葉琪飛

(浙江省寧波市鄞州高級中學(xué) 315194)

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維痛點是學(xué)生原本的目標(biāo)愿景沒有得到滿足而產(chǎn)生的心理落差，這種落差在學(xué)生心智模式中形成負(fù)面情緒，讓學(xué)生感覺到“痛”，一個痛點就是一個問題，真實而可被感知，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維痛點的探尋不是無病呻吟，而是一種積極的態(tài)度和科學(xué)的理念，它反映教育研究者尊重學(xué)生，鉆研教材，開發(fā)資源，總攬全局和探索遷移，反思批判等基本的素養(yǎng)．

俗話說，痛則不通，通則不痛，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的某些關(guān)系錯位，環(huán)節(jié)突兀不暢，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果不理想的痛點，需要正確對待，因為學(xué)好數(shù)學(xué)必須了解自己的學(xué)習(xí)痛點在哪里？產(chǎn)生痛點的原因是什么？解除痛點的良藥有哪些？

我國最早的教育學(xué)著作《學(xué)記》中說“學(xué)然后知不足，教然后知困，知不足，然后能自反之，知困，然后能自強也”，這就要求提供“教學(xué)產(chǎn)品”的教師，提高“售后服務(wù)”的水平，主動深入了解學(xué)生學(xué)習(xí)心理，了解他們的學(xué)習(xí)感受和現(xiàn)實需求，“把脈問診”，找準(zhǔn)痛點，并弄清其產(chǎn)生的機理和原因，從而“對癥下藥”，優(yōu)化思維途徑，達(dá)到消除痛點，實現(xiàn)思維最優(yōu)化的目的，最終形成學(xué)習(xí)，思考，解題，反思，優(yōu)化的生態(tài)鏈條．

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的痛點主要反映在解題上，具體表現(xiàn)在學(xué)習(xí)習(xí)慣、理解題意、運算能力、概念理解、方法掌握及邏輯思維等方面．

1 為什么數(shù)學(xué)解題成為學(xué)生學(xué)習(xí)的痛點

1.1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法不正確

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法不對路，是許多學(xué)生事倍功半的原因，通過正確的學(xué)習(xí)方法可以獲得基本的知識與能力，解決基礎(chǔ)數(shù)學(xué)題足夠了，正確的學(xué)習(xí)方法是，立足理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)與外延，掌握數(shù)學(xué)基本方法的應(yīng)用步驟，重視積累知識，方法，結(jié)構(gòu)，模型，思想．

案例1“一題錯多遍”，這里有一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)題“函數(shù)y=ln(x2+bx+c)的值域為R，則b與c的關(guān)系式是________”，有的學(xué)生把它與“函數(shù)y=ln(x2+bx+c)的定義域為R，則b與c的關(guān)系式是________”混為一談，從高一到高三，此題錯誤的學(xué)生不在少數(shù)，究其原因，就是沒有真正搞清楚復(fù)合函數(shù)定義域與值域的分析方法，事實上借助于圖像很容易理解的事，顯然①的情形無法滿足題意，所以只有②③兩種情形滿足題意，故有Δ≥0，從而找到b與c的正確關(guān)系式．

1.2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣不良

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從頭至尾各個環(huán)節(jié)中，不良習(xí)慣是學(xué)習(xí)效果的大敵，不看書的習(xí)慣——學(xué)習(xí)變成聽課——做作業(yè)；不思考的習(xí)慣——學(xué)習(xí)中遇到問題不是去思考為什么？而是放棄或借別人的東西；草稿紙上亂畫的習(xí)慣——一張草稿紙不是從上而下，從左到右的書寫，而是第一筆中間開花；不歸納不積累的習(xí)慣——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有筆記本記載可歸納總結(jié)的內(nèi)容，沒有錯題本記錄和校正歷次出錯的題等．

案例2“課本中的符號”不認(rèn)識，“課本中的材料”不閱讀，比如“card”，許多學(xué)生不知其含義，事實上，課本在集合一節(jié)內(nèi)容中就給出過，結(jié)果在高考數(shù)學(xué)題中還特別提示；再如“Fibonacci數(shù)列”是一個非常經(jīng)典的數(shù)列，在課本閱讀材料中就有，但許多學(xué)生沒有閱讀過等．

1.3 學(xué)習(xí)注意力不集中

隨著現(xiàn)代社會環(huán)境中誘惑的東西太多，學(xué)生在課堂上聽課時，注意力不集中成為常事，教室外任何一點小的動靜都會吸引學(xué)生的注意力，數(shù)學(xué)課堂不僅需要學(xué)生的高度注意力，而且還需要同步的思考與討論，這樣才能有效的學(xué)習(xí)．

2 數(shù)學(xué)解題思維痛點集中表現(xiàn)在哪里

2.1 審題不細(xì)，容易出錯

審題是數(shù)學(xué)解題的第一關(guān)，也是最重要的一關(guān)，高考時“審題要慢，解題要快”，事實上，審題還要細(xì)，不能錯過題設(shè)條件中的任何一個細(xì)節(jié)．

A．0； B．2； C．4； D．6.

2.2 轉(zhuǎn)化偏離，導(dǎo)致出錯

在數(shù)學(xué)思想方法中，等價轉(zhuǎn)化或化歸思想是較難把握的一個，轉(zhuǎn)化一旦偏離正確方向，就會導(dǎo)致解題錯誤．

例2已知-1

錯解的原因是不能掌握不等式的基本性質(zhì)，不等式的可加性是單向的，不是雙向的，因此要特別關(guān)注此類性質(zhì)的應(yīng)用特點．

2.3 運算茫然，解不下去

第一反應(yīng)，拋物線與等腰直角三角形的位置關(guān)系，可判斷點A為(4，4)，從而得到p；

第二反應(yīng)，由拋物線方程焦點F(1，0)；

解析: 由△AOB的面積為16，OA⊥OB，可知A(4，4)，所以2p=4，

因此拋物線方程為y2=4x，所以焦點坐標(biāo)F(1，0)，

Δ=(4-2u2)2-4(1-u2)(-u2)≥0，

2.4 概念模糊，誤入歧圖

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個較漫長過程，而且作為學(xué)生要重視，了解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，否則數(shù)學(xué)概念模糊，解題時只能誤入歧圖！

例4已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2)，則( ).

A．當(dāng)k=1時，f(x)在x=1處取得極小值;

B．當(dāng)k=1時，f(x)在x=1處取得極大值;

C．當(dāng)k=2時，f(x)在x=1處取得極小值;

D．當(dāng)k=2時，f(x)在x=1處取得極大值.

錯解：f′(x)=ex(x-1)2+(ex-1)2(x-1)，然后取x=0，x=2判斷f′(x)的正負(fù)，結(jié)果得到由正到負(fù)，選擇D.

錯因分析：極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，分析問題或判斷性質(zhì)時，只能取x=1附近的值來加以判斷，離得太遠(yuǎn)，已不能反映此處的特征，事實上取x=0.5 ，x=2判斷f′(x)的正負(fù)判斷時就能反映出導(dǎo)函數(shù)的本質(zhì)特征是由負(fù)到正，可見數(shù)學(xué)概念是否清晰，在選擇特殊值時也能反映出來！

解析1：當(dāng)k=1時f′(x)=ex(x-1)+ex-1=xex-1，x=1不是駐點；當(dāng)k=2時，f′(x)=ex(x-1)2+(ex-1)2(x-1)=(x-1)[(exx+ex-2)，x=1是駐點，且x≤1時，f′(x)≤0；x≥1時，f′(x)≥0，選擇C.

解析2：當(dāng)k=1時，方程f(x)=0有兩個解，x1=0，x2=1，由標(biāo)根法可得f(x)的大致圖象，于是選項A，B錯誤；當(dāng)k=2時，方程f(x)=0有三個解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由標(biāo)根法可得f(x)的大致圖象，易知選項C正確．

2.5 方法用錯，不知所措

一把鑰匙開一把鎖，如果問題模型沒有看清，沒有理解，使用方法不當(dāng)，也要處處碰壁的．

2.6 結(jié)構(gòu)難辯，無從下手

數(shù)列遞推關(guān)系式其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要解決者變形來識別，然后才能突破，但是“痛”就痛在變形不了，結(jié)構(gòu)看不出，尤如一堆麻繩糾結(jié)在一起，理不出頭緒來．

(Ⅱ)求證：對任意正整數(shù)n，λn+1f(an+1)+g(an+1)為定值.

至此λn+1f(an+1)+g(an+1)

2.7 抽象難辨，只能止步

數(shù)學(xué)以抽象為主要特征，在一些數(shù)學(xué)問題中，用抽象的數(shù)學(xué)符號給出條件或目標(biāo)，用即時的定義，其中出現(xiàn)抽象的概念時，學(xué)生難以理解，只能望而卻步，停止不前．

例7A10={(x1,x2,x3)|xi=1,2,3,4,5,6,i=1,2,3且10|x1x2x3}，求card(A10).

審題第一關(guān)，很多學(xué)生就過不了關(guān)，不能理解集合符號和集合語言的含義，換一種語言：

集合A10是由一枚骰子連續(xù)投三次出現(xiàn)的點數(shù)，其積被10整除而組成，求A10中元素個數(shù)．這才從表面上理解題意，認(rèn)為這僅僅是一個考查計數(shù)的問題．

2.8 錯在習(xí)慣，思維不嚴(yán)

數(shù)學(xué)思維習(xí)慣有其特殊的規(guī)律與原則，特別是邏輯性原則，不合邏輯的數(shù)學(xué)推理必定是錯誤的，特別在數(shù)形結(jié)合畫圖時，想當(dāng)然經(jīng)常出現(xiàn)．

例8有關(guān)冪函數(shù)與正弦函數(shù)圖象交點個數(shù)有下列命題：

①函數(shù)y=sinx與y=x的圖象有3個交點；

圖1

以上正確的命題是________.(只要將正確命題的序號填上)

錯解：認(rèn)為①正確，因為一畫圖就形成一幅不正確的三個交點的圖；

認(rèn)為③正確，有很多復(fù)習(xí)書籍上也認(rèn)為正確，事實上，沒有真正地運用數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)真分析，只是按照自己的思維習(xí)慣畫出不正確的圖象判斷而已．

解析：因sinx

圖2

圖3

3 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維痛點的診治建議

3.1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理調(diào)整建議

面對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維的痛點，不能自卑，要調(diào)整好學(xué)習(xí)心理，樹立起自信，這樣才能戰(zhàn)勝困難，解決痛點帶來的思維障礙，從某種意義上說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極心理是成功的首要條件！如何調(diào)整呢？

第一，心理暗示，這是自己遇到的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)痛點，可能自己所掌握的知識與能力還達(dá)不到解決痛點的層次，因此需要繼續(xù)加倍學(xué)習(xí)，以補充自己的知識庫；

第二，情緒調(diào)節(jié)，尋找自己喜歡的事，暫時忘記學(xué)習(xí)中不愉快的問題，隔一段時間后再來解決痛點；

第三，運動調(diào)節(jié)，有些學(xué)習(xí)痛點可能是由于身體太疲勞，思維的精力達(dá)不到，此時運動一下，大腦休息一下，過一段時間后再來考慮解決此問題；

第四，調(diào)節(jié)期望，有許多情形可能由于學(xué)習(xí)期望值過高而產(chǎn)生學(xué)習(xí)痛點，不是自己思維智慧所能達(dá)到的目標(biāo)，不要給自己強加，降低目標(biāo)要求，學(xué)習(xí)輕松一點，可能成功度會更高一點．

3.2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注意力調(diào)整建議

注意力是生理學(xué)研究的一個重要方面，注意力不能集中，它可能與人的心理和生理都有聯(lián)系，太累了，注意力不可能集中；身體某個元件出了故障，注意力集中程度也會下降，因此注意力的調(diào)整方法有：

第一，檢查自己注意力不集中的誘因，以便有針對性的加以解決；

第二，在喧鬧的地方看書鍛煉自己頭腦的注意力集中程度；

第三，在某一個時間內(nèi)只做一件事的習(xí)慣，撇棄一些不良生活習(xí)慣，如吃飯時看電視，草稿紙上不是有序使用等．

3.3 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法調(diào)整建議

通過練習(xí)和學(xué)習(xí)積累更多的經(jīng)驗，提升學(xué)習(xí)能力，關(guān)注直覺思維方面的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，教師篩選優(yōu)秀學(xué)生的學(xué)習(xí)信息，將其轉(zhuǎn)化為具體規(guī)則和啟發(fā)，普通學(xué)生學(xué)會從優(yōu)秀學(xué)生中獲得學(xué)習(xí)智慧，這種學(xué)習(xí)能力可以擺脫最初的監(jiān)督式學(xué)習(xí)，完全進入自我發(fā)揮的學(xué)習(xí)模式，規(guī)劃時間，厚積薄發(fā)，善用零散時間，每天只需進步一點點，每次只需獲得一點點，長期的知識積累不可估量！知識積累到一定程度，就會提高能力增加智慧.

3.4 思維痛點的靶向校正法

針對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維痛點的類型，選擇有針對性的“治療”或校正方法，而且隨著痛點變化情況，時時調(diào)整“校正手段”，以達(dá)到有效診治，這種治療類似于“西醫(yī)”治療，快而短期有效，但有副作用，不能保持長期有效或根治.

第一，它可能是“點穴式”的，針對某一個“知識點”或“專題”進行“診斷治療”；

第二，它可能是“住院式”的，針對某一塊“知識網(wǎng)”或“方法群”進行較長時間“觀察治療”；

第三，它可能是“理療式”的，針對某一個不良習(xí)慣進行“監(jiān)督”校正；

3.5 思維痛點的綜合校正法

針對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維的痛點，進行綜合分析，將其所涉及到的方方面面都梳理一下，然后綜合施策，制定方案，以達(dá)到從根本上診治痛點之目的，這種治療類似于“中醫(yī)”治療，慢而長期有效．

第一，診斷時要多方面了解痛點產(chǎn)生的原因，痛點的病因程度，比如了解學(xué)生小學(xué)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，家庭學(xué)習(xí)環(huán)境，了解學(xué)生相關(guān)學(xué)科學(xué)習(xí)情況等；

第二，校正時要連續(xù)不斷地針對痛點施策，比如“變式訓(xùn)練”式的解決某一方面的痛點；

第三，校正一段時間后，要根據(jù)校正效果，調(diào)整校正方案，比如在審題能力的訓(xùn)練后，進一步觀察學(xué)生的運算能力，解答題的表達(dá)能力，然后強化訓(xùn)練，這三個能力是數(shù)學(xué)思維的基本形式，也是數(shù)學(xué)一切能力的基礎(chǔ)．