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        Minkowski空間中某奇異Dirichlet問題的徑向凸解

        2018-10-17 06:08:38王炎超
        陜西科技大學學報 2018年5期
        關鍵詞:不動點單調算子

        王炎超,趙 進

        (河海大學 理學院,江蘇 南京,210098)

        0 引言

        近年來,Minkowski空間下有關平均曲率算子的Dirichlet問題受到了廣泛關注,可參考文獻[1-6].例如,文獻[2]研究了如下Dirichlet問題徑向解的存在性:

        (1)

        其中,B(R)={x∈RN:|x|

        在v=0是超線性的.運用Leggett-Williams不動點定理,證明了系統(tǒng)(1)至少存在三個徑向解.此外,文獻[7]研究了如下Dirichlet 問題的凸解:

        (2)

        其中,n≥1.在一個特殊的錐下,運用不動點指數(shù)證明了系統(tǒng)(2)至少存在一個非平凡凸解.類似研究Dirichlet凸解問題的文章可參考文獻[8-10].

        受到上述工作啟發(fā),本文將用不動點指數(shù)研究如下奇異Dirichlet問題非平凡徑向凸解的存在性:

        (3)

        其中,f(t,u)在(t,u)∈[0,1]×[0,1)非負連續(xù)且在u=1可能奇異.由文獻[3]知系統(tǒng)(3)可化為如下邊值問題

        (4)

        其中,v(x)=ω(r),r=|x|且系統(tǒng)(4)的一個非平凡凸解在[0,1]上是負的.做變量替換u(r)=-ω(r),則(4)等價于

        (5)

        顯然,系統(tǒng)(5)的正凹解即為系統(tǒng)(4)的非平凡凸解.因此只需研究系統(tǒng)(5)的正凹解.

        與上述工作相比,本文創(chuàng)新之處如下: 首先,這是第一次運用不動點指數(shù)研究系統(tǒng)(3)的非平凡徑向凸解.其次,與文獻[7]相比,因選用了更一般的錐,所以得到的結論也更為一般.最后,與文獻[3]相比,由于采用了新方法,條件得到減弱,證明過程也相對簡單.

        為了方便起見,給出如下記號:

        1 預備知識

        為了陳述主要結果,本章將給出一些預備知識.

        引理1[11-13]設X是一個Banach空間,K是X中的一個錐.對于r>0,定義

        Ωr={x∈K:‖x‖

        假設

        是一個全連續(xù)算子并且滿足對任意

        x∈?Ωr={x∈K:‖x‖

        有Tx≠x.則下面結論成立

        (i)若對任意的x∈?Ωr,都有‖Tx‖≥x,則i(T,Ωr,K)=0.

        (ii)若對任意的x∈?Ωr,都有‖Tx‖≤x,則i(T,Ωr,K)=1.

        為了應用引理1,設X=C[0,1]且

        定義如下錐

        對于任意的α>0,定義

        Ωa={u∈K:‖u‖

        ?Ωa={u∈K:‖u‖=r}.

        算子T:Ω1→X定義如下:

        引理2[11]對任意的u∈X,若u≥0且u′在[0,1]單調遞減,則

        簡單計算后可得如下引理.

        并且

        φ-1(v1v2)≥φ-1(v1)φ-1(v2),?v1,v2∈[0,∞).

        引理4T(Ω1)?K并且T:Ω1→X是緊算子.

        證明:對任意的u∈Ω1,易知Tu∈X且

        故Tu(r)在[0,1]上單調遞減.又Tu(1)=0,則

        Tu(r)≥Tu(1)=0,r∈[0,1].

        (6)

        在[0,1]上單調遞減.由φ單調遞增和N≥1可知Tu′(r)在[0,1]上單調遞減.運用引理2得:

        (7)

        2 主要過程

        引理5若存在M>0,使得對任意的u∈Ω1,有:

        f(s,u(s))≥Mφ(u(s)),s∈[σ,1-σ] .

        則:

        ‖T(u)‖≥σL(M)‖u‖.

        證明:由‖Tu‖=Tu(0),φ單調遞增以及引理3知

        σL(M)‖u‖.

        f(s,u(s))≤εφ(u(s)),

        ‖T(u)‖≤‖u‖,u∈?Ωa.

        證明:由φ,φ-1單調遞增知對任意u∈?Ωa,有

        a=‖u‖.

        3 結論

        定理1(A1)若f0=0,f1=∞,則系統(tǒng)(3)存在一個非平凡凸解.

        (A2)若f0=∞,f1=0,則系統(tǒng)(3)存在一個非平凡凸解.

        f(s,u(s))≤ε1φ(u(s)),

        取a1<δ(ε1),則當u∈?Ωa1時,有:

        f(s,u(s))≤ε1φ(u(s)).

        故由引理6得:

        ‖Tu‖≤‖u‖ ,u∈?Ωa1.

        若f1=∞則存在M>0滿足σL(M)>1且存在δ(M)>0,使得當u>1-δ(M)時,有:

        f(s,u(s))≥Mφ(u(s)).

        f(s,u(s))≥Mφ(u(s)),s∈[σ,1-σ].

        因此,由引理5得:

        ‖Tu‖≥σL(M)‖u‖≥‖u‖,u∈?Ωa2.

        應用引理1知:

        i(T,Ωa1,K)=1,i(T,Ωa2,K)=0.

        故i(T,Ωa2Ωa1,K)=-1≠0由不動點指數(shù)理論可知T有一個不動點u∈Ωa2Ωa1,則該不動點即為系統(tǒng)(5)的正凹解.故系統(tǒng)(3)存在一個非平凡凸解.

        以下證明(A2).若f0=∞,則存在M>0滿足σL(M)>1且存在δ(M)>0,使得當|u|<δ(M)時,有:

        f(s,u(s))≥Mφ(u(s)).

        取a1<δ(M),則當u∈?Ωa1時,有

        f(s,u(s))≥Mφ(u(s)),s∈[σ,1-σ]

        故由引理5得:

        ‖Tu‖≥σL(M)‖u‖≥‖u‖,u∈?Ωa1.

        f(s,u(s))≤ε1φ(u(s)).

        f(s,u(s))≤ε1φ(u(s)),s∈[σ,1-σ].

        因此,由引理6得:

        ‖Tu‖≤‖u‖,u∈?Ωa2

        應用引理1知:

        i(T,Ωa1,K)=0,i(T,Ωa2,K)=1.

        例1考慮下面問題

        (8)

        其中,h:[0,1]→[0,∞)且對任意的00,則如下結論成立.

        應用定理1知(B1),(B2)滿足.

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