尹 楠

（南京曉莊學(xué)院 商學(xué)院，南京211171）

0 引言

SIR模型是一種經(jīng)典模型，該模型中S代表易感染者，I代表感染者，R代表移除者。利用該SIR模型，可以研究傳染病的傳播擴(kuò)散機(jī)制，并建立數(shù)學(xué)模型去模擬其傳播過(guò)程。目前眾多學(xué)者基于傳染病的SIR模型，研究其他問(wèn)題。比較經(jīng)典的應(yīng)用有如下幾種：①基于SIR模型對(duì)股市、銀行等危機(jī)傳播的研究。如馬源源，莊新田等（2013）[1]構(gòu)建上市公司股東交易數(shù)據(jù)的SIR復(fù)雜模型，模擬出當(dāng)股東的資金流出現(xiàn)問(wèn)題或資金鏈斷裂時(shí)影響整體股市交易的情況，推導(dǎo)出股市危機(jī)蔓延的傳播路徑。乜洪輝（2012）[2]借鑒病毒傳染的SIR模型去模擬銀行危機(jī)的傳播過(guò)程。②基于SIR模型對(duì)微博、微信等網(wǎng)絡(luò)社交媒體傳播機(jī)理的研究。如王超，楊旭穎（2014）等[3]借鑒傳染病學(xué)中的SIR模型，模擬社交網(wǎng)絡(luò)中用戶信息的傳播路徑，構(gòu)建SNS擴(kuò)散傳播的理論模型，該模型為社交網(wǎng)絡(luò)中信息傳播的控制提供了理論參考依據(jù)。楊子龍，黃曙光（2014）等[4]基于微博用戶的轉(zhuǎn)發(fā)信息行為與特征，提出一種SIR改進(jìn)模型，該模型能夠很好的預(yù)測(cè)用戶的信息轉(zhuǎn)發(fā)概率與行為。丁學(xué)君（2015）[5]分析了微博網(wǎng)絡(luò)中用戶信息交互與話題分享的傳播機(jī)制，基于改進(jìn)型的SCIR模型，模擬了微博網(wǎng)絡(luò)中用戶信息互動(dòng)及傳播的路徑。③研究社會(huì)人為風(fēng)險(xiǎn)與自然風(fēng)險(xiǎn)的傳播機(jī)制。如趙曉曉，鈕欽（2014）[6]構(gòu)建了水利工程項(xiàng)目社會(huì)風(fēng)險(xiǎn)的SIR理論擴(kuò)散模型并模擬其風(fēng)險(xiǎn)傳播路徑,得出在社會(huì)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生之前采取有效的預(yù)控措施是控制社會(huì)風(fēng)險(xiǎn)擴(kuò)散的最優(yōu)選擇，并對(duì)此提出了建議和對(duì)策。姚洪興，孔垂青（2015）等[7]基于金融系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征與傳染病SIR建模的思想,在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上構(gòu)建了企業(yè)間風(fēng)險(xiǎn)傳播的復(fù)雜模型,通過(guò)計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)傳播的一個(gè)系數(shù),并分析平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。尹楠（2016）[8]根據(jù)傳染病研究中的SIR模型,并結(jié)合森林火災(zāi)發(fā)生的特點(diǎn),建立森林火災(zāi)SIR模型并對(duì)森林火災(zāi)燃燒擴(kuò)散狀態(tài)進(jìn)行仿真模擬,并根據(jù)仿真模擬的結(jié)論,得出了有效預(yù)防和控制森林火災(zāi)的手段。

本文基于傳染病的SIR模型，并結(jié)合有限群體內(nèi)輿情危機(jī)蔓延的方式，建立有限群體內(nèi)輿情危機(jī)擴(kuò)散的SIR模型，并對(duì)建立的模型進(jìn)行仿真模擬演示。利用該有限群體內(nèi)輿情危機(jī)擴(kuò)散的SIR模型，可以對(duì)一個(gè)特定群體內(nèi)輿情危機(jī)擴(kuò)散的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并得出有效預(yù)防和控制有限群體內(nèi)輿情危機(jī)的發(fā)生或擴(kuò)散的條件。

1 有限群體內(nèi)輿情危機(jī)擴(kuò)散SIR模型的建立

1.1 有限群體內(nèi)輿情危機(jī)發(fā)生的特點(diǎn)

有限群體指的是某個(gè)特定群體，比如一個(gè)公司、一個(gè)學(xué)校、一個(gè)醫(yī)院等，其內(nèi)部的成員作為特定群體內(nèi)的成員，比如公司內(nèi)部的員工、學(xué)校的學(xué)生、醫(yī)院的醫(yī)生等。有限群體內(nèi)輿情危機(jī)是指在某個(gè)特定群體內(nèi)發(fā)生的負(fù)面突發(fā)事件，在特定群體內(nèi)面對(duì)突發(fā)事件，特別是負(fù)面事件，作為特定群體內(nèi)成員對(duì)作為客觀存在的事件或現(xiàn)象表達(dá)自己的信念、態(tài)度、意見(jiàn)和情緒等，當(dāng)這些信念、態(tài)度、意見(jiàn)和情緒聚集匯總，其輿論影響在特定群體內(nèi)逐漸擴(kuò)大，并給群體內(nèi)的當(dāng)事人造成危機(jī)感的現(xiàn)象。

在一個(gè)有限群體內(nèi)，發(fā)生輿情危機(jī)時(shí)，輿情危機(jī)的擴(kuò)散和傳播迅速向四周蔓延，其傳播模式類似于傳染病的感染傳播模式，因此可以利用SIR模型建立數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行仿真模擬演示。

1.2 有限群體內(nèi)輿情危機(jī)擴(kuò)散SIR模型的假設(shè)條件

（1）在有限群體內(nèi)輿情危機(jī)發(fā)生時(shí)期，假設(shè)不考慮群體的出生、死亡、移動(dòng)等種群動(dòng)力因素，這些因素作為非重要因素，只考慮輿情危機(jī)隨時(shí)間發(fā)生變化的主要因素。

（2）總?cè)后w個(gè)體數(shù)N(t)保持不變，假設(shè)群體一直保持一個(gè)常數(shù)N。有限群體內(nèi)輿情危機(jī)SIR模型就是針對(duì)某類輿情危機(jī)將特定群體內(nèi)的成員分成以下三類：易感染者（尚未感染），其數(shù)量比例記為s(t)；感染者（已受感染），其數(shù)量比例記為i(t)；移除者（感染終止），其數(shù)量比例記為r(t)。

（3）假設(shè)時(shí)間以小時(shí)為基準(zhǔn)時(shí)間，群體成員的感染率為l，移除率為m，感染期接觸數(shù)為σ=λ/μ。

1.3 有限群體內(nèi)輿情危機(jī)SIR模型的構(gòu)成

在以上三個(gè)基本假設(shè)條件下，易感染者（未感染）從感染到移除的經(jīng)過(guò)如下所示：

根據(jù)假設(shè)條件可以得出：

可以建立s(t),i(t),r(t)的兩個(gè)公式，如式（2）和式（3）所示：

對(duì)于移除者(感染后)的數(shù)量應(yīng)為：

假設(shè)初始時(shí)刻的易感染者（未感染），感染者（受感染），移除者（感染終止）的比例分別是s0（s0＞0），i0（i0＞0），r0=0，可以得到SIR模型為如下微分方程組初值問(wèn)題：

而由 s+i+r=1有 dr/dt=-di/dt-ds/dt，于是式（5）中的第三個(gè)方程變?yōu)楹愕仁?，從而模型可以?jiǎn)化為：

i0+s0≈1 （通常r(0)=r0很?。?/p>

從式（6）模型中消去dt，其中σ=λ/μ，可以得到SIR模型為：

1.4 數(shù)值模擬計(jì)算

由于SIR模型中s(t)，i(t)的求解比較困難，可以做數(shù)值計(jì)算來(lái)預(yù)估計(jì)s(t)，i(t)的一般變化規(guī)律。根據(jù)方程（6）和方程（7）假設(shè)λ=1，μ=0.3，i（0）=0.02，s（0）=0.98，通過(guò)R數(shù)據(jù)分析軟件，輸出結(jié)果如表1所示。i(t),s(t)可以得出圖1和圖2。i～s圖形被稱為相交線，初值i(0)=0.02，s(0)=0.98對(duì)應(yīng)于圖2中的P0點(diǎn)，隨著t的增加，(s,i)沿軌線從右向左移動(dòng)。通過(guò)表1、圖1以及圖2顯示，i(t)由初值增長(zhǎng)至約t=7時(shí)達(dá)到最大值，然后逐步減少，t→∞，i→0，s(t)則緩慢的減少，t→∞，s→0.04，結(jié)合圖形可以分析i(t)，s(t)的一般變化規(guī)律。

表1 s(t)和i(t)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果

圖1 s(t)，i(t)輿情危機(jī)感染者比例

圖2 i～s圖形

1.5 原理分析

基于數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)，根據(jù)相交線得出i（t），s（t）的含義，相交線在i～ s平面上的定義域（s，i）∈D為：

在方程（6）中消去dt并觀察到σ的定義，可得：

所以：

利用積分特性可以求出方程（9）的解為：

在定義域D內(nèi)，式（10）表示的曲線即為相交線，如下頁(yè)圖3所示，箭頭表示了隨時(shí)間t的增加s(t)和i(t)的變化趨勢(shì)。

可以得出相交線：

相交線i(s)的定義域?yàn)椋篋={(s，i)|s≥0，i≥0，s+i≤1} ，可以在圖3中D區(qū)域內(nèi)作出相交線i(s)的圖形進(jìn)行分析。

圖3 相交線i(s)

當(dāng)s(t)單調(diào)減趨向于相交線i(s)的方向，s=1/σ，i=im，t→∞，i→0，s∞滿足

圖3中P1為s0＞1/σ→ i(t)先上升然后逐漸趨于0，代表有限群體內(nèi)輿情危機(jī)可能會(huì)擴(kuò)散；P2為s0<1/σ→i(t)逐漸下降到0，代表有限群體內(nèi)輿情危機(jī)不太可能會(huì)擴(kuò)散。據(jù)此可以得出預(yù)防有限群體內(nèi)輿情危機(jī)擴(kuò)散的條件，即為s0<1/σ。因此可以通過(guò)提高固定值1/σ達(dá)到降低σ=λ/μ的目的，即降低群體成員的感染率λ，提高移除率μ。

2 實(shí)驗(yàn)采樣數(shù)據(jù)仿真

本文選取某高校內(nèi)部論壇中抓取到的用戶訪問(wèn)日志數(shù)據(jù)構(gòu)建實(shí)驗(yàn)所用的數(shù)據(jù)集合，校內(nèi)論壇可以被看作是一個(gè)有限群體，其構(gòu)建過(guò)程如下：

選取2015年7月到2016年7月間，由學(xué)校內(nèi)部突發(fā)性危機(jī)事件所引發(fā)的一個(gè)校內(nèi)學(xué)生交通事故突發(fā)事件（危機(jī)1）和一個(gè)學(xué)生宿舍引發(fā)的事故（危機(jī)2）作為目標(biāo)輿情危機(jī)事件的研究對(duì)象，并從兩個(gè)危機(jī)事件中分別提取出相應(yīng)的關(guān)鍵詞，如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

首先根據(jù)表2給出的采樣關(guān)鍵詞，可以利用該校內(nèi)論壇的記錄搜索功能，得到采樣區(qū)間內(nèi)309條與事件1相關(guān)的論壇記錄；168條與事件2相關(guān)的論壇記錄。另外，本文構(gòu)建的論壇數(shù)據(jù)集還包括：訪客每天訪問(wèn)論壇的日志記錄、每天訪問(wèn)論壇的用戶數(shù)量、針對(duì)論壇內(nèi)危機(jī)事件進(jìn)行發(fā)表相關(guān)言論的用戶數(shù)量記錄等，并且樣本收集的時(shí)間和地點(diǎn)都是固定的。

其次對(duì)危機(jī)事件的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，分別得到每個(gè)采樣時(shí)刻未知群體U、易感染群體（未感染）S、感染群體（受感染）I及免疫群體R的用戶數(shù)量。圖4中（a）、（b）分別描述了危機(jī)事件1和危機(jī)事件2的不同用戶群體的用戶規(guī)模隨時(shí)間的變化關(guān)系。

圖4 不同群體的用戶數(shù)量規(guī)模隨時(shí)間的變化關(guān)系

假設(shè)校內(nèi)網(wǎng)絡(luò)論壇的用戶總數(shù)N＝10000，其余用戶全部為未知狀態(tài)。各參數(shù)設(shè)置如下：接觸率λ＝0.5，受外界影響概率σ＝0.2，傳播率λ＝0.1，免疫率μ＝0.5?？梢缘玫降奈粗后w、易感染群體、傳染群體以及免疫群體的用戶規(guī)模隨時(shí)間變化的關(guān)系，如圖5所示，實(shí)驗(yàn)迭代次數(shù)為1000次。由圖5可以直觀的看到，未知群體在輿情危機(jī)傳播剛開(kāi)始的時(shí)候就會(huì)下降，易感染群體隨著時(shí)間變化，輿情危機(jī)的傳播首先緩慢的上升，然后逐步的下降。感染群體的輿情危機(jī)變化也呈現(xiàn)這種趨勢(shì)，免疫群體的傳播比較特殊，呈現(xiàn)逐步的上升，并逐漸趨向于1。從中可以發(fā)現(xiàn)有限群體內(nèi)輿情危機(jī)時(shí)間的傳播擴(kuò)散也具有突發(fā)性和時(shí)效性的特點(diǎn)，在較短時(shí)間內(nèi)迅速的傳播，而后逐步的減緩傳播的速度，最終時(shí)效性下降到零。

圖5 不同群體的用戶規(guī)模隨時(shí)間的變化關(guān)系

3 有限二維平面中輿情危機(jī)SIR模型的模擬仿真

有限群體內(nèi)輿情危機(jī)SIR模型的主要特點(diǎn)表現(xiàn)在輿情危機(jī)的發(fā)生對(duì)空間個(gè)體相互作用的模擬。根據(jù)建立的有限群體內(nèi)輿情危機(jī)SIR模型，感染者（受感染）只能感染觸及與其相鄰的易感染者（未感染）。在每一步中，每個(gè)感染者個(gè)體以概率λ感染觸及與其相鄰的易感染者（未感染）個(gè)體。令x表示與一個(gè)易感染者（未感染）個(gè)體相鄰的感染者（受感染）總數(shù)，則該易感染者（未感染）個(gè)體以概率(1-λ)x保持未被感染。在導(dǎo)致其他個(gè)體被感染后，每個(gè)感染者（受感染）以概率μ被移除。

假設(shè)有限群體內(nèi)輿情危機(jī)限制在一個(gè)空間為二維的矩陣網(wǎng)格中，令Xt表示在時(shí)刻t時(shí)的一個(gè)二維矩陣，并且令Xt(i，j)=2 時(shí)，表示個(gè)體在點(diǎn) (i，j)為易感染者；Xt(i，j)=1時(shí)，表示個(gè)體在點(diǎn) (i，j)為感染者；Xt(i，j)=0時(shí)，表示個(gè)體在點(diǎn)(i，j)為移除者。在數(shù)據(jù)分析軟件R語(yǔ)言中對(duì)有限群體內(nèi)輿情危機(jī)SIR模型進(jìn)行模擬仿真實(shí)驗(yàn)，得出如下的一系列輸出結(jié)果散點(diǎn)圖。

圖6 λ=0.2，μ=0.4的有限群體內(nèi)輿情危機(jī)模擬擴(kuò)散圖

假設(shè)在二維矩陣圖中，在網(wǎng)格中心位置存在單一的輿情危機(jī)感染源，圖6表示在5、10、15、20小時(shí)四個(gè)時(shí)點(diǎn)分別模擬的輿情危機(jī)擴(kuò)散的狀態(tài)，在群體成員的感染率λ=0.2，移除率μ=0.4時(shí)模擬輿情危機(jī)蔓延的四個(gè)狀態(tài)。圖6中深色和淺色點(diǎn)分別表示感染者（受感染）和移除者（感染終止）。

圖7 λ=0.7，μ=0.4的有限群體內(nèi)輿情危機(jī)模擬擴(kuò)散圖

從圖7可以看出，當(dāng)群體成員的感染率λ=0.7，移除率μ=0.4時(shí)，模擬輿情危機(jī)的擴(kuò)散速度和面積變大，僅僅在5和10小時(shí)模擬輿情危機(jī)擴(kuò)散的兩個(gè)時(shí)點(diǎn)過(guò)后，擴(kuò)散的面積已經(jīng)幾乎感染了整個(gè)區(qū)域。因此可以得出這樣的結(jié)論，隨著λ的增加，輿情危機(jī)的擴(kuò)散，即發(fā)生群體內(nèi)嚴(yán)重的輿情危機(jī)的概率將大大增加。

圖8 λ=0.2，μ=0.7的有限群體內(nèi)輿情危機(jī)模擬擴(kuò)散圖

從圖8可以看出，當(dāng)群體成員的感染率λ=0.2，移除率μ=0.7時(shí)，模擬輿情危機(jī)的擴(kuò)散速度和面積明顯減小，在5、10、15小時(shí)分別模擬輿情危機(jī)擴(kuò)散的三個(gè)時(shí)點(diǎn)之后，擴(kuò)散已經(jīng)基本終止，且擴(kuò)散的面積不大。因此可以得出這樣的結(jié)論，隨著μ的增加，輿情危機(jī)的擴(kuò)散，即發(fā)生群體內(nèi)輿情危機(jī)蔓延的概率將減小。

4 結(jié)論

本文選取某高校內(nèi)部論壇（僅校內(nèi)IP地址具有訪問(wèn)權(quán)限）中實(shí)際抓取到的數(shù)據(jù)構(gòu)建實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集，構(gòu)建了實(shí)際的高校內(nèi)部論壇的SIR傳播路徑圖，對(duì)模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)仿真，并分析了模型中參數(shù)的變化對(duì)傳播擴(kuò)散路徑的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：高校內(nèi)部有限群體內(nèi)網(wǎng)絡(luò)論壇中輿情危機(jī)事件傳播過(guò)程與現(xiàn)實(shí)社會(huì)中輿情危機(jī)的傳播規(guī)律相符，輿情危機(jī)一般是由某個(gè)突然性的危機(jī)事件所引發(fā)，然后在較短的時(shí)間內(nèi)引起用戶討論的興趣，使得該危機(jī)事件逐步的擴(kuò)散，并迅速形成傳播的最高峰值；隨著時(shí)間的推移，由于輿情事件的熱度減退，用戶將不再對(duì)該輿情危機(jī)時(shí)間有興趣，從而不再關(guān)心該事件。

然后本文根據(jù)SIR模型建立有限群體內(nèi)輿情危機(jī)擴(kuò)散的模擬仿真，在一個(gè)空間為二維的矩陣網(wǎng)格中模擬輿情危機(jī)的發(fā)生狀態(tài)。結(jié)論表明，當(dāng)群體成員的感染率λ增加，或者移除率μ減小時(shí)，輿情危機(jī)將很快會(huì)擴(kuò)散開(kāi)來(lái)，導(dǎo)致發(fā)生嚴(yán)重輿情危機(jī)的概率將會(huì)增加。同時(shí)，根據(jù)建立的有限群體內(nèi)輿情危機(jī)SIR模型在R數(shù)據(jù)分析軟件中能夠模擬輿情危機(jī)發(fā)生的演變狀態(tài)。從分析中可以看出，有限群體內(nèi)輿情危機(jī)的擴(kuò)散不是直線型的移動(dòng)，而是沒(méi)有規(guī)則的方式移動(dòng)，如果假設(shè)輿情危機(jī)的發(fā)生是沿著一種直線的方向擴(kuò)散，那么每一個(gè)未感染個(gè)體，即易感染者（未感染）都與周邊三個(gè)已感染的個(gè)體，即感染者（受感染）臨近，該個(gè)體感染的可能性為1-(1-λ)3，考慮到個(gè)體，即每個(gè)感染者（受感染）以概率μ被去除，因此1-(1-λ)3＞μ，有限群體內(nèi)輿情危機(jī)將會(huì)逐漸擴(kuò)散。

根據(jù)上述建立的有限群體內(nèi)輿情危機(jī)SIR模型的模擬仿真結(jié)果及分析結(jié)論，可以看出，為預(yù)防和控制輿情危機(jī)的發(fā)生或蔓延，可以通過(guò)降低群體成員的感染率λ和提高移除率μ兩個(gè)基本途徑，其中降低群體成員的感染率可以通過(guò)抑制群體內(nèi)輿情危機(jī)消息源的傳播，例如通過(guò)禁止群體內(nèi)輿情危機(jī)的傳播等途徑降低感染率，達(dá)到預(yù)防或者控制輿情危機(jī)的目的。提高移除率可以通過(guò)在群體內(nèi)實(shí)施新的控制手段，比如頒布新的群體內(nèi)部政策、法規(guī)等手段去更好地控制輿情危機(jī)的發(fā)生或蔓延。