站和宜昌站自相關(guān)系數(shù)圖首次過0點的時間延遲均在3附近，由此，長江上游3個主要站點相空間重構(gòu)系數(shù)τ的取值都為3。在時間延遲確定的基礎(chǔ)上，用G-P法確定月徑流時間序列相空間重構(gòu)的最佳嵌入維數(shù)。從圖3(b)可看出，lnr-lnCr曲線圖的直線部分隨著嵌入維數(shù)m的增大逐漸趨于平行，圖中每條曲線中直線部分的斜率為不同嵌入維數(shù)m下的關(guān)聯(lián)維數(shù)Dm，由此可以作出如圖3(c)所示的m-Dm關(guān)系圖。從圖3(c)可以看出，當(dāng)嵌入維數(shù)m=12時，m-Dm曲線趨于平穩(wěn)，所以攀枝花站月徑流時間序列相空間重構(gòu)的系數(shù)m取值為12。同理，如圖4所示，當(dāng)嵌入維數(shù)m=12時，向家壩站和宜昌站的m-Dm曲線圖趨于平穩(wěn)，因此，長江上游3個主要站點的相空間重構(gòu)系數(shù)m取值都為12。

圖4 向家壩站和宜昌站月徑流時間序列m-D(m)關(guān)系曲線Fig.4 Curves of m-D(m) of monthly runoff at Xiangjiaba Station and Yichang Station

由圖3(c)和圖4可知，當(dāng)長江干流攀枝花站、向家壩站和宜昌站徑流時間序列的m-Dm曲線趨于平穩(wěn)時，飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)取值分別為2.89，3.19，3.46。由此可見，長江上游3站點月徑流時間序列系統(tǒng)的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)均為正的分數(shù)，具有分維特征，表示3個月徑流時間序列系統(tǒng)均具有混沌特性。從上游攀枝花站點到下游宜昌站點，飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)從2.89增加到3.46，表明在整個長江上游徑流系統(tǒng)中，攀枝花站月徑流混沌系統(tǒng)相對簡單，向家壩站月徑流混沌系統(tǒng)次之，宜昌站月徑流混沌系統(tǒng)最為復(fù)雜，說明長江干流下游站點徑流時間序列在形成的過程中受到的影響因素比上游站點多，混沌特性更復(fù)雜，符合河川徑流下游比上游復(fù)雜，影響因素多的自然現(xiàn)象。從定量的角度進行分析，可以得出：攀枝花站月徑流時間序列在形成的過程中受3個主要狀態(tài)變量的影響，而向家壩站和宜昌站受4個主要狀態(tài)變量的影響，表明了不同站點徑流過程受氣象、水文和陸面過程影響的差異性。

根據(jù)第2.3小節(jié)描述的方法，求得長江上游攀枝花站、向家壩站和宜昌站徑流時間序列的最大Lyapunov指數(shù)分別為0.214,0.300,0.335，進一步說明了長江干流3個站點水文序列存在混沌特性，且下游站點混沌特性比上游站點混沌特性稍強。計算3個站點最大Lyapunov指數(shù)的倒數(shù)可得，攀枝枝花站、向家壩站和宜昌站徑流時間序列的可預(yù)測時間尺度分別為5,3，3個月，證明了流域徑流的可預(yù)測性。

4.2 徑流預(yù)測實現(xiàn)和結(jié)果分析

通過以上分析可得，長江上游3站點月徑流時間序列都具有混沌特性，且相空間重構(gòu)系數(shù)τ和m的取值均分別為3和12，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)式(7)對時間序列進行相空間重構(gòu)，得到的總樣本個數(shù)為566，將第1—第446個樣本用于訓(xùn)練，第447—第566個樣本用于測試檢驗。本文極限學(xué)習(xí)機的隱層結(jié)點個數(shù)通過網(wǎng)絡(luò)搜索算法確定，網(wǎng)格搜索范圍設(shè)置為2n-20,2n+20，其中，n為輸入層結(jié)點個數(shù)，本文n的取值為12，搜索步長設(shè)置為1；改進AdaBoost.RT的最大迭代次數(shù)K即生成極限學(xué)習(xí)機弱學(xué)習(xí)器的個數(shù)設(shè)置為20，閾值的初值φ設(shè)置為0.2。

為評價模型的預(yù)報性能，本文選取水文預(yù)報中常用的4種評價指標(biāo)：均方根誤差RMSE、平均絕對誤差MAE、確定性系數(shù)DC及合格率QR。評價指標(biāo)計算公式如下：

(21)

(22)

(23)

(24)

為了驗證本文所提方法的有效性和優(yōu)越性，除AdaBoost-ELM(簡稱AELM)模型外，同時還建立了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVM模型和ELM模型3種較為常見的模型。表1為攀枝花站4種模型的預(yù)測結(jié)果誤差統(tǒng)計情況。

表1 攀枝花站檢驗期預(yù)報結(jié)果誤差統(tǒng)計Table 1 Statistical error of forecast results forPanzhihua Station in validation stage

圖5 各模型徑流量預(yù)報結(jié)果對比Fig.5 Comparison of runoff forecast results among different models

圖5展示了攀枝花站、向家壩站、宜昌站檢驗期1999—2008年共計120個月4種模型的預(yù)測結(jié)果。由表1和圖5(a)可知，BP，SVM，ELM，AELM模型均具有較好的擬合精度，均能較好地對月徑流時間序列進行擬合。從均方根誤差RMSE、平均絕對誤差MAE、確定性系數(shù)DC和合格率QR這4個評價指標(biāo)來看，AELM模型的預(yù)報結(jié)果除QR稍低于SVM模型外，其它誤差指標(biāo)均表現(xiàn)最好，說明AELM模型的整體預(yù)報效果最好。

以RMSE為例，AELM模型的預(yù)報結(jié)果誤差為613.41 m3/s，其它BP，SVM，ELM3個模型的預(yù)報結(jié)果分別為632.69，636.71，626.58 m3/s。通過對比ELM和AELM模型的預(yù)報結(jié)果可以看出，AELM模型的RMSE和MAE比ELM模型小，且DC和QR比ELM模型大，說明AELM模型的預(yù)報效果明顯優(yōu)于ELM模型，改進的AdaBoost.RT算法能有效地提高弱學(xué)習(xí)算法的精度。從圖5(a)的頂部子圖可知，相比于ELM模型，AELM模型能更好地對月徑流時間序列進行擬合：在高流量階段，AELM模型預(yù)測曲線比ELM模型預(yù)測曲線稍高，更接近實測曲線；在低流量階段，AELM模型能夠在一定程度上減輕ELM模型模擬徑流時間序列的波動，說明改進AdaBoost.RT算法能夠減輕ELM算法的隨機性對預(yù)報結(jié)果的影響，從而提高預(yù)報精度。

為了進一步研究AELM模型的預(yù)報能力，本文將BP，SVM，ELM，AELM 4種模型分別應(yīng)用于向家壩站和宜昌站的混沌月徑流時間序列。表2顯示了向家壩站和宜昌站4種模型的預(yù)報結(jié)果誤差統(tǒng)計情況。同時圖5(b)和圖5(c)通過對4種模型預(yù)報結(jié)果誤差進行對比，得出了與攀枝花站預(yù)報結(jié)果相一致的結(jié)論：①與BP，SVM，ELM模型相比，AELM模型預(yù)報效果最好；②AELM模型的預(yù)報效果優(yōu)于ELM模型，改進AdaBoost.RT算法能夠減輕ELM算法的隨機性對預(yù)報結(jié)果的影響，進而提高弱學(xué)習(xí)算法的泛化性能。

表2 向家壩站和宜昌站檢驗期預(yù)報結(jié)果誤差統(tǒng)計Table 2 Statistical error of the results of XiangjiabaStation and Yichang Station in validation stage

5 結(jié) 論

(1)本文通過對長江上游流域攀枝花、向家壩和宜昌水文站月徑流時間序列進行非線性動力建模與分析，推求了月徑流時間序列相空間重構(gòu)的最佳時間延遲和嵌入維數(shù)、飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)，從定性和定量的角度驗證了長江上游月徑流時間序列的混沌特性，得出了該三站點月徑流時間序列不僅具有混沌特性且下游站點比上游站點混沌特性更強的結(jié)論。

(2)在此基礎(chǔ)上，引入Adaboost.RT算法對ELM算法進行集成學(xué)習(xí)，提出了基于相空間重構(gòu)、改進AdaBoost.RT和ELM算法的集成學(xué)習(xí)模型，并將該方法應(yīng)用于月徑流時間序列混沌預(yù)測建模研究。

(3)在采用AdaBoost.RT集成算法對ELM弱學(xué)習(xí)算法進行集成學(xué)習(xí)的過程中，通過自適應(yīng)動態(tài)閾值法不斷調(diào)整訓(xùn)練樣本可以提高預(yù)測精度。

(4)用訓(xùn)練好的集成學(xué)習(xí)模型對不同站點月徑流時間序列進行預(yù)測，并與前饋BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、SVM模型和ELM模型進行對比，結(jié)果表明所提模型的預(yù)報效果優(yōu)于其它模型，且能夠顯著提高ELM模型預(yù)報結(jié)果的穩(wěn)定性，從而獲得更準確的預(yù)測結(jié)果。